3.1.1 空间向量及其线性运算
[基础达标]
给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；
②零向量没有方向；
③空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是__________．
答案：3
化简：(－)－(－)＝__________．
解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简．
(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
法二：利用－＝，－＝进行化简．
(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
法三：利用＝－的关系进行化简．
设O为平面内任意一点，则有
(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
答案：0
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则下列命题中正确的共有________个．
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③－与－是一对相反向量；
④＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量．
解析：如图，对于①，＋＝＋＝－(＋)，故①正确；
对于②，－＝，－＝，因＝，故②不正确；
对于③，－＝，－＝，因＝－，故③正确；
对于④，＋＋＋＝＋＋＋
＝－(＋＋＋)，故④正确．
答案：3
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与为相反向量的是________．(填序号)
①－a＋b＋c；
②a＋b＋c；
③a－b－c；
④－a－b＋c.
解析：因为＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，所以与为相反向量的是a－b－c.
答案：③
四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：如图所示：
由三角形法则，得
＝－＝b－a，
＝－＝c－b，
所以＝＝(c－b)，
＝＋＝b＋c－a，
故＝＝b＋c－a，
所以＝＋＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
已知点G是正方形ABCD的中心，P是正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋等于________．
解析：＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.
答案：4
在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为__________．
解析：如图，＝－＝－(＋＋)＝－－＝－－＝a－b－c.
答案：a－b－c
如图，四棱柱的上底面ABCD中，＝，下列向量相等的一组是__________(填序号)．
①与；②与；③与；④与.
解析：∵＝，∴||＝||，且AB∥DC.即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知＝.
答案：④
如图，在空间四边形A－BCD中，点M、G分别是BC、CD的中点．
化简：(1)＋(＋)；
(2)－(＋)．
解：(1)原式＝＋＋＝；
(2)原式＝＋＋－(＋)
＝＋＋(－)＝＋＋＝.
已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；(2)(＋－)．
解：
(1)如图所示，由G是△BCD的重心知，＝.又E、F为中点，
∴EFAC，＝.
∴＋＋＝＋＋＝.
(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知
(＋)＝，＝，
∴(＋－)＝－＝.
[能力提升]
如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝__________．
解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
有＝＝，
于是＝－＝(＋)－(＋)
＝－＋＋－
＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
答案：
已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与的关系为________．
解析：－＝λ－λ＝λ，即＝λ，同理＝μ，因为μ∥λ，所以∥，即∥.又λ与μ不一定相等，故||不一定等于||，所以∥.
答案：∥
已知：a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，求x，y的值．
解：∵a∥b，且a≠0，∴b＝λa，
∴(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.
又∵m，n，p不共面，∴＝＝，∴x＝－13，y＝8.
(创新题)已知六面体ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，＝.设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．
解：
(1)如图，取AA′的中点为E，则＝，又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点使＝，则＝，所以＋＋＝＋＋＝(说明：表示法不惟一)．
(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－＋)＋(＋)＝＋＋，所以α＝，β＝，γ＝.
3.1.2 共面向量定理
[基础达标]
有4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中正确的是________(填序号)．
解析：命题①正确，命题②③不正确，因命题②中若a∥b，则p不一定能用a，b表示，命题③中，若M，A，B三点共线，则也不一定能用、表示．
答案：①
以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．
其中正确命题的序号是__________(把所有正确命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确．
答案：②④
已知空间四点A、B、C、D共面，若对空间中任一点O有x＋y＋z＋＝0，则x＋y＋z＝__________．
解析：由x＋y＋z＋＝0，得
＝(－x)＋(－y)＋(－z)，
∴(－x)＋(－y)＋(－z)＝1.
∴x＋y＋z＝－1.
答案：－1
已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有＝2＋＋λ，则λ＝________．
解析：因为P，A，B，C四点共面，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，得λ＝－.
答案：－
已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x ＋＋，则x的值为__________．
解析：由题意知，x＋＋＝1，∴x＝.
答案：
已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝__________．
解析：由A、B、C、D四点共面知＝－2x·＋(－3y)·＋(－4z)·，所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有6＝＋2＋3，则__________四点必共面．
解析：由6 ＝＋2＋3，得＝＋＋，所以P、A、B、C四点共面．
答案：P、A、B、C
下列命题中为真命题的是________．
①若＋＋＝0，则A1，A2，A3三点共面；
②若＋＋＋＝0，则A1，A2，A3，A4四点共面；
③若＋＋＋…＋An－1An＋＝0，则A1，A2，A3，…，An这n个点共面．
解析：在空间四边形A1A2A3A4中，有＋＋＋＝0，但四点不一定共面，故②③都不正确．
答案：①
如图，已知空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且＝2，设＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为多少？
解：由线段中点的向量表达式，得
＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝a＋[－a＋c＋(b－c)]
＝a－a＋c＋b－c
＝a＋b＋c，
∵＝xa＋yb＋zc，
∴x＝，y＝，z＝.
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明：设＝a，＝b，＝c，所以＝c－a.
又因为O是B1D1的中点，所以＝(a＋b)．
＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)．
因为D1D C1C，所以＝c.
所以＝＋＝(b－a)＋c.
若存在实数x，y，
使得＝x＋y成立，
则c－a＝x[(b－a)＋c]＋y[－(a＋b)]
＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.
因为a，b，c不共线，
所以解得
所以＝＋，则，，是共面向量，
又因为B1C不在OD，OC1所确定的平面ODC1内，
所以B1C∥平面ODC1.
[能力提升]
已知a，b，c是不共面的三个向量，且实数x，y，z使xa＋yb＋z c＝0，则x2＋y2＋z2＝__________．
解析：由共面向量基本定理可知a，b，c不共面时，xa＋yb＋z c＝0必有x＝y＝z＝0，∴x2＋y2＋z2＝0.
答案：0
已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则＋(＋＋)＝__________．
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
已知A、B、C三点不共线，平面ABC外一点O，若＝2－－，证明：点M不在平面ABC内．
证明：假设M在平面ABC内，则存在实数对(x，y)，使＝x＋y(*)，于是对空间任意一点O，O在平面ABC外，＝(1－x－y)＋x＋y，比较原式，得此方程组无解，这与假设相矛盾．
所以假设不成立，所以不存在实数对(x，y)，使(*)式成立，所以M与A、B、C不共面，即M不在平面ABC内．
(创新题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，若＝＋7＋6＋4，试问M点是否一定在平面BA1D1内？并证明你的结论．
解：＝＋7＋6＋4
＝－＋7(＋)＋4
＝－＋7＋4
＝＋＋7＋4
＝＋7＋4
＝＋7(＋)＋4(＋)
＝－6＋3＋4，
由－6＋3＋4＝1，得M，B，A1，D1四点共面，
故M点在平面BA1D1内．
3.1.3 空间向量基本定理
[基础达标]
在以下3个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
解析：命题①②是真命题，命题③是假命题．
答案：2
若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是________．(填序号)
①a，2b，3c；②a＋2b，2b＋3c，3a－9c；③a＋b＋c，b，c.
解析：在②中3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，由共面定理知，此三个向量共面．
答案：②
下列命题中的真命题是__________．(填序号)
①空间中的任何一个向量都可用a、b、c表示；
②空间中的任何一个向量都可用基向量a、b、c表示；
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．
解析：共面向量定理指出，平面内任一向量都可以用平面内不共线的两个向量线性表示，而命题④中缺少“不共线”这一重要条件，故为假命题．
空间向量基本定理告诉我们空间中任一向量都可用不共面的三个向量线性表示．①中没有强调“不共面”，故为假命题．②③两命题为真命题．
答案：②③
已知平行六面体OABC－O′A′B′C′中，＝a，＝b，＝c，D是四边形OABC的中心，则可用a，b，c表示＝__________.
解析：
结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a、b、c表示.仔细观察会发现与、是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．
答案：a＋c
在空间中，把△ABC平移到△A′B′C′，连结对应顶点及BC′，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，则＝________．
解析：取B′C′中点记为N，连结MN，A′N，则＝＋＋＝a＋(＋)＋＝a＋(b＋c)－a＝(a＋b＋c)．
答案：(a＋b＋c)
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________．
解析：＝＝(＋＋)．
答案：
从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则用基底{a，b，c}表示向量，得＝________．
解析：＝＋＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝a－a＋(b＋c)＝－a＋(b＋c)．
答案：－a＋(b＋c)
已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是底面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa ＋yb＋z c，则x，y，z的值分别为__________．
解析：由题意知，，为不共面向量，
而＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝2a＋b＋c，
∴x＝2，y＝1，z＝.
答案：2，1，
如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG∶GA′＝2∶1，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量、、、.
解：＝＋＝a＋b；
＝＋＝a＋b＋c；
＝＋＝＋＝a＋b＋c；
＝＝(a＋b＋c)．
已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示、、.
解：
如图所示，连结PG.并延长交CD于E则E为CD中点，
①＝＝×(＋)
＝(i＋j－k＋j－k)
＝i＋j－k.
②＝＋＝k－i＋i＋j－k
＝－i＋j＋k.
③＝＋＝i＋(－i＋j＋k)
＝i＋j＋k.
[能力提升]
如图所示，M、N分别是四面体O－ABC的棱OA、BC的中点，2MQ＝QN，用向量、、表示，则＝________．
解析：＝＋
＝＋
＝＋(－)＝＋(－)
＝＋×(＋)＝＋＋.
答案：＋＋
已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝α a＋β b＋γ c，则α、β、γ分别为__________．
解析：由题意，a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d＝α a＋β b＋γ c.
∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.
又∵d＝e1＋2e2＋3e3，
∴?
答案：、－1、－
如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示如下向量：
(1)、、；
(2)(G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心)．
解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c；
＝＋＝＋＋
＝－c＋a＋b＝a＋b－c；
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)
＝(c－b)．
(创新题)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c，表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc求实数x，y，z.
解：(1)＝＋
＝－＋－
＝a－b－c.
＝＋
＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)＝(－＋－)
＝(－＋－＋)＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
3.1.4 空间向量的坐标表示
[基础达标]
在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法正确的是__________(填序号)．
①向量与点B的坐标相同；
②向量与点A的坐标相同；
③向量与向量的坐标相同；
④向量的坐标与向量－的坐标相同．
解析：在同一空间直角坐标系中，某一向量的坐标是惟一确定的，都等于终点坐标减去起点坐标．
答案：④
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为__________，的坐标为__________，的坐标为__________．
解析：∵A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，∴＝(1，0，0)，＝(1，0，1)，＝(－1，1，－1)．
答案：(1，0，0) (1，0，1) (－1，1，－1)
已知向量a，b满足2a＋b＝(－1，－4，3)，a－2b＝(2，4，－5)，则a＝__________，b＝__________．
解析：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则2a＋b＝(2x1＋x2，2y1＋y2，2z1＋z2)＝(－1，－4，3)，a－2b＝(x1－2x2，y1－2y2，z1－2z2)＝(2，4，－5)，由坐标对应相等得a＝(0，－，)，b＝(－1，－，)．
答案：(0，－，) (－1，－，)
已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．
则(1)a－(b＋c)＝________；(2)4a－b＋2c＝________．
解析：(1)∵b＋c＝(1，0，5)，
∴a－(b＋c)＝(1，－2，4)－(1，0，5)＝(0，－2，－1)．
(2)4a－b＋2c＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4)
＝(3，－8，17)．
答案：(1)(0，－2，－1) (2)(3，－8，17)
已知A(－1，2，7)，B(－3，－10，－9)，则向量的坐标为__________．
解析：＝×(－2，－12，－16)＝(－1，－6，－8)．
答案：(－1，－6，－8)
已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则C的坐标是__________．
解析：＝＝×(－3，－2，－4)
＝(－，－，－)．
答案：(－，－，－)
若a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝__________，y＝__________．
解析：a＋2b＝(1，2，－y)＋2×(x，1，2)＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝2×(1，2，－y)－(x，1，2)＝(2－x，3，－2y－2)，
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴＝＝，
∴x＝，y＝－4.
答案： －4
如果三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)在同一条直线上，则a＝__________，b＝__________．
解析：设＝λ，由向量相等求得a＝3，b＝2.
答案：3 2
已知a＝(2，3m＋n，m－n)，b＝(1，m＋2n，m＋n＋1)．若(a＋b)∥(a－b)，求m＋n的值．
解：a＋b＝(3，4m＋3n，2m＋1)，
a－b＝(1，2m－n，－2n－1)．
∵(a＋b)∥(a－b)，
∴必存在实数λ，满足a＋b＝λ(a－b)，
即(3，4m＋3n，2m＋1)＝λ(1，2m－n，－2n－1)．
∴解得
∴m＋n＝－.
已知点O，A，B，C的坐标分别为(0，0，0)，(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．
(1)求点D的坐标，使与＋相等；
(2)求点E的坐标，使＝(－)．
解：(1)设点D的坐标为(x1，y1，z1)，
则＝(x1，y1，z1)．
易知＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
于是＋＝(－2，9，－2)．
已知与＋相等，
所以＝＋＝(－2，9，－2)．
则x1＝－2，y1＝9，z1＝－2，
即点D的坐标为(－2，9，－2)．
(2)设点E的坐标为(x2，y2，z2)，则＝(x2，y2，z2)．
由，的坐标，得(－)＝(3，，－2)，
所以x2＝3，y2＝，z2＝－2，即点E的坐标为(3，，－2)．
[能力提升]
在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则与线段AB平行的坐标平面是__________．
解析：＝(0，5，－3)，∴∥平面yOz.
答案：平面yOz
已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________．
解析：由已知得a∥b，
∴＝＝，
∴，
把①代入②得：x2＋x－2＝0，
解之得：x＝－2或x＝1，
当x＝－2时，y＝－6，当x＝1时y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，此时a，b反向，不合题意舍去．
当时，b＝(1，2，3)＝a，此时a，b同向．
∴x＝1，y＝3.
答案：1，3
已知A(－2，0，6)、B(3，1，12)、C(0，－3，7)、D(5，－2，13)，求证：A、B、C、D四点共面．
证明：＝(5，1，6)，＝(2，－3，1)，＝(7，－2，7)．
易得与不共线，假设存在一组有序实数(x，y)使＝x＋y，
则(7，－2，7)＝x(5，1，6)＋y(2，－3，1)．
∴
∴x＝1，y＝1.
∴、、共面．
∴A、B、C、D四点共面．
(创新题)
如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3，设点O是AB的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出点A、B、C、O的坐标．
解：如图以B1为原点，以B1C1、B1A1、B1B分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系；由直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截(截面为ABC)及AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3得A、B、C的竖坐标分别是4、2、3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A1、B1、C1的相同，结合A1B1＝B1C1＝1得A(0，1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)；
因为O是AB的中点，故点O的竖坐标是＝＝3，而它的横坐标和纵坐标与A1B1的中点的横坐标和纵坐标相同，故O(0，，3)．
3.1.5 空间向量的数量积
[基础达标]
对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)．
①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
④若a·b＝a·c，则b＝c.
解析：①中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0.
③中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.
④中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.
答案：②
已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
解析：因为a与2b－a互相垂直，所以a·(2b－a)＝0.
即2a·b－a2＝0.所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，
所以cos〈a，b〉＝，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________．
解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13.
答案：
已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________．
解析：|2e1－e2|2＝4e－4e1·e2＋e＝4－4×1×1×cos 60°＋1＝3，∴|2e1－e2|＝.
答案：
若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为__________．
解析：a·c＝a·[a－()b]＝a·a－()b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c.
答案：90°
已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
答案：－13
已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．
解析：cos〈a，b〉＝，
∵夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0，且a，b不共线，
∴3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.
答案：x<－4
设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．
解析：a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，
∴|a＋b|＝，|c|＝1，
∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.
设a＋b与c的夹角为θ，
则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cos θ＝1－cos θ.
故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.
答案：1－
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，计算：
(1)·；(2)·.
解：(1)·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos 60°＝.
(2)·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos 120°＝－.
已知如图所示的空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.
证明：由线段中点公式得：
＝(＋)＝[＋(＋)]
＝(＋＋)，
又＝－，
∴·＝(＋＋)·(－)
＝(·＋·＋||2－·－||2－·)
＝(·－·＋||2－||2)，
∵·＝||||·cos∠AOC，
·＝||||·cos∠AOB，
且||＝||＝||，∠AOB＝∠AOC，
∴·＝0，即OG⊥BC.
[能力提升]
已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
解析：法一：由已知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，
由此可知|a＋b|＝.
将(a－c)·(b－c)＝0展开得a·b－a·c－c·b＋c2＝0.
设a＋b与c的夹角为θ，则
|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|·cos θ，
即|c|＝cos θ.故当cos θ＝1时，|c|取最大值.
法二：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又因为a⊥b，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对角线．当c是直径时，|c|达到最大值，此时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值为.
法三：因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以以a，b为基底建立直角坐标系，a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)．
由(a－c)·(b－c)＝0得(1－x)(－x)－y(1－y)＝0，
所以x2＋y2＝x＋y≤，
从而≤，当且仅当x＝y＝1时取等号．
又|c|＝，故|c|的最大值为.
答案：
在△ABC中，已知＝(2，4，0)，＝(－1，3，0)，则∠ABC＝__________．
解析：∵＝(－2，－4，0)，＝(－1，3，0)，
∴·＝2－12＋0＝－10，
||＝ ＝2，
||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴∠ABC＝135°.
答案：135°
如图，已知E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与的夹角的余弦值．
解：设正方体的棱长为m，
＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝m，
a·b＝b·c＝a·c＝0，
又∵＝＋＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝c＋a，
∴·＝(a＋b)·(c＋a)＝m2，
又∵|A1C1|＝m，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(创新题)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以，为邻边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a与，均垂直，求向量a的坐标．
解：(1)由题意，可得：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴sin〈，〉＝.
所以，以，为邻边的平行四边形的面积为
S＝||||sin〈，〉＝14×＝7.
(2)设a＝(x，y，z)．
由题意，得
解得或
∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)．
3.2.2 空间线面关系的判定
[基础达标]
若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则l与α的位置关系为________．
解析：∵u＝(－2，0，－4)＝－2×(1，0，2)＝－2a，
∴u∥a，∴l⊥α.
答案：l⊥α
平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是__________．
解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1，2，0)·(2，－1，0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．
答案：垂直
设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________．
解析：由题意知，向量(1，－2，2)与向量(2，λ，4)共线，
∴＝＝，∴λ＝－4.
答案：－4
已知直线l的方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为________．
解析：∵u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0，
∴u⊥v，∴l∥α或l?α.
答案：l∥α或l?α
已知直线l的方向向量为v＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n＝(2，4，1)，且l?α，则l与α的位置关系是__________．
解析：因为v·n＝2－4＋2＝0，所以v⊥n，又l?α，所以l∥α.
答案：l∥α
已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过点A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝__________．
解析：由已知得＝(1，y－2，3－z)，依题意∥v，所以＝＝.所以y＝，z＝，得y－z＝0.
答案：0
已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，2)，＝(x，－3，6)，若DE∥平面ABC，则x＝__________．
解析：若DE∥平面ABC，
则存在实数对λ、μ，使得＝λ＋μ.
即，解得.
答案：5
如图所示，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列命题中正确的是________．
①EF至多与A1D、AC之一垂直；
②EF是A1D、AC的公垂线；
③EF与BD1相交；
④EF与BD1异面．
解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)．则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝，＝(－1，－1，1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.
答案：②
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长，求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，
则E(，，0)，F(0，，)，
故＝(－，0，)，
又＝(0，a，0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝(0，a，0)·(－，0，)＝0，∴⊥.
又EF?平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.
如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．求证：平面ADE⊥平面A1FG.
证明：连结D1F，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为1.
∴D(0，0，0)，E(1，1，)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，G(1，，0)，F(0，，0)．
∴＝(0，1，)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．
∴·＝0＋－＝0，
·＝0＋0＋0＝0.
∴⊥，⊥，
∵A1G∩GF＝G，
∴AE⊥平面A1GF.
又AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面A1GF.
[能力提升]
若直线a与b是两条异面直线，它们的方向向量分别为v1＝(1，1，－1)和v2＝(2，－3，2)，又a与b的公垂线的方向向量为v＝(x，y，5)，则x＋y＝__________．
解析：由已知得，
所以x＝1，y＝4，故x＋y＝5.
答案：5
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1B1与平面AD1C的位置关系是__________；A1B与平面DD1C1C的位置关系是__________．
解析：A1B1与平面AD1C相交．由A1B∥CD1，又A1B?平面DD1C1C，CD1?平面DD1C1C，∴A1B∥平面DD1C1C.
答案：相交 平行
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
证明：
建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz，则各点坐标是A1(1，0，0)，D1(0，0，0)，B1(1，1，0)，B(1，1，1)，D(0，0，1)，C(0，1，1)，
所以＝(0，1，1)，
＝(－1，－1，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨取z＝1，则n＝(1，－1，1)．
又由＝(－1，－1，0)，＝(0，1，1)，
知n·＝0，n·＝0.
所以和都与n垂直．
所以n与平面B1D1C垂直，
从而得到平面A1BD∥平面B1D1C.
(创新题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置．
解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a，
(1)证明：A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，m)，则＝(－a，a，m－a)，＝(－a，－a，0)，
所以·＝a2－a2＋0＝0，
所以⊥，即A1E⊥BD.
(2)法一：设BD的中点为O，连结OE，OA1，
则O(，，0)，所以＝(－，，m)，＝(－a，－a，0)，
因为△BCE≌△DCE，所以ED＝EB，所以OE⊥BD，
又＝(，－，a)，所以·＝0，
所以OA1⊥BD，
所以∠A1OE是二面角A1－BD－E的平面角，
因为平面A1BD⊥平面EBD，所以∠A1OE＝，
所以·＝0，即－－＋am＝0，∴m＝.
故当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.
法二：E为CC1的中点．
证明如下：由E为CC1的中点得E(0，a，)，
设BD的中点为O，连结OE，OA1，则O(，，0)，
所以＝(－，，)，＝(－a，－a，0)，
则·＝0，⊥，即OE⊥BD.
又＝(，－，a)，所以 ·＝0，
所以OA1⊥BD，所以∠A1OE是二面角A1－BD－E的平面角．
所以·＝－－＋＝0，所以⊥，
故OA1⊥OE，即∠A1OE＝，
所以平面A1BD⊥平面EBD.
所以当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.
3.2.3 空间的角的计算
[基础达标]
如图，四棱锥S–ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是__________．
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．
解析：易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，①正确；AB∥DC，DC?平面SCD，故AB∥平面SCD，②正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．
答案：④
已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝，
所以两直线所成角的余弦值为.
答案：
若直线l的方向向量为a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值等于__________．
解析：sin θ＝＝＝.
答案：
若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0，0，3)，n＝(8，9，2)，则这个锐二面角的余弦值为__________．
解析：cos θ＝＝＝.
答案：
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，选择基向量{，，}，则＝－，＝＋，
所以cos〈，〉＝
＝＝0，
故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.
答案：90°
在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1＝(0，－1，3)和n2＝(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为__________．
解析：由cos〈n1，n2〉＝＝，知这个二面角的余弦值为或－.
答案：或－
在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A－Ox－B，使∠AOB＝90°，则cos θ等于__________．
解析：过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A′、B′(图略)，则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝，
折后，∠AOB＝90°，∴AB＝＝，
由＝＋＋，
得||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos(π－θ)．
∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，
∴cos θ＝.
答案：
在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成角的正切值为__________．
解析：
连结BD，则G∈BD，由PD⊥面ABCD知∠PGD为所求角．因为PD＝AB＝1，G为△ABC重心，所以DG＝BD＝.因此tan∠PGD＝＝.
答案：
如图所示，有一长方形的纸片ABCD，长AB＝4 cm，宽AD＝3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD的长．
解：作DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F为垂足，
则AC＝＝5 cm，
DE＝BF＝4×＝ cm，
AE＝CF＝＝ cm，
EF＝ cm.
折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，
且||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos 60°
＝()2＋()2＋()2＋2×()2×＝，
∴BD＝ cm，即折叠后BD的长为 cm.
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.
(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；
(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解：(1)如图所示，以点A为坐标
原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为
z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系．由已知得A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1(－a，，a)．
(2)取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连结AM，MC1，有＝(－a，0，0)，且＝(0，a，0)，＝(0，0, a)，
∴·＝0，·＝0，∴MC1⊥AB，MC1⊥AA1，∵AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴与所成角即为所求的角．
∵·＝0＋＋2a2＝a2，
||＝ ＝a，
||＝ ＝a，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
[能力提升]
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________．
解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，)，
∴＝(0，，1)，＝(1，0，)．
∴cos〈，〉＝
＝＝.
答案：
如图，将等腰直角三角形ABC沿中位线DE将其折成60°的二面角A－DE－B，则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是__________．
解析：如图，∵DE⊥平面ADC，
∴∠ADC为二面角A－DE－B的平面角，即∠ADC＝60°，
又AD＝DC，∴△ADC为正三角形．
由平面ADC⊥平面BCDE，过A作AF⊥DC于F，则AF⊥平面BCDE，
∴∠ABF为AB与平面BCDE所成角．
设AD＝1，则在Rt△AFB中，
AF＝，BF＝＝，
∴tan∠ABF＝＝＝.
答案：
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1–BD–C1的大小．
解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC?平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且
BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)．
则＝(0，0，－1)，
＝(1，－1，1)，＝(－1，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即
可取n＝(1，1，0)．
同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，
则即
可取m＝(1，2，1)．
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
(创新题)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．
设二面角C－AE－D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θ·tan φ＝1，求λ的值．
解：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(0，0，λa)，
∴＝(a，0，－λa)，＝(0，a，－λa)，＝(－a，－a，λa)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥得，即.
取z＝，得n＝(λ，λ，)．
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为＝(0，0，2a)与＝(0，a，0)．
∴sin φ＝＝，
cos θ＝＝.
∵0<θ，φ<，λ>0，
∴tan θ·tan φ＝1?θ＋φ＝?sin φ＝cos θ?＝?λ2＝2，由λ∈(0，2]，解得λ＝，即为所求．
第3章 空间向量与立体几何
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________．
解析：A、B、C三点共线，则有与共线，即＝λ，又＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋4)，
∴解得
答案：3 2
已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC中点，则＝________.(用a，b，c表示)
解析：显然＝－＝(＋)－.
答案：－a＋b＋c
在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是________(填序号)．
①＝3－－；②＝＋＋；
③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.
解析：①对，空间的四点M，A，B，C共面只需满足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M与A，B，C共面．
答案：①③
已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，若a，b成120°的角，则k＝________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝－<0，
∴k<0，∴k＝－.
答案：－
已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于________．
解析：只需将＝＋＋，运用向量运算||＝即可．
答案：
已知A(－1，－2，6)，B(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是________．
解析：利用cos〈，〉＝＝－1.
即向量与的夹角是π.
答案：π
设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是________三角形．
解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．
答案：锐角
已知A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，则△ABC的面积为________．
解析：应用向量的运算，计算出cos〈，〉，再计算sin〈，〉，从而得S＝||||·sin〈，〉＝.
答案：
下列命题：
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直；
其中正确的个数为________．
解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确．
答案：3
在空间直角坐标系O－xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝________．
解析：如图所示，设|a|＝m(m＞0)，
a＝，PA⊥平面xOy，
则在Rt△PBO中，||＝||·cos〈a，i〉＝m，
在Rt△PCO中，||＝||·cos〈a，j〉＝，
∴||＝，在Rt△PAB中，
PA＝ ＝ ＝，
∴OD＝，在Rt△PDO中，
cos〈a，k〉＝＝，
又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.
答案：60°
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．
解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，
所以cos〈，〉＝－，
故 sin〈，〉＝.
答案：
点P是棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1内一点，且满足＝＋＋，则点P到棱AB的距离为________．
解析：如图所示，过P作PQ⊥平面ABCD于Q，过Q作QE⊥AB于E，连结PE.
∵＝＋＋，
∴PQ＝，EQ＝，
∴点P到棱AB的距离为
PE＝ ＝.
答案：
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦值为________．
解析：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CA＝CB＝a，
则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)．
∴E(，，1)，G(，，)，
∴＝(，，)，＝(0，－a，1)，
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
∴GE⊥平面ABD，
∴·＝0，解得a＝2.
∴＝(，，)，＝(2，－2，2)．
∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量，
那么cos〈，〉＝＝＝，
∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为＝.
答案：
在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离为：d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O－xyz，
则A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，
所以－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，
则d＝＝.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)在正方体ABCD–A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD的中心．求证：对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为1，
则A(1，0，0)，P，
M，N(1，y，1)．
∴＝，
＝.
∴·＝(－1)×＋0×＋×1＝0，
∴⊥，
即A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.
(本小题满分14分)已知空间向量，，满足||＝5，||＝8，＝，且·＝0.
(1)求|－|；
(2)设∠BAC＝θ，且已知cos(θ＋x)＝，－π解：(1)由已知得＝－＝＋＝，所以＝，＝＝，
则||＝||＝，||＝，
因为·＝0，所以CD⊥AB，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2＋CD2，
又CD2＝AC2－AD2，所以BC2＝BD2＋AC2－AD2＝49，所以|－|＝||＝7.
(2)在Rt△ADC中，cos∠BAC＝，所以θ＝；
所以cos(θ＋x)＝cos(＋x)＝，
故sin(＋x)＝±.
而－π如果0<＋x<，则sin(＋x)所以sin(＋x)＝－.
(本小题满分14分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B，C，D，P，E的坐标为A(0，0，0)、B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、P(0，0，2)、E(0，，1)，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)，设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝(－x，，1－z)，由NE⊥面PAC，
可得
即
∴∴
即N点的坐标为(，0，1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1，.
(本小题满分16分)已知一个多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，A(2，0，0)，C1(0，4，3)；
设F(0，0，z)，
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴＝，得(－2，0，z)＝(－2，0，2)，
∴z＝2，∴F(0，0，2)，∴＝(－2，－4，2)．
于是||＝2，即BF的长为2.
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y，1)，
由得
即∴∴n1＝(1，－，1)．
又＝(0，0，3)，设与n1的夹角为α，
则cos α＝＝＝.
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝||cos α＝3×＝.
(本小题满分16分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB，M是PB的中点．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB所成角的余弦值；
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．
解：以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，)．
(1)证明：因＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，
故·＝0，
所以AP⊥DC.
由题设知AD⊥DC，且AP∩AD＝A，
由此得DC⊥平面PAD.
又DC在平面PCD上，故平面PAD⊥平面PCD.
(2)因为＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，
故||＝，||＝，·＝2，
所以cos〈，〉＝＝.
故所求AC与PB所成角的余弦值为.
(3)在MC上取一点N(x，y，z)，
则存在λ∈R，使＝λ，
∵＝(1－x，1－y，－z)，＝(1，0，－)，
∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ.
要使AN⊥MC，只需·＝0，
即x－z＝0，解得λ＝.
可知当λ＝时，N点坐标为(，1，)，
∴·＝0，
此时＝(，1，)，＝(，－1，)，有·＝0.由·＝0，·＝0得
AN⊥MC，BN⊥MC，
所以∠ANB为面AMC与面BMC所成二面角的平面角．
∵||＝，||＝，·＝－，
∴cos〈，〉＝＝－，
故所求的二面角的余弦值为－.
(本小题满分16分)
如图，在四棱锥P–ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，，、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
则A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
所以＝(0，0，1)，＝(0，2，0)，·＝0，
所以PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
(2)＝(－1，1，0)，＝(1，－1，－1)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(3)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，
由，得，
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，得平面PCD的一个法向量为
n＝(1，1，1)．又＝(1，1，0)，从而点A到平面PCD的距离d＝＝＝.
