高中物理第一册（人教大纲版） 第七章机械能 7、机械能守恒定律的应用(备课资料)

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●备课资料
一、机械能变化和做功的关系
当研究对象所受各力中，只有重力（和弹簧弹力）做功时，研究对象的机械能守恒.虽然如果除重力（和弹簧弹力）之外，还有其他的力（外力和内力）做功不为零，则研究对象的机械能将发生变化.如果将研究对象所受各内、外力中除去重力（和弹簧弹力）后所做的功记为 W非，则研究对象机械能的变化ΔE = W非.
研究对象的机械能发生变化时，虽然不再满足机械能守恒定律，但仍应遵循更一般的能量转化与守恒定律.如果我们能分析清楚某一物理过程中能量变化和转化的情况，根据能量转化与守恒定律也能解决力学问题.例如：如图所示，质量分别为 m1和m2的两物体用轻绳相连接，绳跨过安放在桌边的一个小定滑轮，m2位于桌外，距地面 h 高处.现将两物体由静止开始释放，m2将下落，若m2 落地时物体 m1 尚未与滑轮相撞，已知 m1 与水平桌面间动摩擦因数为μ，则m2 落地时的速率v可根据能量转化与守恒定律求得.m2 下落到地面时，重力势能减少了 m2gh，减少的重力势能有一部分转变为m1 和m2的动能，另外一部分用于 m1 克服摩擦做功转变为内能，因此有：
0m2gh =(m1 + m2)v2 +μm1gh
当然也可根据 ΔE = W非列出方程，系统在上述过程中的初态机械能E = m2gh + Ep1（以地面为参考面），末态机械能(m1 +m2)v2 + Ep1，
W非=－μm1gh，应有
(m1+ m2)v2－ m2gh =－μm1gh
v =
当然上述情况也可根据牛顿定律与运动学公式进行分析，或分别对两物体应用动能定理，但都不如用能量转化与守恒的观点解决问题那么简捷，从能量转化与守恒的观点出发分析研究问题，是物理学常用的一种思维方法.
二、关于碰撞的几个问题
（1）物体之间通过极短时间的相互作用，使物体的动量发生明显的变化，是碰撞的基本特点.在这极短时间内，非碰撞力的冲量与物体之间相互作用的碰撞力冲量相比甚微，可以忽略.因此，只要适当地选择系统，使碰撞力成为系统内力.则在碰撞过程中，系统的总动量可视为守恒，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中各物体的位移也可忽略（题目特别声明者除外），即碰撞后各物体由碰撞前瞬间所在位置，以新的动量开始运动.
需要特别注意的是，碰撞过程中非碰撞力的冲量可以忽略，但碰撞之前、碰撞之后非碰撞力是不能忽略的.因此，碰撞过程与碰撞之前、碰撞之后的过程往往遵循不同的物理规律，通常应将碰撞过程与碰撞前、后的过程加以区别，分别进行研究并找到有关物理量的联系.
通常说碰撞过程遵循动量守恒定律，这种说法其实是有条件的，即碰撞力的冲量必须是所研究系统的内力冲量.如果系统所受外力中含有碰撞力，或者说如果系统所受外力冲量不能忽略，显然，系统在碰撞过程中就不遵循动量守恒定律.例如：如图所示，两物体的质量相等，分别记为 m2 和m3，拴在一根不可伸长的绳的两端（绳的质量不计），跨过一固定于屋顶的轻滑轮，另有一质量为 m1 的小物体，上有小孔，穿过轻绳位于 m2 上方.当m1下落与m2发生正碰并粘为一体时，即便碰撞时间极短， m1与m2所构成的系统在碰撞过程中动量并不守恒.因为 m2 受到绳子拉力为外力，而绳子拉力的冲量在碰撞过程中是不能忽略的，因为正是绳子拉力冲量的作用，使 m3 物体在极短时间里由静止开始达到与m2有相同的速率.显然，绳子拉力的冲量与 m1、m2之间相互作用的碰撞力冲量大小应该有相同的量级，即绳子拉力的冲量就其大小而言，也属于碰撞力的冲量.如果将三物体连同轻绳视为一个系统，在碰撞过程中绳拉力的冲量虽然成为内力的冲量，但滑轮对绳作用力的冲量（其大小等于绳拉力冲量大小之2倍）是外力冲量，在碰撞过程中同样不可忽略，系统动量仍不守恒.如果外力的冲量在碰撞过程中不能忽略，可用动量定理研究此碰撞过程.在上述碰撞过程中设m1下落到与m2 碰撞之前瞬间速率为 v0，碰后三物体共同速率为 v，绳拉力冲量大小为I，并以竖直向下为正向，对m1、m2组成系统而言，在碰撞过程中应有：
(m1+ m2)v－m1v0 =－I
对于物体m3而言，应有
－m3v =－I
两式相比较，可得（m1 + m2 +m3）v = m1v0.此式好像反映系统动量守恒，但实际上左端并不是三物体组成的系统的总动量，只是三物体动量大小之和，因此，上式并不表示在碰撞过程中，三物体组成的系统动量守恒.
（2）碰撞过程中的能量问题
单纯的机械碰撞过程中系统的机械能有可能转变为其他形式能量.碰撞过程中系统的机械能保持不变，则称为弹性碰撞.若系统在碰撞过程中所受外力冲量可忽略，则弹性碰撞应同时遵循动量守恒和总动能在碰前、碰后应相等这两个方程.解方程组可得两物体的碰后速度为：
v1′=v2
v2′==v2
显然，当两物体质量相同时，在对心弹性正碰中交换速度.
碰撞后系统总动能减少的碰撞称为非弹性碰撞.如果碰后两物体粘为一体，称为完全非弹性碰撞.在碰前条件不变的情况之下，完全非弹性碰撞中系统总动能的损耗最多.完全非弹性碰撞中，碰后两物体有相同的速度v′，根据碰撞过程中动量守恒，可知v′=
由于碰撞过程中没有其他形式能量转化为机械能，但却有可能发生机械能转化为其他形式能量，所以任何一个机械碰撞过程，必须满足碰后系统总动能不大于碰前系统总动能这一条件.通常判断一个碰撞是否可能发生，既要看此过程是否满足动量守恒，又要看它是否遵循上述必须满足的能量关系，即必须同时满足以下两式：
m1v1+m2v2 = m1v1′+m2v2′
m1v12 +m2v22≥m1v1′2 + m2v2′2
例如：质量为 m1 的小球在光滑水平面上向静止的m2小球运动，发生正碰.如果m1＞m2，则仅从动量守恒的条件来判断，m1 是有可能返回的，但从能量条件而言， m1 返回又是不可能的，因为如果m1返回，则由动量守恒 p1 =p′1 +p′2，p′1＜0，得p′2＞p1 ，由Ek =知 Ek2′== Ek1，即碰后仅m2球动能就大于碰前总动能，显然是不可能的.即当 m1＞m2时，m1与静止的m2相碰之后绝不可能反向运动，甚至也不可能停下来（证明的方法同上），而只能沿原方向运动.
一个碰撞过程是否能够发生，除了碰后速度应满足上述两式之外，由于两物体不能互相穿越，对碰后速度还应有一些相应的限制.例如两个质量相同的小球沿一直线相向运动，以第一个小球原来的运动方向为正向，碰前v1=5 m/s，v2 =－4 m/s.若碰后 v1′= 2 m/s，v2′= －1 m/s，则所给数据既满足动量守恒，也满足碰后总动能不大于碰前总动能，但这种碰撞实际仍然是不能发生的，因为所给数据违背了两球不能相互穿越的事实.实际上所给数据发生在两球碰撞过程之中某一瞬间，此时两球正在互相挤压，碰撞过程远未结束.
判断一个碰撞过程是否可能发生，也可先求出弹性碰撞碰后的速度和完全非弹性碰撞碰后的速度，则任何一个可能的碰撞过程的碰后速度应界于上述两种碰撞的碰后速度之间（当然还应满足动量守恒条件）.例如前述过程应有：－4 m/s≤v1′≤0.5 m/s,0.5 m/s≤v2′≤5 m/s.
三、人体血液循环与功的综合例析
1.关于人体循环系统
人体循环系统是由心脏、肺和血管系统所构成，它包括了人体给养通路的体循环和血液净化的肺循环，下图为人体处于静态时，人体各部分的血液流向百分比，括号内的数字表明的是人处在剧烈运动时，血液改变的倍数．
循环系统中的血管系，其类型、数量，规格参下表
由上表可知，遍布人体各处的毛细管总计有1010条，其壁厚约1μm，管壁上具有直径4 nm的小孔，营养物与废物正是通过这些小孔进行渗透，实现交换的．
人体大约有1013（10万亿)个细胞，一个细胞可视为一个基本单位，可见人体是个巨大系统，不妨打一个比方：设全球人口为５0亿，且1个家庭5口人，则全球约为10亿个家庭，将这个数字再扩大1万倍，那么从对10亿个家庭建立起一个生态维持系统的角度来说，正好等价于下面我们要谈及的人体循环系统．
2.心脏做功的有关知识
(1)心脏做功
一般说，左心室的容血量为150 cm3．它的心搏周期为1 s，心脏每跳动一次送入主动脉的血液量为80 cm3，左心室在充盈状态时，其内部压力为0；而当血液从左心室流入主动脉时，收缩压不小于90 mmＨg~120 mmＨg，考虑阻力衰减因素，平均值不小于100 mmＨg．
因为ｐ＝ρgh＝13．6×103×98×100×10－3 Pa1.3×104 Pa．
所以左心室做功
W左＝pΔV＝1.3×104×80×10－6J＝1　J
肺血管的阻力低，故仅需要较低的压力即可推动进行肺循环，右心室和肺动脉的收缩压较低，其平均值为20 mmＨg．
所以右心室一次把血射入肺所做的功也就相当于左心室做功的．
所以W右＝0.2 J
这样看来人处在正常状态时，心脏平均功率为：
P＝＝1.2 W
实际上，心脏消耗的化学能远远比其实际输出的大得多，有人粗算其系数为0．1，也就是说，一个处于正常状态的人，心脏实际消耗功率为12　W．
(2)左心室做功
现在大多数人的心脏都能满足工作70年，如果按每秒钟心脏跳动一次多一点儿计算，则人的一生心脏跳动次数总计3×109次，这是一个十分惊人的劳动量．心脏不停地工作要产生多种能量，例如心脏传导系统用以形成电冲动和传导电冲动的电能等．
刚才我们推导得到左心室在一次舒张，一次收缩时所做的功为1　J，下边我们对它作一分析：
因为血管是弹性结构，它随内压的增加而膨胀，因而半径是变化的，但小血管的扩张弹性很小，故小血管中的血液流动是稳流，而大动脉和腔内静脉的流动是脉动， 因此流体力学中的泊肃叶方程不再适用，但我们可以用平均流速来代替对脉冲流的分析：
主动脉的半径大约是1 cm，故横截面积近似为3 cm2，而每秒钟大约有80 cm3血液流过主动脉，因此血液的平均流速为
27 cm/s
左心室在约0.2 s的收缩压内压力较高，主动脉冲的血流速率可接近100 cm／s＝1 m/s，而心跳一次所泵入的一份血液质量m=0.08 kg（m＝ρV＝1040 kg／m3×80×10－6m3）,故转化为血液的动能约为Ek＝mv2＝×0．08×12 J＝0．04　J．
它约占左心室一次心跳所做功的4％．
其余的能量又如何转化呢
我们知道：主动脉的血液不能很快进入外周系统的小血管，小血管的半径小，弹性也小，血液在小血管中的流动完全适用泊肃叶方程，由泊肃叶阻力公式R＝可知，小血管的流阻非常大，主动脉及大动脉血管必须扩张才能容纳下左心室收缩期所排出的80cm3血液.在左心室收缩后的0．8 s内，当血液被挤压到外周系统的小血管时，扩张了的主动脉和大动脉还要恢复到原来的程度，于是这种弹性势能就最终转化为血液流经大量狭窄血管时克服其粘滞阻力的内能．
3.关于伯努利方程对血压的分析
伯努利方程是在液体不可压缩、没有粘滞性、做稳定流动这三个条件下导出的.人体的正常血液循环是属于稳恒的，血液是漂着质点的液体，在内径小于0.5 mm的血管中，粘度是变化的，在较大的动脉和静脉中，可认为血液是均匀的.从粘滞性来说，血液、血清和血浆与37℃的水具有同一数量级，因此，用伯努利方程来分析血液在血管中的流向是很接近事实的．
人体在平卧时，各处大动脉的血压平均值约为100 mmＨg，大静脉的血压平均值为５mmＨg．
当人体直立时，伯努利方程中的重力项就变得重要了，以一身高为1.8 m的人为例，脚大约在心脏下1．2　m处，因此，脚处血压将比心脏附近的动脉血压约高出90 mmＨg，即ρgh＝1050×9．8×1.2 mmHg＝90 mmＨg同样道理，由于脑血管位置比心脏高出约0．4 m，故脑动脉血压会大约降低30 mmＨg．
人的静脉几乎没有调整其管径大小的能力，而动脉却能较容易地调整其管径.平卧时，静脉血容量减少，这是因为人体各处高度相同，血压相同，静脉血的分布几乎趋于均匀；而人站立时，由于血液充盈，下半身的静脉回心血量减少，故下半身扩张的静脉压增加了，突然起床时的头晕感觉与头部血液下降、下肢静脉扩张充盈有关．
参考资料：庞金富编译的《人体循环系统中几个物理专题的讨论》《中学物理教学参考》2000.2
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