沪科版本数学八年级上册13.2.3命题与证明教学设计
课题
13.2.3命题与证明
单元
第三章第2节第3课时
学科
数学
年级
八年级上
教材分析
本章前面两个课时学习了三角形中的边角关系，以及命题与证明等几何知识。本章是在学生对几何结论具有一定认识的基础上进行概念和结论的学习，比较系统的对证明的思维方法和表达形式展开研究。本节课主要讲如何去证明三角形的内角和180°及几个推论，并通过习题对证明过程的书写进一步的强化。
学情分析
全班大部分的学生数学基础不是很好，对数学中几何的概念理解较差，几何证明题的书写仍然欠缺，分析问题能力较弱，两极分化较严重，虽经七年级的数学学习，基本形成数学思维模式，具备一定的应用数学知识解决实际问题的能力，但在知识灵活应用上还是很欠缺，同时作答也比较粗心。从本次月考成绩可以看出，与兄弟学校优秀班级相比，大部分的学生获得了进步。
学习
目标
【知识与技能】
1.掌握三角形内角和定理及其四个推论.
2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.
3.探索并理解三角形的内角和定理.
4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.
【过程与方法】
1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程.
2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论.
【情感、态度和价值观】
1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.
2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.
3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.
重点
掌握三角形内角和定理及其三个推论
难点
三角形内角和定理的证明
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、什么叫证明 ？证明的一般步骤有哪些？
二、三角形内角和是多少？
一、演绎推理的过程，叫做演绎证明，简称证明。
1根据题意画出图形
2根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
3经过分析，找出已知条件推出结论的途径，写出证明过程
二、三角形内角和为180°
学生一一回答上节内容，订正答案，强化知识点。
复习导入，温故而知新，吸引学生的注意力，快速进入高效课堂。
讲授新课
活动探究一：思考以下问题。 （小组讨论，3min）
1三角形的内角和180°如何去证明呢？
2直角三角形的两个锐角什么关系？
证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°.
已知：如图，△ABC，求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.
证法1
证明：如图，延长BC至D，以点C位顶点、
CD为一边作∠2=∠B，
∵ ∠2=∠B（作图 ）
∴ CE∥BA（同位角相同， 两直线平行）
∴∠1=∠A （两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义 ）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线
1.辅助线用虚线表示
2.证明的开始要交代清楚,后添加的字母也要交代清楚.
已知：如图，△ABC
求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.
证法2：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA（作图）
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°（平角的定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
请同学们课下完成，添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
推论1 直角三角形两锐角互余
如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个锐角的和会是多少?
如下图，∠A+∠B+∠C=180°由于∠C=90度，所以∠A+∠B=90°
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形
如果一个三角形中∠A+∠B=90°，根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°
所以∠C=90度，所以如下图的三角形为直角三角形。
活动探究二：思考以下问题，小组讨论。 （3min）
1三角形的外角是什么？
2三角形外角与其内角有什么关系？
三角形的外角定义又是什么呢
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
推论3三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
证明：
由三角形内角和定理，
∠3+ ∠1+ ∠2=180°，
而∠ 4+∠2=180°
所以∠4= ∠3+∠1
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
几何语言:
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD>∠A，∠ACD> ∠B
例5 .已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角。求证：∠1+∠2+∠3=360°
证明： 由补角定义
∠1+ ∠4=180°
∠2+ ∠5=180°
∠3+ ∠6=180°
又因为∠4+∠5+∠6=180°
所以∠1+∠2+∠3=360°
变式1如下图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为_____________.
变式2如下图所示，把∠A，∠1，∠2，按从大到小的顺序用<号连接起来
变式3如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为______度．
拓展提高
如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________
（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________
（3）如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________
（4）请就图2及图2中的结论进行证明
必做题: 随堂练习 P83
选做题: 习题13.2第8,9题
学生自学课本内容例题，锻炼了学生自学能力，为学生独立进行证明等做铺垫．
讨论多种证明方法，并进行对比，各个方法的优缺点
对每一种方法的辅助线的做法进行研究。
学生尝试自己说出这两个推论的简单证明过程。学生要独立完成，然后进行展示，其他学生相互补充。
思考讨论探究二的问题，对外角的加深认识。
学生尝试证明推论3和4，最后听老师总结
学生练习例题和变式的练习，加深外角定义和推论的理解，最终掌握
以问题引入新课内容，让学生建立知识结构。锻炼学生观察能力，思辨能力，让学生带着问题去听课。
通过例题的学习进一步探究证明的过程的书写，由易到难，加深对知识点的理解和掌握．
加深对证明几个推论的掌握，锻炼学生的逻辑思维能力。
学生独立完成例题变式，养成独立完成作业的习惯
课堂小结
1三角形内角和证明
2三角形角的4个推论
学生交流自己的收获
让学生对所学知识进行回顾、梳理，既巩固了本节课的有关知识，有培养了学生的良好学习习惯．
板书
13.2.3命题与证明
1三角形内角和定理证明 及推论、
2三角形外角的推论
课件23张PPT。13.2.3命题与证明沪科版 八年级上新知导入一、什么叫证明 ？证明的一般步骤有哪些？
二、三角形内角和是多少？一、演绎推理的过程，叫做演绎证明，简称证明。
1.根据题意画出图形
2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.经过分析，找出已知条件推出结论的途径，写出证明过程
二、三角形内角和为180°新知讲解活动探究一：思考以下问题。 （小组讨论，3min）
1三角形的内角和180°如何去证明呢？
2直角三角形的两个锐角什么关系？
证法1
证明：如图，延长BC至D，以点C位顶点、
CD为一边作∠2=∠B，
∵ ∠2=∠B（作图 ）
∴ CE∥BA（同位角相同， 两直线平行）
∴∠1=∠A （两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义 ）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°.
已知：如图，△ABC，求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.新知讲解新知讲解为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线
1.辅助线用虚线表示
2.证明的开始要交代清楚,后添加的字母也要交代清楚.已知：如图，△ABC
求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.证法2：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA（作图）
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°（平角的定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180°新知讲解你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
请同学们课下完成添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角新知讲解新知讲解如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个锐角的和会是多少?
如下图，∠A+∠B+∠C=180°由于∠C=90度，所以∠A+∠B=90°推论1 直角三角形两锐角互余CBA新知讲解 如果一个三角形中∠A+∠B=90°，根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°
所以∠C=90度，所以如下图的三角形为直角三角形。推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形CBA像推论1，推论2这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论新知讲解活动探究二：思考以下问题，小组讨论。 （3min）
1三角形的外角是什么？
2三角形外角与其内角有什么关系？
D三角形的外角定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．新知讲解证明：
由三角形内角和定理，
∠3+ ∠1+ ∠2=180°，
而∠ 4+∠2=180°
所以∠4= ∠3+∠1
新知讲解推论3 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
几何语言:
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD=∠A+∠B∠4和 ∠3+∠1的关系？ ∠ACD = ∠A+ ∠B
∠ACD ∠A (<、>)；
∠ACD ∠B (<、>).D＞＞推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
几何语言:
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD>∠A，∠ACD> ∠B新知讲解 321ABC例5 .已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=360°证明： 由补角定义
∠1+ ∠4=180°
∠2+ ∠5=180°
∠3+ ∠6=180°
又因为∠4+∠5+∠6=180°
所以∠1+∠2+∠3=360°新知讲解 课堂练习变式1 如下图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为_____________.
变式2 如下图所示，把∠A，∠1，∠2，按从大到小的顺序用<号连接起来
___________________________________________20°∠A<∠1<∠2变式3 如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为______度．解：∵AB ∥ CD，∠B=68°， ∴∠BFD=∠B=68°， 而∠D=∠BFD-∠E
=68°-20°
=48°．课堂练习48°拓展提高如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________
（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________
（3）如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________
（4）请就图2及图2中的结论进行证明?拓展提高1三角形内角和证明
2三角形角的4个推论课堂小结板书设计13.2.3命题与证明1三角形内角和定理证明 及推论、
2三角形外角的推论作业布置必做题: 随堂练习 P83
选做题: 习题13.2第8,9题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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