24.3 正多边形和圆课时作业
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24.3 正多边形和圆课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（ ）
A．1：2 B．1： C． ：1 D．2：1
2.已知某个正多边形的内切圆的半径是 ，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八 B．六 C．四 D．三
3.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
4.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
5.下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
6.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm
7.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边
重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
8.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r
、填空题
9.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
10.如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
11.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= ．
12.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号）
13.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 ．
14.如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
15.如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．
、解答题
16.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
17.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48，试求正六边形的周长．
18.尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
19.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
20.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
21.（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM,ON，求∠MON的度数。
（2）图②、③、…… ④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、……正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是__________，图③中∠MON的度数是__________；……由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是_______
答案解析
、选择题
1.【考点】正多边形和圆
【分析】先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
解：如图，
△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OA：OD=2：1．
故选D．
2.【考点】正多边形和圆
【分析】根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．
解：根据勾股定理得：=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
3.【考点】正多边形和圆
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2 ，高为3，
因而等边三角形的面积是3 ，
∴正六边形的面积=18 ，
故选C．
4.【考点】正多边形和圆
【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．解： A.∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
5.【考点】正多边形和圆
【分析】设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值
解：设正边形的边数是n．
根据题意得：180-，
解得：n=4．
故选B．
6.【考点】正多边形和圆
【分析】欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．
解：如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8 cm．
故它的内接正三角形的边长为8 cm．
故选：A．
7.【考点】正多边形和圆；旋转的性质．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．
解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
故选C．
8.【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG===r，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
、填空题
9.【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM==30°，
∴OM=OB?cos∠BOM=6×=3；
故答案为：3．
10.【考点】正多边形和圆．
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
解：由题意可得，
AD=2+×2=2+2，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2）=8+8，
故答案为：8+8．
11.【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形， ∴四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠B+∠AEC=180°， ∵∠CED=∠CAD=35°， ∴∠B+∠E=180°+35°=215°． 故答案为：215°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
12.【考点】数学常识；正多边形和圆
【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
13.【考点】正多边形与圆，解直角三角形，等边三角形的性质，正方形的性质
【分析】先化成同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
解：设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=R，
∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，
故答案为：：1．
【点评】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
14.【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．
解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
15.【考点】正多边形和圆
【分析】设△AFB的内切圆的半径为r，过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，解直角三角形求出AM、FM、BM，根据三角形的面积求出r，即可求出答案．
解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A==120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF=（180°﹣120°）=30°，
∴△AFB边BF上的高AM=AF=（6+4）=3+2，FM=BM=AM=3+6，
∴BF=3+6+3+6=12+6，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S+S+S，
∴×（3+2）×（3+6）=×r+×r+×（12+6）×r，
解得：r=，
即O1M=r=，
∴O1O2=2×+6+4=9+4，
故答案为：9+4．
、解答题
16.【考点】正多边形和圆
【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解．
解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2×=，
∴⊙O的面积=π（）2=2π．
【点睛】本题考查了正多边形的计算，根据正方形的面积求得半径是关键．
17.【考点】正多边形和圆
【分析】连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°. 连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°. 由△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6×× R×R＝48，解得R，可求出周长.
解: 如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.
在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝R，AH＝
＝
而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6×× R×R＝48，解得R＝8，
即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.
【点睛】本题考核知识点：正多边形和圆.解题关键点：结合勾股定理求出边长.
18.【考点】正多边形和圆
【分析】（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．
解：（1）如图所示：
（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB==．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
19.【考点】正多边形和圆
【分析】根据题意画出图形，连接OE、OG，OF，由正六边形T1，得到∠EOF为60°，从而得到△EOF为等边三角形，即a=r，故得到a：r=1：1；在Rt△EOG中，由OG为角平分线，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函数可求出OE及OG的长，即为r：b的比值，然后求出a：b的比值，根据正六边形T1，T2相似，其面积之比等于边长之比的平方，即可求出面积之比．
解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；
（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆及特殊角的三角函数值，解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解．
20.【考点】正多边形和圆
【分析】（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出； （2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．
解： ：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，ssssss
∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE=
∴BC=2BE=2×
21.【考点】正多边形和圆, 圆周角定理
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；（2）同（1）即可解答；（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．
解：分别连接OB、OC，
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OC=OB，O是外接圆的圆心，
∴CO平分∠ACB∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OBM=∠OCN=30°，
∵BM=CN，OC=OB，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM=∠NOC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°；
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
（3）由（1）可知，∠MON==120°；在（2）中，∠MON==90°；在（3）中∠MON=5=72°…，故当n时，∠MON=．
【睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（ ）
A．1：2 B．1： C． ：1 D．2：1
2.已知某个正多边形的内切圆的半径是 ，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八 B．六 C．四 D．三
3.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
4.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
5.下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
6.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm
7.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边
重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
8.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r
、填空题
9.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
10.如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
11.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= ．
12.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号）
13.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 ．
14.如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
15.如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．
、解答题
16.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
17.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48，试求正六边形的周长．
18.尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
19.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
20.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
21.（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM,ON，求∠MON的度数。
（2）图②、③、…… ④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、……正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是__________，图③中∠MON的度数是__________；……由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是_______
答案解析
、选择题
1.【考点】正多边形和圆
【分析】先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
解：如图，
△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OA：OD=2：1．
故选D．
2.【考点】正多边形和圆
【分析】根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．
解：根据勾股定理得：=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
3.【考点】正多边形和圆
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2 ，高为3，
因而等边三角形的面积是3 ，
∴正六边形的面积=18 ，
故选C．
4.【考点】正多边形和圆
【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．解： A.∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
5.【考点】正多边形和圆
【分析】设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值
解：设正边形的边数是n．
根据题意得：180-，
解得：n=4．
故选B．
6.【考点】正多边形和圆
【分析】欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．
解：如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8 cm．
故它的内接正三角形的边长为8 cm．
故选：A．
7.【考点】正多边形和圆；旋转的性质．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．
解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
故选C．
8.【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG===r，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
、填空题
9.【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM==30°，
∴OM=OB?cos∠BOM=6×=3；
故答案为：3．
10.【考点】正多边形和圆．
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
解：由题意可得，
AD=2+×2=2+2，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2）=8+8，
故答案为：8+8．
11.【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形， ∴四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠B+∠AEC=180°， ∵∠CED=∠CAD=35°， ∴∠B+∠E=180°+35°=215°． 故答案为：215°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
12.【考点】数学常识；正多边形和圆
【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
13.【考点】正多边形与圆，解直角三角形，等边三角形的性质，正方形的性质
【分析】先化成同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
解：设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=R，
∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，
故答案为：：1．
【点评】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
14.【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．
解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
15.【考点】正多边形和圆
【分析】设△AFB的内切圆的半径为r，过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，解直角三角形求出AM、FM、BM，根据三角形的面积求出r，即可求出答案．
解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A==120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF=（180°﹣120°）=30°，
∴△AFB边BF上的高AM=AF=（6+4）=3+2，FM=BM=AM=3+6，
∴BF=3+6+3+6=12+6，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S+S+S，
∴×（3+2）×（3+6）=×r+×r+×（12+6）×r，
解得：r=，
即O1M=r=，
∴O1O2=2×+6+4=9+4，
故答案为：9+4．
、解答题
16.【考点】正多边形和圆
【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解．
解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2×=，
∴⊙O的面积=π（）2=2π．
【点睛】本题考查了正多边形的计算，根据正方形的面积求得半径是关键．
17.【考点】正多边形和圆
【分析】连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°. 连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°. 由△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6×× R×R＝48，解得R，可求出周长.
解: 如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.
在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝R，AH＝
＝
而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6×× R×R＝48，解得R＝8，
即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.
【点睛】本题考核知识点：正多边形和圆.解题关键点：结合勾股定理求出边长.
18.【考点】正多边形和圆
【分析】（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．
解：（1）如图所示：
（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB==．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
19.【考点】正多边形和圆
【分析】根据题意画出图形，连接OE、OG，OF，由正六边形T1，得到∠EOF为60°，从而得到△EOF为等边三角形，即a=r，故得到a：r=1：1；在Rt△EOG中，由OG为角平分线，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函数可求出OE及OG的长，即为r：b的比值，然后求出a：b的比值，根据正六边形T1，T2相似，其面积之比等于边长之比的平方，即可求出面积之比．
解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；
（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆及特殊角的三角函数值，解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解．
20.【考点】正多边形和圆
【分析】（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出； （2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．
解： ：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，ssssss
∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE=
∴BC=2BE=2×
21.【考点】正多边形和圆, 圆周角定理
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；（2）同（1）即可解答；（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．
解：分别连接OB、OC，
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OC=OB，O是外接圆的圆心，
∴CO平分∠ACB∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OBM=∠OCN=30°，
∵BM=CN，OC=OB，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM=∠NOC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°；
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
（3）由（1）可知，∠MON==120°；在（2）中，∠MON==90°；在（3）中∠MON=5=72°…，故当n时，∠MON=．
【睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
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