24.4 弧长及扇形的面积课时作业（1）
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文档简介
24.4 弧长和扇形面积课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）
A． B． C．2π D．
2.如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
4.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
5.一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A．300° B．150° C．120° D．75°
6.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B． C． D．
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）
A． B．2 C．π D．π
、填空题
9.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为 cm．
10.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为 cm．
11.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是___________ ．
12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 ．
13.如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C=55°，则劣弧的长是 ．（结果保留π）
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为 ．
15.如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）
、解答题
16.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB=60°，AB=6，求的长．
17.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．)
18.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．
19.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=
（1）求证：OA=OB；
（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．
20.如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
21.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）
（1）先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．
答案解析
、选择题
1.【考点】圆周角定理；弧长的计算
【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．
解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长==，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
2.【考点】弧长的计算
【分析】直接利用弧长公式计算得出答案．
解：的展直长度为：=6π（m）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
3.【考点】含30度角的直角三角形；弧长的计算
【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．
解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，
∴∠B=60°，BC=2
∴的长为=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
4.【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【分析】连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出CD的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．
解：连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，
∵CD为圆O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A与∠D都对，
∴∠D=∠A=60°，
在Rt△DCB中，∠BCD=30°，
∴BD=CD，
设BD=x，则有CD=2x，
根据勾股定理得：x2+（6）2=（2x）2，
解得：x=6，
∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°，
则的长为=4π，
故选B
5.【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=Rl，即60π=×R×10π，
解得：R=12，
∴S=60π=，
解得：n=150°，
故选B
6.【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．
解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为=，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
7.【考点】弧长公式，正方形的性质，弦、弧、圆心角、弦心距的关系
【分析】连接OA．OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
解：连接OA．OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴===，
∴∠AOB=×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，
解得：AO=2，
∴的长为=π，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
8.【考点】轨迹；菱形的性质．
【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为，求出圆心角，半径即可解决问题．
解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴点F的运动轨迹在以边长为直径的⊙O上，
当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCG=60°，
∴∠BOG=120°，
∴的长==π，
故选D．
、填空题
9.【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长公式L=求解即可．
解：∵L=，
∴R==9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=．
10.【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长公式可得结论．
解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
11..【考点】弧长公式，勾股定理
【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求 出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．
解：设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出 OA 是解本题的关键．
12.【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算
【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
解：连接OB、OC．
∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是，
∴=，
∴r=2，
故答案为2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型．
13.【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求∠AOB=110°，根据弧长公式可求劣弧的长．
解：∵∠AOB=2∠C且∠C=55°
∴∠AOB=110°
根据弧长公式的长==
故答案为
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧长公式，关键是熟练运用弧长公式解决问题．
14.【考点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣旋转
【分析】由点A（1，1），可得OA==，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．
解：∵点A（1，1），
∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，
∴∠AOB=45°，
∴的长为=．
故答案为．
【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出OA=以及∠AOB=45°是解题的关键．
15.【考点】勾股定理的应用；垂径定理的应用，弧长公式
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，
∴AB=2AC=20≈69（步）；
而的长=≈84（步），
的长与AB的长多15步．
所以这些市民其实仅仅少走了 15步．
故答案为15．
【点评】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
、解答题
16.【考点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；弧长的计算
【分析】（1）连接OD，只需证明∠ODC=90°即可；
（2）由（1）中的结论可得∠ODB=30°，可求得弧AD的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．
解：（1）相切．理由如下：
连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC=∠C=90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）若∠CDB=60°，可得∠ODB=30°，
∴∠AOD=60°，
又∵AB=6，
∴AO=3，
∴==π．
【点评】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
17.【考点】切线的性质，弧长的计算
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
解：（1）连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD．
∵点C是的中点，
∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．
【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
18.【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC；
（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论．
（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴的长===π．
【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键．
19.【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于=，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积
解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO=90°，
由于=，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠A=∠B
∴OA=OB，
（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC=AB=2，
∴sin∠COB==，
∴∠COB=60°，
∴∠B=30°，
∴OC=OB=2，
∴扇形OCE的面积为：=，
△OCB的面积为：×2×2=2
∴S阴影=2﹣π
20.【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；
（2）由∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，求得DC=2，由于OD∥BC，于是得到∠ODA=30°，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，于是得到OA=，阴影部分面积即可求得．
解：（1）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA=，
∴阴影部分面积S=﹣×2×=﹣．
【点评】本题目考查了切线的判定，等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．
21.【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算；作图﹣平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质进而得出对应点位置，进而得出答案；
（3）首先得出圆心角以及半径，再利用扇形面积公式直接计算得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B1C2，即为所求；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：=π．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）
A． B． C．2π D．
2.如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
4.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
5.一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A．300° B．150° C．120° D．75°
6.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B． C． D．
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）
A． B．2 C．π D．π
、填空题
9.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为 cm．
10.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为 cm．
11.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是___________ ．
12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 ．
13.如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C=55°，则劣弧的长是 ．（结果保留π）
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为 ．
15.如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）
、解答题
16.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB=60°，AB=6，求的长．
17.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．)
18.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．
19.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=
（1）求证：OA=OB；
（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．
20.如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
21.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）
（1）先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．
答案解析
、选择题
1.【考点】圆周角定理；弧长的计算
【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．
解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长==，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
2.【考点】弧长的计算
【分析】直接利用弧长公式计算得出答案．
解：的展直长度为：=6π（m）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
3.【考点】含30度角的直角三角形；弧长的计算
【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．
解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，
∴∠B=60°，BC=2
∴的长为=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
4.【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【分析】连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出CD的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．
解：连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，
∵CD为圆O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A与∠D都对，
∴∠D=∠A=60°，
在Rt△DCB中，∠BCD=30°，
∴BD=CD，
设BD=x，则有CD=2x，
根据勾股定理得：x2+（6）2=（2x）2，
解得：x=6，
∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°，
则的长为=4π，
故选B
5.【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=Rl，即60π=×R×10π，
解得：R=12，
∴S=60π=，
解得：n=150°，
故选B
6.【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．
解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为=，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
7.【考点】弧长公式，正方形的性质，弦、弧、圆心角、弦心距的关系
【分析】连接OA．OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
解：连接OA．OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴===，
∴∠AOB=×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，
解得：AO=2，
∴的长为=π，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
8.【考点】轨迹；菱形的性质．
【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为，求出圆心角，半径即可解决问题．
解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴点F的运动轨迹在以边长为直径的⊙O上，
当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCG=60°，
∴∠BOG=120°，
∴的长==π，
故选D．
、填空题
9.【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长公式L=求解即可．
解：∵L=，
∴R==9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=．
10.【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长公式可得结论．
解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
11..【考点】弧长公式，勾股定理
【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求 出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．
解：设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出 OA 是解本题的关键．
12.【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算
【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
解：连接OB、OC．
∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是，
∴=，
∴r=2，
故答案为2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型．
13.【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求∠AOB=110°，根据弧长公式可求劣弧的长．
解：∵∠AOB=2∠C且∠C=55°
∴∠AOB=110°
根据弧长公式的长==
故答案为
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧长公式，关键是熟练运用弧长公式解决问题．
14.【考点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣旋转
【分析】由点A（1，1），可得OA==，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．
解：∵点A（1，1），
∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，
∴∠AOB=45°，
∴的长为=．
故答案为．
【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出OA=以及∠AOB=45°是解题的关键．
15.【考点】勾股定理的应用；垂径定理的应用，弧长公式
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，
∴AB=2AC=20≈69（步）；
而的长=≈84（步），
的长与AB的长多15步．
所以这些市民其实仅仅少走了 15步．
故答案为15．
【点评】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
、解答题
16.【考点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；弧长的计算
【分析】（1）连接OD，只需证明∠ODC=90°即可；
（2）由（1）中的结论可得∠ODB=30°，可求得弧AD的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．
解：（1）相切．理由如下：
连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC=∠C=90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）若∠CDB=60°，可得∠ODB=30°，
∴∠AOD=60°，
又∵AB=6，
∴AO=3，
∴==π．
【点评】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
17.【考点】切线的性质，弧长的计算
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
解：（1）连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD．
∵点C是的中点，
∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．
【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
18.【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC；
（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论．
（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴的长===π．
【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键．
19.【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于=，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积
解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO=90°，
由于=，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠A=∠B
∴OA=OB，
（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC=AB=2，
∴sin∠COB==，
∴∠COB=60°，
∴∠B=30°，
∴OC=OB=2，
∴扇形OCE的面积为：=，
△OCB的面积为：×2×2=2
∴S阴影=2﹣π
20.【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；
（2）由∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，求得DC=2，由于OD∥BC，于是得到∠ODA=30°，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，于是得到OA=，阴影部分面积即可求得．
解：（1）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA=，
∴阴影部分面积S=﹣×2×=﹣．
【点评】本题目考查了切线的判定，等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．
21.【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算；作图﹣平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质进而得出对应点位置，进而得出答案；
（3）首先得出圆心角以及半径，再利用扇形面积公式直接计算得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B1C2，即为所求；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：=π．
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