第一章 3.1 3.1.1 数系的扩充与复数的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2018·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( A )
A．－2 B．1
C．2 D．1或－2
[解析] 由题意知：解得a＝－2，故选A．
2．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( A )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[解析] 由题意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i
∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3．故选A．
3．(2018·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] a＋＝a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．
4．(2017·潍坊高二检测)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( B )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
[解析] 由题知
解得m＝3．故选B．
5．(2017·上海高二检测)设x，y均是实数，i是虚数单位，复数(x－2y)＋(5－2x－y)i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x＋yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )
[解析] 由题可知，可行域如A所示，故选A．
6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( D )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
[解析] 由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝．
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D．
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝，y＝1．
[解析] 由复数相等可知，
∴
8．(2018·广元模拟)已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝1．
[解析] ∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴，解得a＝1．
故答案为1．
三、解答题
9．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值．
[解析] 由复数相等的充要条件，知
即
①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，
即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝．
10．(2017·会宁期中)设复数z＝(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使得(1)z是纯虚数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限．
[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0
由
?，得m＝3．
(2)当复数对应的点在第二象限时，
由?，
得－1＜m＜3．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( D )
A．－7≤λ≤ B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1 D．－≤λ≤7
[解析] 由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ
＝4(sinθ－)2－．
由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7．
2．(2018·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－)＋(cosθ－)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－)的值为( A )
A．－7 B．－
C．7 D．－7或－
[解析] 因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即
因为sinθ＝且cosθ≠，
所以cosθ＝－，所以tanθ＝－，
所以tan(θ－)＝＝＝－7．
二、填空题
3．(2018·和平区一模)设i是虚数单位，a为实数，若复数a＋是纯虚数，则a＝－3．
[解析] a为实数，若复数a＋＝a＋＝a＋3－i是纯虚数，
则a＋3＝0，解得a＝－3．
故答案为－3．
4．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为4__．
[解析] ∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，
∴，解得：x＝4．
三、解答题
5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[解析] 由题意，得
∴
∴当m＝3时，原不等式成立．
6．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
[解析] 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．
因为x，y为实数，
所以有
得得x＝－1，y＝2．
C级 能力拔高
已知z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A为△ABC的一内角．若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围．
[解析] 若z总是虚数，则对任意的A，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，则只需k不在的值域内即可．
解法一：＝＝tan，
其中A∈(0，π)．
∵当∈(0，)时，tan∈(0，＋∞)，
∴的值域为(0，＋∞)．
∴当k≤0时，≠k恒成立，即当k≤0时，不论A为何值，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，z总是虚数．
解法二：∵＝－，
而表示点(cosA，sinA)与点(1,0)连线的斜率，
又(cosA，sinA)，A∈(0，π)在除去端点的半圆上，如图所示，
利用数形结合，有∈(－∞，0)，
∴∈(0，＋∞)．
以下同解法一．
第一章 3.1 3.1.2 复数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．
2．(2018·海淀区二模)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则( C )
A．z＝－1＋i B．z＝1＋i
C．z＋i是实数 D．z＋i是纯虚数
[解析] ∵复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，
∴z＝1－i．
∴z＋i＝1－i＋i＝1，
∴z＋i是实数．
故选C．
3．(2018·陕西三模)在复平面内，表示复数z＝(a＋3i)(2－ai)的点在第二象限，则实数a满足( A )
A．－
C．0[解析] ∵Z＝(a＋3i)(2－ai)＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，
∴，解得－故选A．
4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( D )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
[解析] 由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)
∴＝－＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i，故选D．
5．(2018·烟台高二检测)过原点和－i对应点的直线的倾斜角是( D )
A． B．－
C． D．
[解析] －i在复平面对应的点为(，－1)，
∴倾斜角的斜率为k＝－，∴倾斜角为－或π．
又∵倾斜角范围为[0，π]，∴倾斜角为 π，故选D．
6．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( B )
A．1 B．
C． D．2
[解析] 因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，选B．
二、填空题
7．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝－2＋3i．
[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．
∴z2＝－2＋3i．
8．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为5．
[解析] 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝．解得a＝5．
三、解答题
9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
10．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
[解析] 因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－．
B级 素养提升
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( C )
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．
2．下列命题中，假命题是( D )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|．
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
二、填空题
3．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x O＋y O(x、y∈R)，则x＋y的值是5．
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得，
解得
∴x＋y＝5．
4．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为．
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝．
三、解答题
5．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋
mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
[解析] 因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝(－，m)．
又a，b的夹角为60°，所以cos60°
＝，
即＝，解得m＝±．
6．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知∴①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4．
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4．
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
C级 能力拔高
已知z∈C，|z－2i|＝，当z取何值时，|z＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．
[解析] 解法一：如图所示，|z－2i|＝在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，为半径的圆．|z＋2－4i|＝|z－(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M，N，使得M或N到定点P(－2,4)的距离最大或最小．显然过P与圆心连线交圆于M，N两点，则M，N即为所求．不难求得M(1,1)，N(－1,3)，即当z＝1＋i时，|z＋2－4i|有最大值，为3；当z＝1＋3i时，|z＋2－4i|有最小值，为．
解法二：如图所示，设ω＝z＋2－4i，则z＝ω－2＋4i，代入|z－2i|＝得|ω－2＋2i|＝，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为3；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i时，|ω|取最小值，为．
第一章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( D )
A．3 B．2
C．1 D．－1
[解析] z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1．
3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( A )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2．故选A．
4．?ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是( C )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
[解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z．
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i．故应选C．
二、填空题
5．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为或．
[解析] 方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．
6．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为．
[解析] ∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝．
三、解答题
7．已知平行四边形ABCD中，A与A对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求A对应的复数；
(2)求D对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以A＝A＋A，于是A＝A－A，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即A对应的复数是－2＋2i．
(2)由于D＝A－A，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即D对应的复数是5．
(3)由于P＝C＝－A＝，
P＝D＝，
于是P·P＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝．
即△APB的面积为．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( C )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
[解析] 由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得?a＝－2．
2．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6．
二、填空题
3．(2018·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为－4．
[解析] 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4．
4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为2．
[解析] 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2．
三、解答题
5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i．
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)
＝4－2i．
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以，解得
所以点D对应的复数为5．
(2)因为·＝||||cosB，
所以cosB＝＝＝．
所以sinB＝．
所以S＝||||sinB＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7．
6．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
[解析] 设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．
又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，
∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0．
第一章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2017·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( A )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A．
3．(2018·遂宁模拟)已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝( B )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
[解析] ∵z＝a＋i，
∴z＋＝2a＝4，得a＝2．
∴复数z的共轭复数＝2－i．
故选B．
4．(2018·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( C )
A．6z B．6z2
C．6 D．－6z
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6．
二、填空题
5．(2018·浦东新区一模)已知i是虚数单位，复数z满足z·(1＋i)，则|z|＝．
[解析] ∵复数z满足z·(1＋i)＝1，
∴z(1＋i)(1－i)＝1－i，
化为4z＝1－i，
即z＝－i，
∴|z|＝＝．
故答案为．
6．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝．
[解析] ∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝．
三、解答题
7．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0．
B级 素养提升
一、选择题
1．若z＝4＋3i，则＝( D )
A．1 B．－1
C．＋i D．－i
[解析] |z|＝＝5，＝4－3i，则＝－i．
2．(2018·西宁高二检测)复数为纯虚数，则实数a＝( D )
A．－2 B．－
C．2 D．
[解析] 因为复数＝＝为纯虚数，所以2a－1＝0,2＋a≠0．解得a＝．
二、填空题
3．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是－2．
[解析] (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2．
4．(2018·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝1．
[解析] 因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i．则|z|＝1．
三、解答题
5．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1．
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i．
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a．
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，
解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是[－，]．
(2)ω＝＝
＝＝－i．
因为a∈[－，]，b≠0．所以ω为纯虚数．
6．已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z．
(2)求|z－4|的取值范围．
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，
由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋(y－)i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i．
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋[y－]i∈R，
所以y－＝0，
因为y≠0，
所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|
＝
＝
＝∈(1,5)．
第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2017·全国卷Ⅱ)＝( D )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
[解析] ＝＝＝2－i．
故选D．
2．已知i是虚数单位，则＝( D )
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
[解析] ＝＝＝1＋2i．
3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( C )
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
[解析] 由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C．
4．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，
由得此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
5．已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，选A．
6．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，
∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．
7．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足( C )
A．m≤－ B．m≥－
C．m＝ D．m＝－
[解析] 设实根为x0，则x＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
∴解得
8．若z1，z2∈C，则z1＋z2是( B )
A．纯虚数 B．实数
C．虚数 D．实数或虚数
[解析] 设z1＝x＋yi，z2＝a＋bi，x，y∈R，则z1＋1z2＝(x＋yi)(a－bi)＋(x－yi)(a＋bi)＝2(ax＋by)＋(ay－bx＋bx－ay)i＝2(ax＋by)∈R．
9．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为( B )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0．
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0．而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2．因为a1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．
10．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] θ∈时，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，
故对应点(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．
11．(2018·成都高二检测)若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于复平面内的( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵A、B为锐角三角形的内角，
∴∴A>－B，B>－A，
∴sinA>sin(－B)＝cosB，
sinB>sin(－A)＝cosA，
∴，
∴对应点在第二象限，故选B．
12．(2018·南宁高二检测)复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是( A )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|2z＋1|＝
|z－i|＝
∴＝
整理得：a2＋b2＋a＋b＝0．
故选A．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2018·和平区三模)设i是虚数单位，复数z＝，则|z|等于3．
[解析] z＝＝＝＝＋i，
∴则|z|＝＝3．
故答案为3．
14．(2016·北京理，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1．
[解析] (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1．
15．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是cos(α＋β)．
[解析] z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i
故z1·z2的实部为cos(α＋β)．
16．已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝1，b＝－．
[解析] 把＋i代入方程得
a(＋i)2＋b(＋i)＋1＝0，
即(a＋b＋1)＋(＋b)i＝0．
∴即解得
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴，∴
18．(本题满分12分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R．(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
[解析] (1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0
得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R．
(2)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得＝0，
解得m＝0或m＝－1±．
所以当m＝0或m＝－1±时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
19．(本题满分12分)已知z＝，其中i为虚数单位，a>0，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
[解析] ∵z＝，代入ω＝z(z＋i)，得
ω＝(＋i)＝
＝＝
＝＋i，
∴ω的实部为，虚部为，
由已知得－＝，
解得a2＝4，∴a＝±2．
又a>0，故a＝2．
|ω|＝|＋i|＝|＋i|
＝|＋3i|＝．
20．(本题满分12分)已知复数z＝
，ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围．
[解析] ∵z＝＝＝1－i，
∴|z|＝．又＝≤，∴|ω|≤2．
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i，(a∈R)，
则≤2?(a－1)2≤3，
∴－≤a－1≤，1－≤a≤1＋．即a的取值范围为[1－，1＋]．
21．(本题满分12分)(2016·天津高二检测)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
[解析] 依题意得z1＋z2为实数，
因为z1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i，
所以所以a＝3．
此时z1＝－i，z2＝－1＋i，
即＝(，－1)，＝(－1,1)．
所以·＝×(－1)＋(－1)×1＝－．
22．(本题满分14分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3．
依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b＝3的概率为．
即事件“z－3i为实数”的概率为．
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝．
