第二章 2.1 2.1.1 离散型随机变量
A级 基础巩固
一、选择题
1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X．
其中是离散型随机变量的是( A )
A．①② B．①③
C．①④ D．①②④
[解析] ①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
2．(铁岭市清河高中2018学年高二)袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( B )
A．5 B．9
C．10 D．25
[解析] 根据题意，分析可得，
这是有放回抽样，号码之和可能的情况为：2、3、4、5、6、7、8、9、10，
共9种；故选B．
3．某人射击的命中率为p(0
A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…
C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…
[解析] 由随机变量的定义知取值可以从1开始，并且有可能每次都未中目标．
4．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是( D )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
[解析] 只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D．
5．下列变量中，不是离散型随机变量的是( C )
A．从2018张已编号的卡片(从1号到2018号)中任取一张，被取出的号数ξ
B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η
C．某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ
D．从2018张已编号的卡片(从1号到2018号)中任取2张，被取出的卡片的号数之和η
[解析] 离散型随机变量的取值能够一一列出，故A，B，D都是离散型随机变量，而C不是离散型随机变量，所以答案选C．
6．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；
②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确命题的个数是( C )
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] 由随机变量的概念知三个命题都正确，故选C．
二、填空题
7．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有__21__种．
[解析] 从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．∴共有C＝21种．
8．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为__{0,1,2,3,4,5}__．
9．在100件产品中含有4件次品，从中任意抽取2件，ξ表示其中次品的件数，则ξ＝0的含义是__ξ＝0表示取出的2件产品都是正品__．
三、解答题
10．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．某选手抽到科技类题目的道数为X．
(1)试求出随机变量X的可能取值；
(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
[解析] (1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3．
(2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．
从三类题目中各抽取一道有C·C·C·A＝180种不同的结果．
抽取1道科技类题目，2道文史类题目有C·C·A＝180种不同的结果．
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，有C·C·A＝18种不同的结果．
由分类加法计数原理知可能出现180＋180＋18＝378种不同的结果．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·孝感高二检测)对一批产品逐个进行检验，第一次检验到次品前已检验的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为( D )
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
[解析] 由题意ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测的是一件次品，故选D．
2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，在有放回条件下依次抽取2个球，设2个球号码之和为ξ，则ξ所有可能取值的个数是( B )
A．5 B．9
C．10 D．25
[解析] ∵ξ表示取出的2个球的号码之和，又1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋3＝6,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋4＝8,4＋5＝9,5＋5＝10，故ξ的所有可能取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共9个．
二、填空题
3．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6.现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球的最大号码，用(x，y，z)表示取出的三个球编号为x，y，z(x[解析] 从6个球中选出3个球，其中有一个是5号球，其余的2个球是1,2,3,4号球中的任意2个．
∴试验结果构成的集合是{(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}．
4．袋中装有除颜色外，质地、大小完全相同的4个小球，其中1个红球、3个白球，从中任意摸出1个观察颜色，取后不放回，如果是红色，则停止摸球，如果是白色，则继续摸球，直到摸到红球时停止，记停止时的取球次数为ξ，则ξ所有可能取值的集合为__{1,2,3,4}__，ξ＝2的意义为__第一次摸到白球，第二次摸到红球__．
[解析] 袋中共4个球，3白1红，取球后不放回，因此ξ的可能取值为1、2、3、4，即ξ∈{1,2,3,4}，ξ＝2表示第一次摸到白球，第二次摸到红球．
三、解答题
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．
[解析] X＝4,5,6,7．
X＝4表示甲胜前4局或乙胜前4局．
X＝5表示甲在前4局中胜3局并胜第5局或乙在前4局中胜3局并胜第5局．
X＝6表示甲在前5局中胜3局并胜第6局或乙在前5局中胜3局并胜第6局．
X＝7表示甲在前6局中胜3局并胜第7局或乙在前6局中胜3局并胜第7局．
6．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；
(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1、2、3、4、5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数ξ．
[解析] (1)ξ可取0、1、2．
ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0、1、2．
(2)ξ可取3、4、5．
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1、2、3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1、2、4或1、3、4或2、3、4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5．
C级 能力拔高
一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ．
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否是离散型随机变量．
[解析] (1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取2个白球1个黑球
取3个白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6，故η的可值取值为6,11,16,21显然，η为离散型变量．
第二章 2.1 2.1.2 离散型随机变量的分布列
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＝．
2．(2017·扶余县校级期末)随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a()k(k＝1,2,3)，则a的值为( B )
A．1 B．
C． D．
[解析] ∵随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a()k(k＝1,2,3)，
∴a[＋()2＋()3]＝1，
∴a＝．
故选B．
3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的球的最大号码；②Y表示取出的球的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( B )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．
4．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(ξ＝2)＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知＋＋＝1，∴＝1，即a＝3，
∴P(ξ＝2)＝＝．
5．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] P＝＝．
6．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( B )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
[解析] 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8．
∵次品率不超过40%，∴x＝2，
∴次品率为＝20%．
二、填空题
7．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝，k＝0、1、2、3，则c＝____．
[解析] c＋＋＋＝1，∴c＝．
8．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
P
__0.1__
__0.6__
__0.3__
[解析] P(ξ＝0)＝＝0.1，
P(ξ＝1)＝＝0.6，P(ξ＝2)＝＝0.3．
9．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1、2、3、4、5，令Y＝2X－2，则P(Y>0)＝____．
[解析] 由已知Y取值为0、2、4、6、8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝.则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝．
三、解答题
10．某学院为了调查本校学生2015年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．
[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，
所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．
(2)随机变量Y的所有可能取值为0、1、2．
P(Y＝0)＝＝；
P(Y＝1)＝＝；
P(Y＝2)＝＝．
所以Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
B级 素养提升
一、选择题
1．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1、2、3、4，其中c是常数，则P的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] ＋＋＋
＝c
＝c＝1.∴c＝．
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＝．
2．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由题可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为P＝＝，故选B．
二、填空题
3．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是____．
[解析] 从10名同学中选出3名同学有C种不同选法，在3名同学中没有女同学的选法有C种，∴所求概率为P＝1－＝．
4．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝____．
[解析] 依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)
＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列性质得
1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，
4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝．
∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝．
三、解答题
5．某校2017～2018学年高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．
(1)请列出X的分布列；
(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
[解析] (1)依题意得，随机变量X服从超几何分布，
∵随机变量X表示其中男生的人数，
∴X可能取的值为0,1,2,3,4．
∴P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3,4．
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
(2)由分布列可知选出的4人中至少有3名男生的概率为：
即P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(x＝4)＝＋＝．
6．(2018·长春高二检测)盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布．
[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝＝．
(2)由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝．
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
P
C级 能力拔高
(2017·福建模拟)持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限行措施，该市某报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；
(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；
(3)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率P(η＝k)取得最大值的整数k．
[解析] (1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为×100%＝64%，被调查者年龄的平均值约为：
＝43(岁)．
(2)依题意得ξ＝0,1,2,3．
P(ξ＝0)＝·＝×＝，
P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝＝，
P(ξ＝2)＝·＋·＝×＋×＝＝，
P(ξ＝3)＝·＝×＝＝，
所以ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
(3)因为P(η＝k)＝，其中k＝2,3,4，…，20，所以＝＝，
当≥1，即k≤12＋时，P(η＝k＋1)≥P(η＝k)；当<1，即k>12＋时，P(η＝k＋1)P(η＝14)>P(η＝15)>…>P(η＝20)．故有P(η＝k)取得最大值时k＝13．
第二章 2.2 2.2.1 事件的独立性
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2018·烟台高二检测)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] P(A)＝＝，P(AB)＝＝．
由条件概率公式得P(B|A)＝＝.故选B．
2．(2018·唐山二模)甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 甲不跑第一棒共有A·A＝18种情况，
甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：
(1)若乙跑第一棒，则共有A＝6种情况；
(2)若乙不跑第一棒，则共有A·A·A＝8种情况，
∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝．
故选D．
3．(2018·大武口区校级月考)下列选项正确的是( D )
A．p(A|B)＝P(B|A) B．P(A∩B|A)＝P(B)
C．＝P(B|A) D．P(A|B)＝
[解析] 根据条件概率公式及其性质，可得
＝P(A|B)，P(A|B)＝，
故选D．
4．(2017·山西一模)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，
其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，
∴所求概率为÷＝，
故选B．
5．(2018·马鞍山三模)从集合U＝{x∈Z|1≤x≤15}中任取2个不同的元素，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 集合U中共含有15个元素，其中有8个奇数，7个偶数．
∴P(A)＝＝，
P(AB)＝P(B)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
故选B．
6．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( A )
A．0.75 B．0.60
C．0.48 D．0.20
[解析] 记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(A∩B)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P＝＝＝0.75．
二、填空题
7．(2018·淄博二模)从标有1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为____．
[解析] 在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，
∴在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．
故答案为．
8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为____．
[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝．
9．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于____．
[解析] ∵P(B|A)＝，
∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
∴P(B)＝＝＝．
三、解答题
10．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．
[解析] 令Ai＝{第i只是好的}，i＝1,2．
解法一：n(A1)＝CC，n(A1A2)＝CC，
故P(A2|A1)＝＝＝．
解法二：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·深圳一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )
A．0.05 B．0.0075
C． D．
[解析] 设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，
事件B为雌性个体成功溯流产卵繁殖，
由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，
∴P(B/A)＝＝＝．
故选C．
2．(2018·西宁一模)先后掷子(子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 根据题意，若事件A为“x＋y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．
共有2×3×3＝18个基本事件，
∴事件A的概率为P(A)＝＝，
而A、B同时发生，基本事件有“2＋4”、“2＋6”、“4＋2”、“4＋6”、“6＋2”、“6＋4”，
一共有6个基本事件，
因此事件A、B同时发生的概率为P(AB)＝＝
因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P(B|A)＝＝＝．
故选A．
二、填空题
3．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为____．
[解析] 解法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为．
解法二：设A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的数是2或3的倍数”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝．
4．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为____．
[解析] 解法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11种，∴所求概率P＝．
解法二：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝．
三、解答题
5．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
[解析] 设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝．
(2)解法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝．
解法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝．
6．设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
[解析] (1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0没有实根”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有两个相异实根”为事件C，则Ω＝{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，
A＝{(b，c)|b2－4c<0，b，c＝1,2，…，6}
B＝{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…，6}
C＝{(b，c)|b2－4c>0，b，c＝1,2，…，6}
∴Ω中的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个．
又∵B、C是互斥事件，
故所求概率P＝P(B)＋P(C)＝＋＝．
(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，则
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
故X的概率分布列为：
X
0
1
2
P
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件E，由上面分析得
P(D)＝，P(DE)＝，
∴P(E|D)＝＝．
C级 能力拔高
(2017·三明高二检测)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
[解析] (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为
C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3．
∴这2个产品都是次品的概率为．
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝．
第二章 2.2 2.2.2 事件的独立性
A级 基础巩固
一、选择题
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由P(A∩)＝P(B∩)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P(∩)＝，
∴P()＝P()＝.∴P(A)＝．
2．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．
不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)∩A1]
＝[1－P()·P()]·P(A1)
＝(1－×)×＝.故选A．
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意P(A)＝，P(B)＝，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－×＝．
4．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )
A．P1＋P2 B．P1P2
C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)
[解析] 甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，
则甲不能解决这个问题的概率是1－P1，乙不能解决这个问题的概率是1－P2，
则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P1)(1－P2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P1)(1－P2)，故选D．
5．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( C )
A．2个球都是白球 B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球 D．2个球中恰好有1个白球
[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，
∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝．
6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝．
二、填空题
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝__0.65__，P(A|B)＝__0.3__．
[解析] ∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65．
P(A|B)＝P(A)＝0.3．
8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____．
[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝××＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝××＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝××＝．
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．
9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为____ ．
[解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，．
设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
三、解答题
10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
[解析] (1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有
即
由①、③得P(B)＝1－P(C)，代入②得
27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0．
解得P(C)＝或 (舍去)．
将P(C)＝分别代入③、②可得P(A)＝、
P(B)＝，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是、、．
(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则
P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
B级 素养提升
一、选择题
1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝．
2．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 解法一：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是在含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为．
解法二：设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，则
P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
二、填空题
3．(2016·双鸭山高二检测)某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则最多1名同学遇到红灯的概率是____．
[解析] P＝()4＋C·()·()3＝．
4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是____．
[解析] 由条件知，
，
∴P(ξ＝x2)＝，
∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值满足－≤d≤．
三、解答题
5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
[解析] 记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，
则P(A1)＝0.6，
P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，
P(A4)＝0.2．
(1)解法一：该选手被淘汰的概率：
P＝P(∪A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976．
解法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976．
(2)解法一：P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576．
解法二：P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576．
6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝．
(2)解法一：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝．
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．
解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P( )＝P()·P()＝×＝．
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P( )＝1－＝．
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．
C级 能力拔高
(2017·德州高二检测)计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁布合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？
(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．
[解析] 记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3．
(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则P(A)＝P(A1)P(B1)＝×＝，P(B)＝P(A2)·P(B2)＝×＝，
P(C)＝P(A3)P(B3)＝×＝，
因为P(B)>P(C)>P(A)，故乙获得合格证书的可能性最大．
(2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D．
P(D)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
所以，三人计算机考试都获得合格证书的概率是．
第二章 2.2 2.2.3 离散型随机变量的均值
A级 基础巩固
一、选择题
1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( C )
A．0.93×0.1 B．0.93
C．C×0.93×0.1 D．1－0.13
[解析] 由独立重复试验公式可知选C．
2．(2017·临泉县校级期末)已知随机变量ξ服从二项分布，且Eξ＝2.4，Dξ＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为( B )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
[解析] ∵ξ服从二项分布B～(n，p)
由Eξ＝2.4＝np，Dξ＝1.44＝np(1－p)，
可得1－p＝＝0.6，
∴p＝0.4，n＝＝6．
故选B．
3．(2016·道里区校级期末)已知随机变量ξ～B(5，)，则P(ξ＝3)＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵随机变量ξ～B(5，)，
∴P(ξ＝3)＝C·()3()2＝，
故选C．
4．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( C )
A．C2× B．C2×
C．2× D．2×
5．(2017·庆城县校级期末)已知随机变量X，Y满足X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( B )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
[解析] ∵随机变量X，Y满足X＋Y＝8，X～B(10，0.6)，
∴E(X)＝10×0.6＝6，
D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，
E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，
D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4．
故选B．
6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( D )
A．0.216 B．0.36
C．0.432 D．0.648
[解析] 甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p2＝C·0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648．
二、填空题
7．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有__①③__．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
[解析] 对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0、1、2、……、n)的概率P(ξ＝k)＝C×k×n－k，符合二项分布的定义，即有ξ～B(n，)．
对于②，ξ的取值是1、2、3、……、P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1、2、3、……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．
③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B．
故应填①③．
8．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0[解析] 所有同学都不通过的概率为(1－p)n，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n．
9．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝__10__．
[解析] 当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k
＝20·C，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．
三、解答题
10．(2016·大连高二检测)某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量(单位：克)，整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515])．
(1)若从这40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；
(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
[解析] (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12，
由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，
设Y为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B(5,0.3)，
故所求概率为P(Y＝2)＝C×0.32×0.73＝0.3087．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2017·黄山期末)随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，P)，且E(ξ)＝300，D(ξ)＝200，则等于( B )
A．3200 B．2700
C．1350 D．1200
[解析] 由题意可得，解得，
∴＝2700．
故选B．
2．(2017·金州区校级期末)若ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝，则P(ξ＝1)的值为 ( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝，
∴，解得n＝6，p＝，
∴P(ξ＝1)＝C()()5＝．
故选C．
二、填空题
3．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为____．
[解析] 由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝＝CP0(1－P)2，∴P＝，
∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)
＝1－CP0(1－P)4－CP(1－P)3
＝1－－＝．
4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____．
[解析] 设篮球运动员罚球的命中率为P，则由条件得P(ξ＝2)＝1－＝，∴C·P2＝，∴P＝．
三、解答题
5．(2016·乌鲁木齐高二检测)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，
∵P(A)＝×＝，P(B)＝2××(1－)＝，P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝．
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
∵P(X＝0)＝C×()4＝，
P(X＝1)＝C××()3＝，
P(X＝2)＝C×()2×()2＝，
P(X＝3)＝C×()3×＝，
P(X＝4)＝C×()4×()0＝．
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
6．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
[解析] (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝．
(2)由题意知：X＝0,1,2,3．
∵P(X＝0)＝C·()3＝，
P(X＝1)＝C·()1·()2＝，
P(X＝2)＝C·()2·()1＝，
P(X＝3)＝C·()3＝．
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
C级 能力拔高
(2016·吉林高二检测)清明节小长假期间，某公园推出飞镖和摸球两种游戏，甲参加掷飞镖游戏，已知甲投中红色靶区的概率为，投中蓝色靶区的概率为，不能中靶概率为；该游戏规定，投中红色靶区记2分，投中蓝色靶区记1分，未投中标靶记0分；乙参加摸球游戏，该游戏规定，在一个盒中装有大小相同的10个球，其中6个红球和4个黄球，从中一次摸出3个球，一个红球记1分，黄球不记分．
(1)求乙恰得1分的概率；
(2)求甲在4次投掷飞镖中恰有三次投中红色靶区的概率；
(3)求甲两次投掷后得分ξ的分布列．
[解析] (1)设“乙恰得1分”为事件A，则P(A)＝＝．
(2)因每次投掷飞镖为相互独立事件，故在4次投掷中，恰有3次投中红色靶区的概率P4(3)＝C()3(1－)＝．
(3)两次投掷后得分ξ的取值为0、1、2、3、4，
且P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝1)＝C××＝；
P(ξ＝2)＝C××＋×＝；
P(ξ＝3)＝C××＝；
P(ξ＝4)＝×＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
第二章 2.3 2.3.1 离散型随机变量的均值
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( B )
A．无法求 B．0
C．E(X) D．2E(X)
[解析] 只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0．
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于( D )
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
[解析] 由0.5＋m＋0.2＝1得，m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4．
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是( C )
A．n B．(n－1)
C． D．(n＋1)
[解析] 设抽到的次品数为X，∵共有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，∴抽到的次品数X服从参数为N、M、n的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝．
4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝( B )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
[解析] 由题意知，X取值为0,1,2，
P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75．
5．(2018·珠海高二检测)若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于( D )
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A． B．
C． D．
[解析] 由2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，得x＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝．
6．如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是( A )
A．0 B．3
C．6 D．12
[解析] 由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0．
二、填空题
7．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的期望E(X)＝8.9，则y的值为__0.4__．
[解析] ∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，
解得．
8．一袋中装有分别标记着1、2、3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X、Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝____．
[解析] 由题意知ξ的取值为0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3．
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
9．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值为____．
[解析] 由表可得从而得P∈[0，]，期望值E(X)＝0×(－p)＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝．
三、解答题
10．(2016·衡水中学高二检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如下：
环数
击中频率
选手
7
8
9
10
甲
0.2
0.15
0.3
乙
0.2
0.2
0.35
请你根据上述信息，解决下列问题：
(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；
(2)若从甲、乙运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？
[解析] (1)记甲运动员击中n环为事件An；乙运动员击中n环为事件Bn(n＝1,2,3，…，10)，甲运动员击中的环数不少于9环的事件A9∪A10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B9∪B10.由题意可知事件A9与事件A10互斥，事件B9与事件B10互斥，事件A9∪A10与事件B9∪B10独立．
∴P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65，
P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55．
∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.3575．
(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X、Y，由题意知X、Y的可能取值为：7、8、9、10．
甲运动员射击环数X的概率分布列为：
X
7
8
9
10
P
0.2
0.15
0.3
0.35
甲运动员射击环数X的均值
E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8．
乙运动员射击环数Y的概率分布列为：
Y
7
8
9
10
P
0.2
0.25
0.2
0.35
乙运动员射击环数Y的均值
E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7．
∵E(X)>E(Y)，
∴从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－<0，即>0，∴a与b同号．
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
2．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( A )
A．3 B．4
C．5 D．2
[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，
∴x＝3．
二、填空题
3．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝____．
[解析] 由条件知
∴∴，∴a＋b＝．
4．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为____．
ξ
1
2
3
4
P
m
n
[解析] η＝4ξ－2?E(η)＝4E(ξ)－2?7＝4·E(ξ)－2?E(ξ)＝?＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得n＝．
三、解答题
5．(2018·南安高二检测)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．
(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
[解析] (1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得
解得a＝0.035，b＝0.025．
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的有(a＋b)×10×10＝6人，属于潜在消费人群的有10－6＝4人．
从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150,200,250,300．
P(X＝150)＝＝，P(X＝200)＝＝，
P(X＝250)＝＝，P(X＝300)＝＝，
∴X的分布列为：
X
150
200
250
300
P
E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210．
6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．
(1)求乙投球的命中率p；
(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
[解析] (1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝，
解得p＝或p＝(舍去)，所以乙投球的命中率为．
(2)由题设和(1)知P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝．
ξ可能的取值为0、1、2、3，故
P(ξ＝0)＝P()P(·)＝×()2＝，
P(ξ＝1)＝P(A)P(·)＋CP(B)P()·P()
＝×()2＋2×××＝，
P(ξ＝3)＝P(A)P(B·B)＝×()2＝，
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝．
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．
C级 能力拔高
浙江卫视的《中国好声音(The Voice of China)》节目是大型励志专业音乐评论节目．每期节目有四位导师参加．导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练．已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：
导师转身人数(人)
4
3
2
1
获得相应导师转身的选手人数(人)
1
2
2
1
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况．
(1)求选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的概率；
(2)记选出的2位选手中，为其转身的导师人数之和为X，求X的分布列及数学期望E(X) ．
[解析] (1)设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3位导师为其转身，D，E有2位导师为其转身，F只有1位导师为其转身．
从6人中随机抽取两人有C＝15种情况，
其中选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的有C＋CC＝3(种)，
故所求概率为P＝＝．
(2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7．
P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝；P(X＝5)＝＝＝；P(X＝6)＝＝＝；P(X＝7)＝＝．
所以X的分布列如下：
X
3
4
5
6
7
P
由X的分布列，可得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝5．
第二章 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( C )
A．3·2－2 B．2－4
C．3·2－10 D．2－8
[解析] E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，
∴p＝，n＝12，
则P(X＝1)＝C··()11＝3·2－10．
2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是( D )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
[解析] 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．
3．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为( A )
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A． B．
C． D．
[解析] ∵E(η)＝E(10ξ＋2)＝10E(ξ)＋2＝20，
∴E(ξ)＝1.8
即：1×＋2m＋3n＋4×＝1.8，
∴2m＋3n＝①
又m＋n＝1－－＝②
由①②得，m＝．
4．(2018·浙江卷，7)设0ξ
0
1
2
P
则当p在(0,1)内增大时，( D )
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
[解析] 由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝2＋2－2＋2
＝－
＝p2＋－p(2p－1)
＝－p2＋p＋＝－2＋，
∴ D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．
故选D．
5．随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为( B )
A．64 B．256
C．259 D．320
[解析] 由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B．
6．(2018·湘潭四模)若X～N(5，)，则( A )
A．E(X)＝1且D(x)＝ B．E(x)＝且D(X)＝1
C．E(X)＝1且D(x)＝ D．E(X)＝且D(X)＝1
[解析] ∵X～N(5，)，
∴E(X)＝5×＝1，D(X)＝5×(1－)＝．
故选A．
二、填空题
7．已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＝2，则D(X)＝__1__．
[解析] 随机变量X服从二项分布X～B(4，p)，E(X)＝2，
∴4p＝2，∴p＝，
∴D(X)＝4p(1－p)＝1，故答案为1．
8．(2018·宁波二模)已知随机变量X的分布列如表：
X
a
2
3
4
P
b
若EX＝2，则a＝__0__；DX＝____．
[解析] 由随机变量X的分布列及EX＝2，得：
，
解得a＝0，b＝，
∴DX＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝．
故答案为0，．
9．(2018·枣庄市高二检测)抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B(n，)，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝____．
[解析] ∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B(n，)，且P(ξ＝1)＝，∴C·()n－1·(1－)＝，
即n·()n＝，解得n＝6，
∴方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××(1－)＝．
三、解答题
10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：
环数
5
6
7
8
9
10
次数
1
1
1
1
2
4
乙射击的概率分布如下表：
环数
7
8
9
10
概率
0.2
0.3
p
0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
[解析] (1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4．
设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则
P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，
P(X1＝10)＝＝0.4，
P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，
所以甲、乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：
P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21．
(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，
甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84．
因为D(X1)>D(X2)，所以乙比甲技术稳定．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅲ理，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( B )
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
[解析] 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6．
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6．
故选B．
2．(2018·杭州二模)已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
－a
a
当 a 增大时，( A )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大
C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
[解析] 0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：
E(ξ)＝a－，∴当 a 增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝(－1－a＋)2×＋(0－a＋)2×(－a)＋(1－a＋)2×a＝－a2＋ a＋a＋＝－(a－)2＋，
∵0故选A．
二、填空题
3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
已知E(ξ)＝6.3，随机变量η～B(a，b)，则D(η)＝__1.68__．
[解析] 由分布列的性质知b＝1－0.5－0.1＝0.4，
∵E(ξ)＝4×0.5＋0.1×a＋9×0.4＝0.1a＋5.6＝6.3，∴a＝7，
∵η～B(a，b)，即η～B(7,0.4)，
∴D(η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68．
4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是__10.5、10.5__．
[解析] 由题意得＝10.5，∴a＋b＝21，
＝＝10，
∴s2＝[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]
＝[82＋72＋72＋32＋(10－a)2＋(10－b)2＋4＋3.72＋8.32＋102]
＝[(10－a)2＋(10－21＋a)2＋…]
＝[2(a－10.5)2＋…]
当a＝10.5时，方差s最小，b＝10.5．
三、解答题
5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
[解析] (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，
则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝．
(2)X所有的可能取值为0、1、2、3．
P(X＝0)＝C·()0·()2·＝；
P(X＝1)＝C·()1·()1·＋C()0·()2·＝；
P(X＝2)＝C·()2·()0·＋C()1·()1·＝；
P(X＝3)＝C·()2·()0·＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．
6．现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．
(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；
(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；
(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．
[解析] (1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250．
其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，
∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．
(2)由已知可得X的可能取值分别为0、1、2、3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(3)由已知得Y～B(3，)，
∴E(Y)＝np＝3×＝，
∴含有一级运动员人数Y的期望为．
C级 能力拔高
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
[解析] 设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)，
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝．
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)
＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
第二章 2.4 正态分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( C )
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
[解析] 由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974．
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，
60×0.9974≈60人．故选C．
2．(2018·呼和浩特二模)有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N(100,132)．P(61＜X＜139)＝0.997.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为( C )
A．10 B．30
C．15 D．23
[解析] ∵X近似服从正态分布N(100,132)，P(61＜X＜139)＝0.997．
∴P(X≥139)＝(1－0.997)＝0.0015，
∴此次考试中成绩不低于139分的人数约为10000×0.0015＝15．
故选C．
3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( D )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
[解析] 由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又＝，∴σ2＝1.故选D．
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为( C )
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
[解析] 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．
5．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( D )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
[解析] 由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，
∴P(ξ>120)＝0.1，
∴P(90≤ξ<120)＝[1－2P(ξ<60)]
＝×(1－0.2)＝0.4，故选D．
6．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( B )
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ D．2Φ(μ＋σ)
[解析] 设η＝，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)
＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．
二、填空题
7．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－，x∈R的图象关于直线__x＝3__对称，f(x)的最大值为____．
8．(2018·凉山州模拟)已知离散型随机变量ξ服从正态分布N～(2,1)，且P(ξ＜3)＝0.968，则P(1＜ξ＜3)＝__0.936__．
[解析] ∵离散型随机变量ξ服从正态分布N～(2,1)，
∴P(ξ≤1)＝P(ξ≥3)＝1－0.968＝0.032，
∴P(1＜ξ＜3)＝1－P(ξ≤1)－P(ξ≥3)＝1－0.032－0.032＝0.936．
故答案为0.936．
9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中真命题的序号是__①②④__.(写出所有真命题的序号)
[解析] 画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：
由图可得：
①图象关于x＝μ对称；故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确，故填：①②④．
三、解答题
10．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？
[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，
所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．
因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．
B级 素养提升
一、选择题
1．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( C )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
[解析] 由图象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝P(X≤σ1)，∴B错；对任意实数t，P(X≥t)2．(2018·德阳模拟)为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16)．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为( )参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974.( A )
A．0.13% B．1.3%
C．3% D．3.3%
[解析] 由正态分布N(78,16)，可得μ＝78，σ＝4，
则P(66＜X＜90)＝P(78－3×4＜X＜78＋3×4)＝0.9974．
∴P(X≥90)＝(1－0.9974)＝0.0013．
即估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为0.13%．
故选A．
二、填空题
3．(2018·黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2000,10000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为__0.1587__.(参考数据：若ξ服从N(μ，δ2)，有P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝0.9544，P(μ－3δ＜ξ≤μ＋3δ)＝0.9974)
[解析] ∵服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率分别为0.6826，
随机变量ξ服从正态分布N(2000,1002)，
∴每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为×(1－0.6826)＝0.1587，
故答案为0.1587．
4．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14 400)，从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有__6826__辆．
(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)
[解析] 由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝0.6826，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0.6826×10000＝6826．
三、解答题
5．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
[解析] 对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝＋P(5＝＝；
对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x>5)＝＝．
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．
6．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析] (1)P(80≤X<85)＝－P(X≤75)＝0.2，
P(85≤X<95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X<75)－
P(X≥95)＝0.3－0.1＝0.2，
所以所求概率P＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024．
(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，
所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，
P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，
P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，
所以随机变量ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．
C级 能力拔高
某砖瓦厂生产的砖的抗断强度X服从正态分布N(30，0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？
[解析] 解决本题的关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是否符合3σ原则，若符合，则认为这批砖合格，否则不合格．因为μ＝30，σ＝0.8，所以容易计算μ－3σ和μ＋3σ．
欲判定这批砖是否合格，关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外．
由于在一次试验中X落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.9974，故X几乎必然落在上述区间内．
于是把μ＝30，σ＝0.8代入，得μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4，
即算出的区间(μ－3σ，μ＋3σ]＝(27.6,32.4]，
而27.5?(27.6,32.4]，所以据此认为这批砖不合格．
第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为( D )
A．3 B．4
C．9 D．10
[解析] ∵P(ξ<4)＝＝0.3，∴n＝10．
2．(2017·浙江理，8)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，(i＝1,2.)若0A．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
[解析] 由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)．
又∵0把方差看作函数y＝x(1－x)，
根据0<ξ1<ξ2<知，D (ξ1)3．(2018·全国卷Ⅱ理，8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，
∴ 所求概率为＝．
故选C．
4．(2018·天水高二检测)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是( B )
A．a＝1或2 B．a＝±1或2
C．a＝2 D．a＝
[解析] ∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B．
5．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 如果随机变量ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，
又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝．
6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( C )
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的
[解析] X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)．
∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴选C．
7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 小球落入B袋中的概率为P1＝(××)×2＝，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝．
8．(2018·二模拟)袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 甲摸到白球后，袋中还有4个红球，2个白球，
故而在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率为＝，
故选B．
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( A )
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
[解析] X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝．
E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8．
10．(2018·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，则p0的值为(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974)( A )
A．0.9772 B．0.6826
C．0.9974 D．0.9544
[解析] ∵X～N(800,502)．
∴P(700≤X≤900)＝0.9544，
∴P(X＞900)＝＝0.0228，
∴P(X≤900)＝1－0.0228＝0.9772．
故选A．
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)·b≤·2＝，等号在3a＝b＝，即a＝，b＝时成立．
12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4．
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝．
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2018·泉州高二检测)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则D(η)的值为__11__．
[解析] 根据题意得出随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，
∵η＝aξ－2，E(η)＝1，
∴1＝a×－2，即a＝2，
∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，
D(ξ)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＋×(4－)2＝，
∵D(η)＝4D(ξ)＝4×＝11．
故答案为11．
14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝____．
[解析] 由条件知，P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__140__元．
[解析] 设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：
X
300
－100
P
0.6
0.4
所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140．
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．
(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；
(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．
[解析] (1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝＝，
即甲、乙两人同时分到A社区的概率是．
(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么
P(E)＝＝，
所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是
P()＝1－P(E)＝．
(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，
则p(ξ＝2)＝＝．
所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝，
ξ的分布列是：
ξ
1
2
p
∴E(ξ)＝1×＋2×＝．
18．(本题满分12分)(2017·让胡路区校级模拟)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．
(1)求比赛三局甲获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率；
(3)设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．
[解析] 记甲n局获胜的概率为 Pn，n＝3,4,5，
(1)比赛三局甲获胜的概率是：P3＝C()3＝；
(2)比赛四局甲获胜的概率是：P4＝C()3()＝；
比赛五局甲获胜的概率是：P5＝C()2()2＝；
甲获胜的概率是：P3＋P4＋P5＝．
(3)记乙n局获胜的概率为 Pn′，n＝3,4,5．
P3′＝C()3＝，P4′＝C()3()＝； P5′＝C()3()2＝；
故甲比赛次数的分布列为：
X
3
4
5
P(X)
P3＋P3′
P4＋P4′
P5＋P5′
所以甲比赛次数的数学期望是：EX＝3(＋)＋4(＋)＋5(＋)＝．
19．(本题满分12分)(2017·山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝．
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望
EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2．
20．(本题满分12分)(2016·天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解析] (1)由已知有P(A)＝＝．
所以，事件A发生的概率为．
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2．
P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
所以，随机变量X分布列为：
X
0
1
2
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1．
21．(本题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
①利用该正态分布，求p(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2．
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ[解析] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150．
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而
P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，
依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26．
22．(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
[解析] (1)依次将事件“甲队以3∶0胜利”、“甲队以3∶1胜利”、“甲队以3∶2胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝()3＝，
P(A2)＝C·()2·(1－)×＝，
P(A3)＝C()2·(1－)2×＝．
所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为．
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，则由题意知
P(A4)＝C(1－)2·()2×(1－)＝．
由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，
由事件的互斥性得，
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
或P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2××＝．
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
