高中数学《必修一》《基本初等函数、函数与方程》阶段测试（提高卷）

高中数学《必修一》《基本初等函数、函数与方程》阶段测试（提高卷）
一、单选题（共12题；共48分）
1.已知 ， 则??x,y,z的大小关系是??????（???）
A.?x2.若函数是幂函数，则的值为（???）
A.??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）= ， 则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）
A.?1﹣2a????????????????????????????????B.?2a﹣1????????????????????????????????C.?1﹣2﹣a????????????????????????????????D.?2﹣a﹣1
4.无论a取何值，函数f（x）=logax﹣2的图象必过（?? ）点．
A.?（0，﹣2）????????????????????????B.?（1，0）????????????????????????C.?（1，﹣2）????????????????????????D.?（0，2）
5.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数：???? , ， ， . 则“同形”函数是（????）
A.?与???????????????????B.?与??????????????????
C.?与???????????????????D.?与
6.已知2a=5b=m且 =2，则m的值是（?? ）
A.?100??????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
7.若定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，则不等式f（log2x）＜f（﹣1）的解集是（　　）
A.?（ ， 2）??????????????????B.?（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）??????????????????C.?R??????????????????D.?（﹣2，2）
8.设,用二分法求方程在区间内的近似解中，取区间中点 ， 则下一个区间为 (???? )
A.?（1,2）或（2,3）??????????????????????????B.?[1，2]??????????????????????????C.?（1,2）??????????????????????????D.?（2,3）
9.函数f（x）=x+log2x的零点所在区间为（　　）
A.?[0，]??????????????????????????B.?[ ， ]?????????????????????????C.?[ ， ]???????????????????????D.?[ ， 1]
10.已知 ， 且 ， 则 ， ， ， 则这三个数的大小关系为( ????)
A.?P11.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x2 和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为?????????????（ ??）
A.?45.606???????????????????????????????B.?45.6??????????????????????????????????C.?45.56??????????????????????????????????D.?45.51
12.已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）= ， 给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（　　）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
二、填空题（共6题；共28分）
13.已知9a=3，lnx=a，则x=________．
14.已知幂函数f（x）=k?xα的图象过点（ ， ），则k+α=________．
15.函数y=在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________?
16.计算 =________．
17.计算：=________?
18.定义区间 的长度为 ，已知函数 ?的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
三、解答题（共6题；共44分）
19.已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
20.已知函数y=-+1的定义域为[﹣3，2]，（1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域．
21.已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）解不等式 ；
（3）求函数g（x）=|logax﹣1|的单调区间．
22.函数f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a=2时，求函数f（x）的定义域；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
23.已知f（x）=loga 是奇函数（其中a＞1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；
（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．

24.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；
（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数 的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解。 综上可得【点评】解决此类问题的关键是掌握指数函数、对数函数的单调性，并能熟练应用。此类问题一般多与等作比较，难度一般。
2.【答案】A
【解析】【解答】∵是幂函数，∴2m+3=1，∴m=-1．故选A．【分析】解决该试题的关键是深刻理解幂函数的概念是解决问题的关键，其系数为1是突破口利用幂函数的概念可求得2m+3=1，从而可求得答案．
3.【答案】A
【解析】【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示； 则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a ， 解得x=1﹣2a ， ∴所有根的和为1﹣2a ． 故选：A．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．
4.【答案】C
【解析】【解答】解：令x=1，得：f（x）=﹣2， 故函数f（x）过（1，﹣2），故选：C．【分析】根据对数函数的性质，令x=1，求出f（1）的值即可．
5.【答案】D
【解析】【分析】， 所以图象向右平移2个单位，再向上平移一个单位，即可得到的图象，所以与为“同形”函数.选D【点评】函数图象左右、上下平移，都不会改变函数前面的系数.
6.【答案】C
【解析】【解答】解：∵2a=5b=m， ∴m＞0，且a=log2m，b=log5m，∵ =2，∴ =logm10=2，∴m2=10，解得m= ，或m=﹣ （舍）．∴m的值为 ．故选：C．【分析】由已知得m＞0，且a=log2m，b=log5m，从而 =logm10=2，由此能示出m的值．
7.【答案】A
【解析】【解答】解：根据已知条件知：y=f（x）在（﹣∞，0）是减函数，f（﹣1）=f（1）；∴①若log2x≥0，即x≥1，由原不等式得：f（log2x）＜f（1）；∴log2x＜1，x＜2；∴1≤x＜2；②若log2x＜0，即0＜x＜1，f（log2x）＜f（﹣1）；∴log2x＞﹣1，x；∴；综上得原不等式的解集为（ ， 2）．故选A．【分析】因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，所以在[0，+∞）上单调递增，则在对称区间（﹣∞，0）上单调递减．所以f（﹣1）=f（1），所以讨论log2x在区间[0，+∞）和（﹣∞，0）两种情况，所以log2x≥0即x≥1时，为了用上函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增的条件，将原不等式变成，f（log2x）＜f（1），根据单调性，所以得到log2x＜1，x＜2，所以1≤x＜2，同样的办法，求出log2x＜0时的原不等式的解，这两种情况所得的解求并集即可．
8.【答案】D
【解析】【解答】 ， 所以下一个区间为选D.【分析】若函数在内连续且导数存在，则函数在内存在零点的充要条件是， 此题还可用函数方程的思想来求解：的零点即方程的根，进而转化为的交点横坐标，画出图像利用图像观察出结果，关于函数与方程的转化是高考考题中常出现的思路。
9.【答案】C
【解析】【解答】解：∵f（）=﹣2＜0，?， ?， ∴f（）f（）＜0，故选：C．【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．
10.【答案】B
【解析】【解答】由题意知，=-1，由 ， 且 ， 所以 ， 所以 ， ， 所以【分析】本小题主要考查利用对数函数的单调性比较大小，考查学生对对数函数的性质的应用能力和推理能力.比较数的大小时，如果不好直接比较，可以选择0或1等作为中间量.
11.【答案】B
【解析】【解答】依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x)辆，∴总利润S=5.06x－0.15x2+2（15-x)=－0.15x2+3.06x+30（x≥0)．∴当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元)．故选B．【分析】解题的关键是依题意构建二次函数，利用二次函数性质求得最值。
12.【答案】D
【解析】【解答】解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）= ， ∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对（2）∵F（﹣x）==F（x）∴函数F（x）是偶函数；故②正确（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，∴|log2m|＞|log2n|∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确（4） ∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）= ， ∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，∵函数F（x）是偶函数∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．所以④正确，【分析】（1）|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对：（2）F（﹣x）==F（x），函数F（x）是偶函数；故②正确（3）|log2m|＞|log2n|，a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确（4）x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，运用图象判断即可．
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a= ，∴lnx= =ln ，∴x= ?故答案为： 【分析】根据指对数运算可得x的值.
14.【答案】
【解析】【解答】解：由幂函数的定义得k=1，再将点（ ， ）代入得 =（ ）α ， 从而α= ，故k+α= ．故答案为： 【分析】根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f（x）=k?xα的图象过点（ ， ），我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+α的值．
15.【答案】（﹣8，﹣6]
【解析】【解答】∵函数y=在[﹣1，+∞）上是减函数，∴， 解得﹣8＜a≤﹣6，故实数a的取值范围是（﹣8，﹣6]，故答案为 （﹣8，﹣6]．【分析】由题意可得 ， 解此不等式组求得实数a的取值范围．
16.【答案】1
【解析】【解答】解： =4﹣ ﹣3+1=1．故答案为：1．【分析】利用有理数指数幂的性质、运算法则直接求解．
17.【答案】2+π
【解析】【解答】 ， =lg5?+2lg22+π，=2lg5（1+lg2）+2lg22+π，=2lg5+2lg5?lg2+2lg22+π，=2lg5+2lg2（lg5+lg2）+π，=2lg5+2lg2+π，=2+π，故答案为：2+π．【分析】根据对数的运算性质计算即可．
18.【答案】4；2
【解析】【解答】由 得x=0，由 得 ，故满足题意的定义域可以为 或 ，故区间[a，b] 的最大长度为4，最小长度为2．故答案为:4;2.【分析】已知函数的值域,求函数的定义域,由x=0时,函数取得最小值1,先求出使函数值为9时对应的x的值,分析得到可能的定义域,从而得到区间[a,b]的长度的最大最小值.
三、解答题
19.【答案】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，∵，∴函数f（x）的零点是（3）函数可化为：f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4，∴
【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即﹣x2﹣2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值loga4，得loga4=﹣4利用对数的定义求出a的值．
20.【答案】解：（1）令t=，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+当x∈[1，2]时，t=是减函数，此时t∈[,]，在此区间上y=t2﹣t+1是减函数当x∈[﹣3，1]时，t=是减函数，此时t∈[,8] ， 在此区间上y=t2﹣t+1是增函数∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1]（2）∵x∈[﹣3，2]，∴t∈[,8]由（1）y=t2﹣t+1=（t﹣）2+∴函数的值域为[,57]
【解析】【分析】（1）由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令t= ， 换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间；（2）由题意，可先求出内层函数的值域，再求外层函数在内层函数上的值域．
21.【答案】（1）解：∵loga3＞loga2，∴a＞1，又∵y=logax在[a，2a]上为增函数，∴loga（2a）﹣logaa=1，∴a=2（2）解：依题意可知 解得 ，∴所求不等式的解集为 （3）解：∵g（x）=|log2x﹣1|，∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0，则 ∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，g（x）的减函数为（0，2），增区间为（2，+∞）
【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质求出a的范围，根据函数的单调性得到loga（2a）﹣logaa=1，求出a的值即可；（2）根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可；（3）通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可．
22.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）=log2（3﹣2x）∴3﹣2x＞0解得 即函数f（x）的定义域 （2）解：假设存在满足条件的a，∵a＞0且a≠1，令t=3﹣ax，则t=3﹣ax为单调递减的函数由复合函数的单调性可知，y=logat在定义域上单调递增，且t=3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立∴a＞1且由题可得f（1）=1，3﹣2a＞0，∴loga（3﹣a）=1，2a＜3∴3﹣a=a，且a＜故a的值不存在.
【解析】【分析】（1）由题意可得，3﹣2x＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域；（2）假设存在满足条件的a，由a＞0且a≠1可知函数t=3﹣ax为单调递减的函数，则由复合函数的单调性可知，y=logat在定义域上单调递增，且t=3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立，f（1）=1，从而可求a的范围.
23.【答案】（1）解：由题意：f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即loga + =0∴ ，解得：m=±1，当m=﹣1时，f（x）无意义，所以 ，故得m的值为1（2）解：由（1）得 ，设2＜x1＜x2 ， 则f（x2）﹣f（x1）= ﹣ = ∴2＜x1＜x2 ， ∴0＜2x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣（x1﹣x2）﹣4，∵a＞1，∴f（x2）＜f（x1）所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数（3）解：由（1）得 ，∴ 得，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又∵ ，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）令f（x）=1，则 =1，解得： ．所以：f（ ）=1当a＞1时， ＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2， ）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣2= ，解得：a=5．所以：当x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2
【解析】【分析】（1）f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0即可求解m的值．（2）定义证明（2，+∞）上的单调性即可．（3）利用单调性当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．
24.【答案】（1）解：函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）， 可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数（2）解：假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数， 且f（x）为函数 的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤ x2+ 恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣ ）x2+bx+c﹣ ≤0恒成立，可得a＜ ，且b2﹣4（a﹣ ）（c﹣ ）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣ ）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜ ，b=1﹣2a，可取a=c= ，b= ．满足题意
【解析】【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．