第二讲 幂的运算培优竞赛辅导（含答案）

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第二讲 幂的运算专题培优竞赛辅导
知识要点：
幂的运算性质（其中m、n、p都为正整数）：
1． 2．
3． 4．
5．
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
二．经典例题讲解
例1．计算：（1）a3·a2·a=________； （2）（-a）4·（-a）3·（-a）=________；
（3）（-a2）3=______； （4）(－a)3·(a2)3·(－a)2=______； （5）[（-a）2]3=______；
（6）-[（-b）3]2=_____；（7）（-2a）3=______； （8）-（4ab3）2=_________；
（9）（xn+1yn-1）2=________； （10）（-1.3×102）2=_________．
（11）（-）998·9999=______；(12) =________
例2.已知：，求、的值。

例3.已知２x＋５y－３＝０，求的值．

练一练如果a－4=－3b，求×的值

例4.已知4×23m·44m=212，求m的值．

练一练已知，求n的值．

例5.若，，用含x代数式表示y。


比较下列一组数的大小．


练一练 比较大小：，，

例7.若10m＝20，10n＝，求9m÷32n的值



三．经典训练
一、精心选一选
1、下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、下列命题中，正确的个数是（ ）
（１）m为正奇数时，一定有等式
（２）等式，无论m为何值时都不成立
（３）三个等式：都不成立；
（４）两个等式：，都不一定成立.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、巩固下列计算结果正确的是（ ）
①（abx）3=abx3； ②（abx）3=a3b3x3；③-（6xy）2=-12x2y2；④-（6xy）2=-36x2y2．[来源:]A．只有①③ B．只有②④ C．只有②③ D．只有③④
4、下列各题中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6、计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7、计算：（-3）4·33等于（ ）
A．-37 B．37 C．-312 D．312
8、计算（-32）5-（-35）2的结果是（ ）
A．0 B．-2×310 C．2×310 D．-2×37
9．计算（-2）2022+（-2）2021所得的正确结果是（ ）
A．22021 B．-22021 C．1 D．2
10．若（2xmym+n）3=8x9y15成立，则（ ）
A．m=3，n=2 B．m=3，n=3 C．m=6，n=2 D．m=3，n=5
二、细心填一填
1.若，则x＝__________
2．计算 ；。
3．填空
4．若（x-2）0=1，则x满足条件
5．256b=25·211,则b=__ __ 若()x=,则x=
6．已知am=3, an=9, 则a3m+2n= .
三、专心解一解(共30分)
1．计算
（1） (－a3)2·(－a2)3 （2）－t3·(－t)4·(－t)5










[(-a)2m]3·a3m+[(-a)5m]2．


（6）(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2




培优竞赛例题
【例1】 如果，则＝ (“希望杯”邀请赛试题)


变式训练： 如果，则＝


【例2】 把(x2一x+1)6展开后得，则 ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)



【例3】 已知，，则等于( )
(“希望杯”邀请赛试题) A．2 B．1 C． D．
变式训练：已知









【例4】已知，求证：(a一1)(d—1)=(b一1)(c一1)．












培优竞赛学力检测
1.计算(0．04)2003×[(一5)2003]2得( )．(杭州市中考题)
A．1 B．—l C． D．
2．化简得（ ）．(IT杯全国初中数学竞赛题)
A． B． C． D．
3．已知，那么从小到大的顺序是( )．(北京市“迎春杯”竞赛题)
A．a4．满足(x—1)200>3200的x的最小正整数为 ．
(武汉市选拔赛试题)
5.若，那么从小到大的顺序是( )．(北京市“迎春杯”竞赛题)
A．a>b>c>d B．a>b>d>c C ．b>a>c>d D．a>d>b>c
6．都是正数，且，则中，最大的一个是 ． (“英才杯”竞赛题)
7．若，则= ．
8．如果多项式能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= ，b= ．
9、若2x+5y—3=0，则4x．32y = ．．(绍兴市竞赛题)
10．已知3x2-x-1=0，求6x3十7x2一5x+1999的值．




11、已知a、b、c为自然数，且，求的值



已知n是正整数，，求的值

13、若，求n的值.


14、求的末位数字。


如果





16、先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数相乘：。如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为。一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为。
问题：（1）计算以下各对数的值

观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？
之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论。










第二讲 幂的运算专题培优竞赛辅导答案
知识要点：
幂的运算性质（其中m、n、p都为正整数）：
1． 2．
3． 4．
5．
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
二．经典例题讲解
例1．计算：（1）a3·a2·a=___a6_____； （2）（-a）4·（-a）3·（-a）=___a8_____；
（3）（-a2）3=___-a6___； （4）(－a)3·(a2)3·(－a)2=_-a11____； （5）[（-a）2]3=__a6____；
（6）-[（-b）3]2=__-b6__；（7）（-2a）3=_-8a3___； （8）-（4ab3）2=___-16a2b6___；
（9）（xn+1yn-1）2=_x2n+2y2n-2____； （10）（-1.3×102）2=_1.69×104____．
（11）（-）998·9999=__9____；(12) =__-a7b12______
例2.已知：，求、的值。
答案：=108，=

例3.已知２x＋５y－３＝０，求的值．
答案：==8

练一练如果a－4=－3b，求×的值
答案：×==81


例4.已知4×23m·44m=213，求m的值．
答案：m的值为1.

练一练已知，求n的值．
答案：n的值为1.
例5.若，，用含x代数式表示y。

比较下列一组数的大小． 答案：
练一练 比较大小：，， 答案：>>
若10m＝20，10n＝，求9m÷32n的值
答案：10m÷10n=20÷即10m-n=102所以m-n=2
9m÷32n=32(m-n)=34=81
三．经典训练
一、精心选一选
1、下列运算正确的是（ D ）
A． B． C． D．
2、下列命题中，正确的个数是（ B ）
（１）m为正奇数时，一定有等式
（２）等式，无论m为何值时都不成立
（３）三个等式：都不成立；
（４）两个等式：，都不一定成立.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、巩固下列计算结果正确的是（ B ）
①（abx）3=abx3； ②（abx）3=a3b3x3；③-（6xy）2=-12x2y2；④-（6xy）2=-36x2y2．[来源:]A．只有①③ B．只有②④ C．只有②③ D．只有③④
4、下列各题中，计算正确的是（ B ）
A． B．
C． D．
5．（ B ）
A． B． C． D．
6、计算的结果是（ A ）
A． B． C． D．
7、计算：（-3）4·33等于（ B ）
A．-37 B．37 C．-312 D．312
8、计算（-32）5-（-35）2的结果是（ B ）
A．0 B．-2×310 C．2×310 D．-2×37
9．计算（-2）2022+（-2）2021所得的正确结果是（ A ）
A．22021 B．-22021 C．1 D．2
10．若（2xmym+n）3=8x9y15成立，则（A ）
A．m=3，n=2 B．m=3，n=3 C．m=6，n=2 D．m=3，n=5
二、细心填一填
1.若，则x＝_33_________
2．计算 =_a7_b7___；。=_a
3．填空答案：
4．若（x-2）0=1，则x满足条件
5．256b=25·211,则b=__2 __ 若()x=,则x= -2
6．已知am=3, an=9, 则a3m+2n= 2187 .
三、专心解一解(共30分)
1．计算
（1） (－a3)2·(－a2)3 （2）－t3·(－t)4·(－t)5
答案：-a12 答案：t12

答案：3x5


答案：0

[(-a)2m]3·a3m+[(-a)5m]2．
答案：a9m +a10m
（6）(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2
答案：（q-p）3
培优竞赛例题
【例1】 如果，则＝ 4 (“希望杯”邀请赛试题)

变式训练： 如果，则＝ -2011

【例2】 把(x2一x+1)6展开后得，则= 375 ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)


【例3】 已知，，则等于( B )
(“希望杯”邀请赛试题) A．2 B．1 C． D．
变式训练：已知
答案：1




【例4】已知，求证：(a一1)(d—1)=(b一1)(c一1)．













培优竞赛学力检测
1.计算(0．04)2003×[(一5)2003]2得( A )．(杭州市中考题)
A．1 B．—l C． D．
2．化简得（ C ）．(IT杯全国初中数学竞赛题)
A． B． C． D．
3．已知，那么从小到大的顺序是( D )．(北京市“迎春杯”竞赛题)
A．a4．满足(x—1)200>3200的x的最小正整数为 5 ．
(武汉市选拔赛试题)
5.若，那么从小到大的顺序是( A )．(北京市“迎春杯”竞赛题)
A．a>b>c>d B．a>b>d>c C ．b>a>c>d D．a>d>b>c
6．都是正数，且，则中，最大的一个是 b ． (“英才杯”竞赛题)
7．若，则= -120 ．
8．如果多项式能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= -2 ，b= 1 ．
9、若2x+5y—3=0，则4x．32y = 8 ．．(绍兴市竞赛题)
10．已知3x2-x-1=0，求6x3十7x2一5x+1999的值．
答案：∵3x2-x-1=0 ∴3x2-x=1
∴6x3+7x2-5x+1999=2x（3x2-x）+9x2-5x+1999
=9x2-3x+1999=3（3x2-x）+1999=3+1999=2002
11、已知a、b、c为自然数，且，求的值
答案：分解质因数1998=2x27x37
所以a=b=c=1
（a-b-c）2010=1
已知n是正整数，，求的值
答案：0
13、若，求n的值.
答案：∵，∴，，，
∴


14、求的末位数字。
答案：0

如果
答案：原式==12




16、先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数相乘：。如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为。一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为。
问题：（1）计算以下各对数的值

观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？
之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论。
答案：(1)2 4 6 (2)log264．(3)logaM＋logaN＝loga( MN)(a>0且 a≠1，M>0，N>0)
证明：设=， =，则，
∴
∴b1+b2=
即+ ?=







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