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万有引力定律及引力常量的测定
一、教学目标
知识与技能:
1.了解万有引力定律得出的思路和过程,理解万有引力定律的含义,掌握万有引力定律的公式;
2.知道任何物体间都存在着万有引力,且遵循相同的规律。
过程与方法:
1.翻阅资料详细了解牛顿的“月-地”检验。
2.根据前面所学内容推导万有引力定律的公式以加深记忆,理解其内容的含义。
情感态度与价值观:
1. 通过学习认识和借鉴科学的实验方法,充实自己的头脑,更好地去认识世界,提高科学的价值观。
2. 通过逻辑推理体验其乐趣,提高分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容剖析
本节课的地位和作用:
万有引力定律是在上一节推导出的公式作一拓展得到的,在前节的基础上加深对公式的理解和应用,同时又为下几节内容作好铺垫。
本节课教学重点:
理解万有引力定律的含义及表达式。
本节课教学难点:
了解万有引力定律得出的思路和过程。
3、 教学思路与方法
教学思路:
本节课是在猜想-检验-结论的顺序展开,在每一个过程都有大量的学史资料,要让学生在阅读中获取知识,注意培养学生深刻的洞察力、严谨的数学处理和逻辑思维。
教学方法:
探究、阅读、讨论、练习
3、 教学准备
录像资料、多媒体课件
3、 课堂教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 备注
引入新课 由初中所学知识来认识重力势能 学生活动: 推导得=教师:那么我们从这个式子中马上就可看到一些比例关系,那么为什么牛顿还要进行推导下去呢?学生活动:学生进行思考。(这样研究问题比较复杂,因为有四个变量。不能体现这个行星运动的特点)教师:分为两大组进行推导:将V=2πr/T和代入上式得学生活动:推导。教师:那么从这个式子中还是有很多的变量,研究仍旧复杂,怎么办呢?(引导学生利用开普勒第三定律代入上式)学生活动:推导得到:师生总结:由上式可得出结论:太阳对行星的引力跟行星的质量成正比,跟行星到太阳的距离的二次方成反比。即:F∝教师:中比值k是一个与行星无关的恒量.只与太阳有关。那么究竟与太阳有什么关系呢?教师:牛顿根据其第三定律:太阳吸引行星的力与行星吸引太阳的力是同性质的作用力,且大小相等。提出大胆得设想:既然这个引力与行星的质量成正比,也应跟太阳的质量M成正比。(引导学生,或者采用让学生来解释的方法)即:F∝写成等式就是F=G 教师:行星绕太阳运动遵守这个规律,那么在其他地方是否适用这个规律呢?(假如说月球、卫星绕地球) 通过回顾旧知引起学生进一步求知欲
进行新课 学生活动:思考教师:为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力,遵守同样的规律,牛顿还做了著名的“月-地”检验(参见课本P105右侧),结果证明他的想法是正确的。如果我们已知月球绕地球的公转周期为27.3天.地球半径为6.37×106m.轨道半径为地球半径的60倍。教师:同学们试计算一下月球绕地球的向心加速度是多大?(引导学生采用两种方法进行求解并分析结果)学生活动:根据向心加速度公式:?因为F∝ 所以a∝1/r2同学们通过计算验证, 两者结果十分接近,说明遵循同一规律。牛顿在研究了这许多不同物体间的作用力都遵循上述引力规律之后。于是他把这一规律推广到自然界中任意两个物体间,于1687年正式发表了具有划时代意义的万有引力定律。(2)万有引力定律①内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比。②公式如果用m1和m2表示两个物体的质量,用r表示它们的距离,那么万有引力定律可以用下面的公式来表示 教师:既然自然界中任何两个物体之间都存在引力,为什么我们感觉不到旁边同学的引力?学生活动:思考、纳闷教师:下面我们粗略的来计算一下两个质量为50kg,相距0.5m的人之间的引力。教师:1.G为引力常量,在SI制中,G=6.67×10-11N·m2/kg2.(这个引力常量的出现要比万有引力定律晚一百多年哪!是英国的物理学家卡文迪许测出来的),我们下节课就要学习。那么这个力的大小到底是怎么样一个概念呢,其实他相当于提起一个质量比头发丝还小的物体所用的力,因此我们很难察觉。但它对于质量较大的物体来说,就不可忽视了。教师:为什么说是粗略?让学生思考学生活动:思考教师:2.万有引力定律中的物体是指质点而言,不能随意应用于一般物体。a.对于相距很远因而可以看作质点的物体,公式中的r 就是指两个质点间的距离;b.对均匀的球体,可以看成是质量集中于球心上的质点,这是一种等效的简化处理方法。教师:万有引力定律建立的重要意义17世纪自然科学最伟大的成果之一,它把地面上的物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来,对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响,而且它第一次揭示 了自然界中的一种基本相互作用的规律,在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。 引导学生进行推导讨论
万有引力定律1、内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比。2、公式说明:G为引力常量,在SI制中,G=6.67×10-11N·m2/kg2.2.万有引力定律中的物体是指质点而言,不能随意应用于一般物体。小结:
视野拓展
1.引力常量的实验测定
(1)卡文迪许实验(扭秤平衡法)
引力常量是第一个用物理实验的方法在实验中测得的基本物理常量。由于缺乏灵敏度足够高的测量工具,牛顿当时只验证了引力常量的普适性,但没有能够测量出它的数值。在万有引力定律发表大约一百年后,英国的米歇耳(Rev.John Michell,1724—1793)首先设计了一种专门用来进行引力实验的仪器,称为扭秤。这个装置的特点是通过测量微小的扭转角度,以显示微弱的引力,从而使在实验室中测定引力常量成为可能。这是米歇耳的贡献,但他并没有亲自作过测定引力常量的实验,因为在扭秤还没有制造完时,他就去世了。
1798年,卓越的英国物理学家卡文迪许(Henry Cavendish,1731—1810)在米歇耳的基础上完成了扭秤的制作,而且作了重要的改进。由于扭秤悬丝的扭转角度非常微小,一般不易直接观察出来,更难以比较准确的量度,卡文迪许在悬丝上附加一平面镜,镜面随悬丝的扭动而偏转,偏转角可用光学方法加以显示,就能测得比较准确。卡文迪许用改进后的扭秤完成了历史上第一个测定引力常量的实验。他的实验装置如图7-1所示。将两个直径约2英寸、质量均为m的小铅球,固定在一根长l约为6英尺的木杆两端,用一根长约3英尺的镀银铜丝通过杆的中心将木杆水平悬挂起来,在悬丝上固定一小平面镜。将另外两个直径约为12英寸、质图7-1量均为M的大铅球,分别放在两个小铅球附近,使每一对大、小铅球中心间的距离均为d、中心连线与木杆垂直、球心均在同一水平面内。用细光束照射悬丝上的小平面镜并反射到带有刻度的标尺上,当悬丝扭转时,其偏转角α可由反射光照在标尺上位置的变化求得。
由于大、小铅球间的引力作用,木杆将受到引力产生的力矩,使杆以悬丝为轴转动。杆的转动使悬丝发生扭转形变,因而产生阻碍杆转动的弹性恢复力矩,当两个力矩相等时达到平衡,这时悬丝上的小平面镜相对于没有放大铅球时的位置偏转了α角。根据万有引力定律
式中K为悬丝扭转单位角度时所产生的力矩,称为扭转系数,其数值可由杆(包括两个小铅球)的转动惯量I和振动周期T求出。方法是先将大铅球移开,使其不影响杆的自由振动。以悬丝为轴水平扭转木杆,设角位移为θ,这时悬丝对木杆施加力矩-Kθ(负号表示力矩的方向与形变的方向相反),木杆产生角加速度,由刚体动力学规律可知
上式表明,在悬丝的弹性力矩作用下,木杆的运动为简谐振动,其振动的角频率为,因而周期为
得到
将(4)式代入(1)式,得到
式中右端均为可以直接测量或计算得到的量,从而可以准确的推算出G的数值。卡文迪许的实验开始于1797年夏,于1798年完成。他当时测得的结果,经过单位换算后所得的数值为G=(6.754±0.041)×10-11 N2m2kg-2在当时的技术条件下能测得这样精确的结果,是十分难能可贵的。
卡文迪许实验开启了测量引力常量的历史行程,奠定了实验基础。二百多年来,人们采用各种不同的方法来更加精确地测定引力常量,在公开发表的文献中对引力常量的测定已超过200次。其中有的从测量技术上对卡文迪许所用的扭秤偏转法作了改进;有的又设计出了新的实验装置和方法。下面仅对其中比较成功的方法作一些简要的介绍。
(2)天平法
在一架精密的天平两盘中各放质量为m的物体,达到平衡。如果将质量为M的一个大物体放在天平一侧质量为m的物体下面,由于m与M间的引力作用将破坏原来的平衡状态,必须在另一侧盘中增加质量为Δm的小砝码才能使天平恢复平衡。根据Δm及其他天平的有关参数就可以计算出引力常量G的数值。这一方法最早于1891年被英国的坡印亭(John Henry Poynting,1852—1914)所采用,但20世纪以来已很少为人们所用了。
(3)扭秤周期法
这种方法的原理是根据扭秤的摆动周期在引力的作用下会发生变化。在图7-1中,若将两个质量为M的大铅球放在木杆的延长线上,使m与M中心连线沿杆的方向,则扭秤的摆动周期将会缩短;若将M放在垂直于杆的位置上,使m与M中心连线与杆垂直,则扭秤的摆动周期将会增大。由两次摆动周期的差值及其他有关参量可以计算出引力常量G的数值。这种方法在历史上曾多次被人们采用过。
(4)扭秤共振法
图7-1
把图7-1中两个质量为M的大铅球也用一杆连接作为一扭秤悬挂起来,形成两个扭摆系统,其中一个扭摆的质量大,另一个扭摆的质量小。当M摆动时,由于引力的作用也将引起m摆动。当调节两个扭摆的参量,使二者的周期相等时,可以证明m摆与M摆的振幅之比是正比于G的。因而,由摆的振幅即可求出引力常量G。
除以上几种方法外,还有许多其他方法,如加速度法等,不再一一列举。到目前为止,在我们已知道的自然界的基本常量中,引力常量仍然是测得最不精确、了解最少的一个。原因是实验很难做,一方面引力是四种基本相互作用中最弱的一种,另一方面引力是万有的,不能屏蔽,这就意味着干扰很多,不容易排除。表7-1中列出了用各种不同方法测出的引力常量的值。据1986年公布的引力常量的推荐值为G=6.672 59(85)×10-11N·m2·kg-2或m3·kg-1·s-2)相对标准不确定度为1.5×10-3。
表7-1用不同方法测定的引力常量数值(N·m2·kg-2)
主要测定者或公布者 年份 方法 引力常量G值
Cavendish 1798 扭秤偏转法 6.754×10-11
Poynting 1891 天平法 6.698×10-11
Boys 1895 扭秤偏转法 6.658×10-11
Braun 1895 扭秤偏转和周期法 6.658×10-11
Heyl 1930 扭秤周期法 6.678×10-11
Zahradnicek 1933 扭秤共振法 6.659×10-11
Heyl and Chrzanowski 1942 扭秤周期法 6.668×10-11
Rose 1969 加速度法 6.674×10-11
2.惯性质量与引力质量是两个不同的概念
(1)惯性质量及其测量
我们先来分析一下惯性质量概念建立的逻辑过程。
牛顿第一运动定律指出,一切物体都有惯性,力是改变物体运动状态,即产生加速度的原因。这里已经给出了力的定义,但只是定性的。为了确定力和加速度之间的定量关系,必须先规定力的量度方法,制作出测力的仪器,然后用实验测量出力和加速度的数值,找出它们之间的关系。为此,先任意选定一个物体作为标准物体,并规定,标准物体所受作用力的方向与所产生的加速度的方向相同,标准物体所受作用力F的大小与所产生的加速度a的大小成正比。于是,对于标准物体,有
F∝a(标准物体)(1)
然后再规定,当标准物体的加速度大小为a0时,所受力的大小为一个单位,可称为“单位力”。根据这样的规定,我们就可以用标准物体的加速度来定量地确定作用在标准物体上的任何作用力了。例如,当标准物体产生的加速度为a1时,它所受的作用力为F1=a1/a0单位力。
上述规定虽然能量度作用在标准物体上的力,但还不能量度作用在非标准物体上的力。为了测量作用在任何物体上的力,我们可以借助物体其他的特性来制作一个测力计。例如,利用弹簧受力会发生弹性形变的特性,用弹簧的伸长或缩短来测力。先把弹簧与标准物体连结,然后拉弹簧使其伸长Δl1,这时便有弹性力F1作用在标准物体上,使之产生加速度a1,由a1的大小和F1=a1/a0单位力可得出F1的大小,F1就是弹簧伸长为Δl1时所产生的弹性作用力。用这种方法可以得出一系列Δli与弹力Fi之间的对应关系(i=1,2,3,…),以Fi作为刻度就成为一个经过标定的弹簧测力计,用它可以测出任何物体所受作用力的大小。
解决了力的量度问题以后,就可以通过实验来确定加速度与力的关系。大量实验结果表明,对任何物体,它所受的作用力F都与由此力引起的加速度a成正比,因此可将(1)式推广到任何物体,即
F∝a(任何物体)(2)
(1)式只适用于标准物体,并且这种正比例关系是人为规定的;而(2)式则适用于任何物体,而且这一正比例关系是实验结果,不是从(1)式导出来的。
通过对实验数据的分析发现,以相同的力作用在不同的物体上,它们所产生的加速度不同。这表明物体的加速度不仅与外加的作用力有关,而且与物体本身的性质──惯性有关。加速度较大的物体,反映出它的运动状态比较容易改变,也就是说惯性较小;加速度较小的物体,反映出它的运动状态相对来说不容易改变,也就意味着其惯性较大。为了定量地描述物体惯性的大小,我们引入惯性质量的概念,并规定每个物体的惯性质量的大小与它们在相等外力作用下所获得的加速度的大小成反比。如果用m惯表示惯性质量,则有
m惯∝1/a(3)
固定支架为了对惯性质量赋予定量的数值,同样需要先选定一个标准物体,规定它的惯性质量为一个单位,可称为“惯性质量单位”。这样,就可以用相等的力分别作用在标准物体和另一个待测物体上,测出二者的加速度之比,从而确定待测物体的惯性质量。实验证明,当外力的大小改变时,尽管标准物体和待测物体的加速度的大小都随之改变,但二者的比值却是恒量。这一方面说明,惯性质量是由物体本身的性质所决定的,与外力无关;另一方面也说明加速度与惯性质量成反比的关系是具有普遍性的客观规律。
在物理教学中,引入一个新的物理概念时,往往直接给出概念的定义,很少涉及建立这一概念的前因后果。造成这种现象既有客观上的原因,如教材篇幅的限制、课堂教学时间少与教学内容多的矛盾等;又有主观上的原因,如有的教师把教学目的限定在使学生掌握概念的定义上。从提高教师自身的科学素质的角度考虑,教师应首先理解概念提出的逻辑系统,然后根据学生的接受能力,用通俗的语言作适当的介绍,做到既不失科学、严密,又能深入浅出。在教学中注意培养学生的科学思维能力,其意义并不亚于掌握概念本身的定义。从前面的分析可以看出,在惯性质量这一概念的背后,竟有如此严密的逻辑体系,这里,既体现了逻辑思维和科学推理的过程,又展示了严密的科学体系和研究方法。
图7-2 惯性秤装置示意图
1-弹簧片;2-自由端托盘;3-固定被测物体用的固定螺丝;4-被测物体;5-惯性秤固定支架
前面介绍的测定物体惯性质量的方法,在操作上有一定的困难,因为在实验中直接测量物体运动的加速度,不容易测得很准确。下面介绍一种专为测量物体的惯性质量而设计的仪器,叫做惯性秤。其构造如图7-2所示。图中1是两个完全相同的弹簧片,两端分别固定在两个托盘上,其中一个托盘5固定在桌面上,另一个托盘2沿水平方向伸出桌面外,成为秤的自由端。将被测物体用螺栓固定在自由端托盘2上。将此自由端沿水平方向拨动一小段距离然后放开,由于弹簧片的弹性恢复力的作用,自由端托盘与被测物体一起做周期性振动。被测物体同时受到重力和弹性恢复力的作用,但由于重力始终垂直于物体的运动方向,而且又与托盘施加的支持力相互平衡,所以重力对物体的振动没有影响,相当于物体仅受弹性恢复力的作用。由牛顿第二定律可知,物体的惯性质量越大,在受到同样大小的弹性恢复力作用时,其加速度就越小。由实验得知,在弹簧片的长度和自由端托盘拔离平衡位置的距离一定时,其振动的周期T的平方与加速度a成反比,即
T2∝1/a(4)
由(3)式和(4)式可知
m惯∝T2(5)
这样,就可以根据被测物体在惯性秤上的振动周期与被选为惯性质量单位的物体的振动周期之比来确定被测物体的惯性质量。
(2)引力质量及其测量
下面我们再来分析引力质量的概念是怎样建立的。
从万有引力定律可知,任何一个物体都会对其他物体产生引力作用,因此,任何物体都是一个引力源;同时,任何物体也都会受到其他物体对它产生的引力作用,因此,任何物体也都是一个引力接受者。如果把两个质点间的引力作用规律与两个静止的点电荷间的电力作用规律进行类比,就会发现二者有许多相似之处。在电学中,我们把产生静电力的源称为“电荷”,把一个带电体所具有的“电荷”的多少称为它所带的“电荷量”。1785年,法国物理学家库仑(Charles Augustin de Coulomb,1736—1806)通过对实验结果的分析,总结出如下的规律,称为库仑定律:真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力F的大小与它们的带电荷量q1、q2的乘积成正比,与它们之间的距离r的二次方成反比。用数学公式可表示为
(6)
式中k为比例系数,称为静电力常量。
为了概念上清晰起见,仿照产生静电力的源称为“电荷”,我们不妨将产生引力的源称为“引力荷”。这样,我们就可以认为,两个带电体之间存在静电力作用,是因为它们各自都具有一定数量的“电荷”;同样,两个物体之间存在引力,也是因为它们各自都具有一定数量的“引力荷”。为了定量地反映物体间产生引力的能力的强弱,应当对“引力荷”赋予数值的意义,把一个物体具有“引力荷”的多少称为“引力质量”。一个物体的引力质量大,就表示它具有的“引力荷”多,它产生或接受引力作用的能力就强;反之,物体的引力质量小,就表示它具有的“引力荷”少,它产生或接受引力作用的能力就弱。所以,引力质量是反映一个物体引力性质强弱的物理量。
测量物体引力质量的方法是直接比较待测物体和标准物体所受地球的引力。在待测物体和标准物体都与地球保持相等的距离时,如果二者受到地球的引力相等,那么待测物体的引力质量也与标准物体的引力质量相等。为此,先要选定一个标准物体,规定它的引力质量为一个单位,可称为“引力质量单位”。测量引力质量大小的量具是天平,天平是根据杠杆原理制成的。天平的种类很多,实验室中常用的是等臂天平。将待测物体放在天平的左盘中,在天平的右盘中放适当的、引力质量已知的若干个砝码,当地球对待测物体的引力与地球对右盘中全部砝码的引力之和相等时,天平达到平衡。此时,待测物体的引力质量就等于右盘中全部砝码的引力质量的总和,日常生活和生产中所用的台秤、磅秤、杆秤等都相当于不等臂天平。杆秤利用引力质量固定的秤砣在秤杆上移动,调节力臂的大小,使杆秤达到平衡。
综上所述,我们可以看出,引力质量与惯性质量是两个各自独立的物理概念。它们都反映物体的某种性质,前者反映的是产生和接受引力作用强弱的本领;后者反映的是惯性的大小。而这两种性质又是各自独立的,从经典物理学的观点看是互不相干的、没有联系的。
(3)惯性质量与引力质量的关系
在前面介绍万有引力定律建立的历史过程时,我们曾经认为太阳对行星的引力是行星绕太阳运动、产生向心加速度的原因,这时只考虑了太阳对行星的引力;在分析月球绕地球的运动时,认为地球对它的引力是使月球绕地球运动、产生向心加速度的原因,这时只考虑了地球对月球的引力。实际上,这样的分析是不严格的,因为月球不仅受地球的引力作用,而且同时也要受太阳的引力作用。有人以为,太阳与月球的距离远大于地球与月球的距离,因此太阳对月球的引力远小于地球对月球的引力,二者相比,可以忽略太阳对月球的引力。果真如此吗?我们只要通过粗略的计算就可以得出结论。根据现在已知的数据,太阳的质量约为m日=1.99×1030 kg,地球的质量约为m地=5.98×1024 kg,月球的质量约为m月=7.35×1022kg,太阳与月球的平均距离约为r月日=1.50×1011 m,地球与月球的距离约为r月地=3.84×108 m,取引力常量G=6.67×10-11N m2 kg-2。得到太阳对月球的引力F月日约为
地球对月球的引力F月地约为
二者相比,不但数量级相等,而且太阳对月球的引力还大于地球对月球的引力。可见太阳对月球的引力不能作为小量加以忽略,上述说法明显是错误的。
为什么只考虑地球对月球的引力,而没有考虑太阳对月球的引力作用,仍能得出正确的结果呢?原因在于太阳对月球的作用效果与太阳对地球的作用效果是完全一样的。这就是说,假如地球和月球之间没有引力作用,那么,在太阳引力作用下,地球和月球的轨道完全一样,在地球上来看,月球和地球的相对位置始终保持不变,好像根本不存在太阳的作用一样。因此,当我们研究地球和月球的相互关系时,可以不考虑太阳的作用,而只要考虑地球和月球之间的相互作用就可以了。
上面所说的“作用效果完全一样”,用数学的语言来表述,就是地球绕太阳运动的线速度v地与月球绕太阳运动的线速度v月相等,即v地=v月。由牛顿运动定律可知,
在上面两式中,r为太阳与月球的平均距离,也等于太阳与地球的平均距离;两式等号左端的质量都是引力质量,等号右端的质量则是惯性质量,我们在括号外以下标“引”表示引力质量,下标“惯”表示惯性质量。
由(7)式和(8)式可知,要求v地=v月,则必然存在着下列关系,即
上式就是我们在研究地球与月球关系时可以不考虑太阳作用的根据,把上述论证加以推广,对任何物体A和B,都有
因此,对任一物体,它的惯性质量与引力质量之比都应等于一个常量,这一常量与物体本身的性质无关,为普适常量。这样,我们可以去掉下标A、B,写成
m惯m引=普适常量
只要选择适当的单位,总可以使这个普适常量为1。例如,规定惯性质量和引力质量的单位都是千克,则有m惯=m引
(二)联系生活、科技和社会资料
地球同步卫星的发射与椭圆转移轨道
图7-3发射人造地球卫星的运载火箭一般为三级,其发射后的飞行过程大致包括垂直起飞、转弯飞行和进入轨道这样三个阶段,如图7-3所示。
图7-3
由于在地球表面附近大气稠密,对火箭的阻力很大,为了尽快离开大气层,通常采用垂直向上发射(垂直发射的另一个优点是容易保持飞行的稳定性)。到第一级火箭脱离时,火箭已穿出稠密的大气层。此后第二级火箭点火继续加速。当第二级火箭脱离后,火箭已具有足够大的速度,这时第三级火箭并不立即点火,而是靠已获得的巨大速度继续升高,并在地面控制站的操纵下,使火箭逐渐转弯而偏离原来的竖直方向,直至变为与地面平行的水平方向。当火箭到达与预定轨道相切的位置时,第三级火箭点火,火箭继续加速达到卫星在其轨道上运行所需的速度而进入轨道。至此,火箭已完成了其运载任务,随即与卫星脱离。刚脱离时,卫星与第三级火箭具有相同的速度并沿同一轨道运动。由于在卫星轨道处仍有稀薄气体存在,而卫星与火箭的外形不同,致使两者所受阻力不同,因而两者的距离逐渐拉开。此后,一般卫星将按预定计划沿椭圆轨道运行,火箭则在落回地球时与稠密的大气层摩擦而烧毁。
地球同步卫星的轨道平面与地球赤道平面重合,绕地球一周所需的时间与地球自转周期严格相等,为T=23小时56分4秒。这样,每隔24小时,地球与同步卫星一起转过一圈再加上在地球公转轨道上(绕太阳)转过360°的1/365。所以从地面上看,卫星好像是静止在赤道上空某点的正上方固定不动,因此称为地球轨道静止同步卫星,简称地球同步卫星或同步卫星。
同步卫星轨道离地面的高度h和运行速度v可由匀速圆周运动的规律求出。设地球质量为M、半径为R、自转周期为T,卫星的质量为m,则有,
由以上两式解出v和h,并代入已知数据M、T、R和G,得
这表明同步卫星的轨道半径和运行速度都是严格确定的,因此,发射同步卫星时的精度要比一般卫星高得多。
发射同步卫星通常采用一个椭圆形的中间转移轨道作为过渡。卫星可在地面上任何地点发射。首先由运载火箭的第一级和第二级依次启动,使火箭垂直向上加速。到第二级火箭脱离后,转弯进入一个高度较低的圆形轨道作短暂停泊,这一轨道称为初始轨道或停泊轨道。在此轨道上运行少许时间后,第三级火箭点火,使装有远地点发动机的卫星进入一个椭圆形的轨道,称为转移轨道又叫霍曼(Hohman)轨道。该轨道所在平面与赤道平面的夹角因发射地点不同而异,但椭圆的远地点和近地点都在赤道平面内,远地点与同步轨道相交,如图7-4所示。进入转移轨道后,卫星与第三级火箭脱离,同时启动卫星两侧的切向喷嘴,使卫星开始自旋。在转移轨道上绕行几圈的过程中,地面控制站要对卫星的姿态进行调整。当卫星到达转移轨道的远地点时,启动卫星上的远地点发动机,使它改变航向,进入地球赤道平面;同时加速卫星,使之达到在同步轨道上运行所需的速度。然后还需对卫星的姿态作进一步调整,这样才能准确地把卫星定点在赤道上空的同步轨道上。
图7-4
椭圆转移轨道不仅用于发射地球同步卫星,而且可用于各种航天器的轨道转移。
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人类对太空的不懈追求
一、教学目标
1、知识与技能:
(1)了解人造卫星的有关知识,正确理解人造卫星做圆周运动时,各物理量之间的关系。
(2)知道三个宇宙速度的含义,会推导第一宇宙速度。
2、过程与方法:
(1)通过用万有引力定律来推导第一宇宙速度,培养学生运用知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观:
(1)通过介绍我国在卫星发射方面的情况,激发学生的爱国热情。
(2)感知人类探索宇宙的梦想,促使学生树立献身科学的人生价值观。
二、教学内容剖析
1、 本节课的地位和作用:
本节内容主要介绍了宇宙速度、人造地球卫星、宇宙航天器等内容,人们在应用万有引力定律研究天体运动的基础上,实现人类的航天梦想,为科学研究、人类生活服务方面做出巨大的贡献。通过本节学习了解如下知识:
(1)第一宇宙速度:物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度, V=或V=,数值上V1=7.9km/s .
(2)第二宇宙速度:克服地球引力,脱离地球的逃逸速度.V2=11.2km/s.
(3)第三宇宙速度:在地面附近发射物体挣脱太阳引力束缚的速度, V3=11.2km/s.
2、本节课教学重点:
对第一宇宙速度的推导过程和方法,了解第一宇宙速度的应用领域。
3、本节课教学难点:
1、人造地球卫星的发射速度与运行速度的区别。
2、掌握有关人造卫星计算及计算过程中的一些代换。
3、 教学思路与方法
这节内容是万有引力理论的成就在生活中的应用,与我们的生活密切相关,让学生在学习物理的过程中感受到物理就在我们的身边,与我们的生活时刻联系在一起.从而引导学生进行科学和生活、和社会联系的思考,培养学生学习物理的兴趣,激发学生献身科学的热情,对学生科学价值观的形成起到重要的作用。
4、 教学准备
多媒体课件, 细线,塑料瓶。
课堂教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 备注
引入 地面上的物体,怎样才能成为人造地球卫星呢?300多年前,牛顿提出设想放影片。设地球质量为M,半径为R。人造地球卫星在圆轨道上运行,质量为m,轨道半径为r。那么,在该轨道上做匀速圆周运动的卫星的速度v如何推算? 卫星离地心越远,它运行的速度越慢。 师:1957年前苏联发射了第一颗人造地球卫星,开创了人类航天时代的新纪元。我国在70年代发射第一颗卫星以来,相继发射了多颗不同种类的卫星,掌握了卫星回收技术和“一箭多星”技术,99年发射了“神舟”号试验飞船。这节课,我们要学习有关人造地球卫星的知识。卫星在地球上空绕行时遵循这样的规律,那卫星是如何发射到地球上空的呢?师:牛顿设想在高山上有一门大炮,水平发射炮弹,初速度越大,水平射程就越大,可以想象当初速度足够大时,这颗炮弹将不会落到地面,将和月球一样成为地球的一颗卫星。 师:你思考这种设想可能么?(学生思考)生:可能,理由是当物体的重力去充当圆周运动的向心力的时候,物体可以成为卫星,不过,这应该需要很大的速度。 从卫星等物理学历史出发开始本节课的学习,激发学生的学习热情。
近地卫星及第一宇宙速度 近地面的卫星的速度是多少呢?这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的最低发射速度,叫做第一宇宙速度。思考:我们能否发射一颗周期为70min的卫星呢?提示 :同学们算算,近地卫星的周期又是多少呢?不能!! 师:牛顿实验中,炮弹至少要以多大的速度发射,才能在地面附近绕地球做匀速圆周运动?地球半径为6370km。(生思考并计算)生:在地面附近绕地球运行,轨道半径即为地球半径。由万有引力提供向心力: , 得出发射速度小于7.9km/s。师:对,如果发射速度小于7.9km/s,炮弹将落到地面,而不能成为一颗卫星;发射速度等于7.9km/s,它将在地面附近作匀速圆周运动;要发射一颗半径大于地球半径的人造卫星,发射速度必须大于7.9km/s。可见,向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难。师:第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度,所以也称为环绕速度。在地面附近,物体的万有引力等于重力,此力天空卫星做圆周运动的向心力,能否从这一角度来推导第一宇宙速度呢?mg= mv2/r v= ≈7.9km/s师:思考我们能否发射一颗周期为70min的人造地球卫星呢?(提示:算一算近地卫星其周期是多少?近地卫星由于半径最小,其运行周期最大。)生:不可以,当运行轨道为最小时,得出周期为84.5min。大于70min,所以不可以。 让学生亲历知识的导出过程,体验成功的乐趣是新课程的重要理念.同时让学生自己探究问题,可以激发学生的学习兴趣与动机,同时也可以使他们养成善于运动知识的习惯
第二宇宙速度和第三宇宙速度,发射速度与运行速度 第二宇宙速度大小。使卫星挣脱地球的束缚,成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度,也称为脱离速度。第三宇宙速度大小:。使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,也称为逃逸速度。人造卫星的发射速度与运行速度1、发射速度:是指被发射物在地面附近离开发射装置时的速度。①宇宙速度均指发射速度②第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度,也是环绕地球运行的最大速度2、运行速度:是指卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的速度。 第二宇宙速度师:当卫星的速度达到11.2km/s,使卫星挣脱地球的束缚,成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度,也称为脱离速度。发射速度大于7.9km/s,而小于11.2km/s,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆;等于或大于11.2km/s时,卫星就会脱离地球的引力,不再绕地球运行。师:当发射速度大于11.2km/s,而小于16.7km/s,使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,也称为逃逸速度。当发射速度大于11.2km/s,而小于16.7km/s,卫星绕太阳作椭圆运动,成为一颗人造行星。如果发射速度大于等于16.7km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。师:发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度,一旦发射后再无能量补充的卫星,所以它的速度要多大?(学生思考)生:要发射一颗人造地球卫星,发射速度不能小于第一宇宙速度。师:运行速度指卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。那么它的速度有没有极值?有是多大?(思考与讨论)生:当卫星“贴着”地面飞行时,运行速度等于第一宇宙速度,当卫星的轨道半径大于地球半径时,运行速度小于第一宇宙速度。 通过推导发现问题,探索问题,及最后得出结论。
地球同步卫星 五、地球同步卫星1、所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星,它在轨道上跟着地球自转,同步地做匀速圆周运动,它的周期:T=24h2、所有的同步卫星只能分布在赤道上方的一个确定轨道上 ,即同步卫星轨道平面与地球赤道平面重合,卫星离地面高度为定值。思考:地球同步卫星能否位于北京正上方某一确定高度h ?所有的同步卫星只能分布在赤道上方的一个确定轨道上。注:为了卫星之间不互相干扰,大约3°左右才能放置1颗,这样地球的同步卫星只能有120颗。可见,空间位置也是一种资源。近地卫星、同步卫星、月球三者比较例题分析(双星问题) ①双星的向心力大小相同②双星的角速度相同 师:从地球的同步卫星的定义中找出同步卫星的特点:生:同步卫星与地面相对静止,与地球自转同步,周期为24h。生:同步卫星的运行方向与地球自转方向相同。生:同步卫星定点在赤道正上方,离地高度、运行速率是唯一确定的。师:万有引力提供卫星运转的向心力,而同步卫星与地球自转同步,所以其轨道平面必定与赤道平面重合,且所有同步卫星都在赤道正上方。师:思考地球同步卫星能否位于北京正上方某一确定高度h ?生:所有的同步卫星只能分布在赤道上方的一个确定轨道上,而北京处在北半球 ,故上空一定不可能有同步卫星。师:设地球质量M,半径为R,自转周期为T,同步卫星质量m,离地高度h,请计算同步卫星离地面的高度。(学生计算)生:由牛顿第二定律: ∴又∵ ∴可见:同步卫星的离地高度、线速度大小是唯一确定的。代入具体数据可得。双星问题:师:在天体运动中,将两颗彼此距离较近,且相互绕行的行星称为双星。已知两行星质量分别为M1和M2,它们之间距离为L,求各自运转半径和角速度的关系怎样?向心力由什么提供。生:本题中,双星之间有相互吸引力而保持距离不变,则这两行星一定绕着两物体连线上某点做匀速圆周运动,设该点为O,如图所示,M1OM2始终在一条直线,M1和M2角速度相等,它们之间万有引力提供向心力。解:设M1离开O点的距离为R,则M2离开O点的距离为L-R,它们绕O点转动的加速度均为ω,则有牛顿第二定律,对两个行星分别有师:双星是一个整体,围绕着它们的质心转动,所以加速度ω相同,两星之间由万有引力相维系,它们到质心的距离与它们的质量成反比。 培养学生通过分析,自己找到答案的能力。
例题 例1、铁路转弯处的圆弧半径是300m,轨距是1435mm。规定火车通过这里的速度是72km/h,内外轨的高度差应该是多大才能使外轨不受轮缘的挤压?保持内外轨的这个高度差,如果车的速度大于或小于72km/h,会分别发生什么现象?说明理由。析:火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供,如图所示:例2、一辆汽车m=2.0×103kg在水平公路上行驶,经过半径r=50m的弯路时,如果车速度v=72km/h,这辆汽车会不会发生事故?已知轮胎与路面间的最大静摩擦力fm= 1.4×104N。析:这辆汽车经过弯路时所需向心力由地面的静磨擦力提供据题意,最大静摩擦力只为1.4×104N,所以汽车会发生事故。例3. 如图甲、乙所示,质量为m的物体,分别在半径为R的凸形和凹形圆面上做圆周运动,到达圆面的顶端和底端时速度均为,分别求出物体对圆面的压力。解析 取球为研究对象,受力如图所示,则: ① ②得:,由牛顿第三定律,物体对圆面的压力:,方向:指向圆心。,方向:背离圆心。答案:,例题4、如图所示被一细绳系住的小球质量为50g,小球在水平面内做匀速圆周运动,半径r=0.2m,小球转数为120r/min,求小球受到的向心力的大小,并回答这一向心力是由什么力提供的。解:n=120r/min=2r/sF向心力是由什么力提供的?分析小球的受力情况F向心力指向圆心,即:G与N的合力指向圆心将T分解如图所示T2=GT1=F向心力 初步把握本节的知识,并用它来解决实际问题。不要空洞的说教,在实战中了解、积累解决问题的经验。印象深刻,避免不必要的重复学习。
小结 小结:一、宇宙速度1、第一宇宙速度(环绕速度) v1=7.9km/s2、第二宇宙速度(脱离速度) v2=11.2km/s3、第三宇宙速度(逃逸速度) v3=16.7km/s二、同步卫星1、周期T=24h2、卫星轨道平面与地球赤道平面重合 学生课后巩固,总扩本节的知识及内容。
作业 作业:1、航天事业正改变着人类的生活,请你到网上查阅,近几年的航天大事的资料,阐述年的观点,与同学交流。2、做课后题目1、2、3。 通过上网查阅了解知识内容,通过题目进一步巩固学习的内容,增强学生的自学能力,符合新课标的理念。
视野拓展
宇宙航行
宇宙航行是以整个宇宙空间为活动环境的,因此,我们必须对宇宙环境有一定的了解,就像汽车司机要了解道路环境,登山运动员要了解山地环境,航海人员要了解海洋环境一样。
在人类进入太空以前,对人才环境只能进推测和理沦研究。与人类对飞天的向往一样,人们构想了美丽的“天堂”,便有“上有天堂,下有苏杭”的比喻。现在我们知道,如果“天堂”是指太空的话,就生存环境来说,那是极大的谬误。
自宇宙大爆炸以后,随着宇宙的膨胀,温度不断降低。虽然随后有恒星向外辐射热能,但恒星的数量是有限的,而且其寿命也是有限的,所以宇宙的总体温度是逐渐下降的。经过100多亿年的历程,太空已经成为高寒的环境。对宇宙微波背景辐射(宇宙大爆炸时遗留在太空的辐射)的研究证明,太空的平均温度为一270.3℃。
在太空中,不仅有宇宙大爆炸时留下的辐射,各种天体也向外辐射电磁波,许多天体还向外辐射高能粒子,形成宇宙射线。例如,银河系有银河宇宙线辐射,太阳有太阳电磁辐射、太阳宇宙线辐射(太阳耀斑爆发时向外发射的高能粒子)和太阳风(由太阳日冕吹出的高能等离子体流)等。许多天体都有磁场,磁场俘获上述高能带电粒了,形成辐射性很强的辐射带,如在地球的上空,就有内外两个辐射带。由此可见,太空还是一个强辐射环境。
宇宙大爆炸后,在宇宙中形成氢和氦两种元素,其中氢占3/4,氦占1/4。后来它们大多数逐渐凝聚成团,形成星系和恒星。恒星中心的氢和氨递次发生核聚变,生成氧、氮、碳等较重的元素。在恒星死亡时,剩下的大部分氢和氦以及氧、氮、碳等元素散布在太空中。其中主要的仍然是氢,但非常稀薄,每立方厘米只有0.l个氢原于,在星际分了云中稍多一此,每立方厘米约1万个左右。我们知道,在地球大气层中,每立方厘米含有1010个氮和氧分子。由此可见,太空是一个高真空环境。
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万有引力定律及其应用
知识网络:
教学目标:
1.掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题
2.掌握宇宙速度的概念
3.掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能
教学重点:万有引力定律的应用
教学难点:宇宙速度、人造卫星的运动
教学方法:讲练结合,计算机辅助教学
教学过程:
一、万有引力定律:(1687年)
适用于两个质点或均匀球体;r为两质点或球心间的距离;G为万有引力恒量(1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出)
二、万有引力定律的应用
1.解题的相关知识:
(1)在高考试题中,应用万有引力定律解题的知识常集中于两点:一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即=;二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力,即G =mg从而得出GM=Rg。
(2)圆周运动的有关公式:=,v=r。
讨论:
①由可得: r越大,v越小。
②由可得: r越大,ω越小。
③由可得: r越大,T越大。
④由可得: r越大,a向越小。
点评:需要说明的是,万有引力定律中两个物体的距离,对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离;对于未特别说明的天体,都可认为是均匀球体,则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。
2.常见题型
万有引力定律的应用主要涉及几个方面:
(1)测天体的质量及密度:(万有引力全部提供向心力)
由 得
又 得
【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大。现有一中子星,观测到它的自转周期为T=s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定,不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.6710m/kg.s)
解析:设想中子星赤道处一小块物质,只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时,中子星才不会瓦解。
设中子星的密度为,质量为M ,半径为R,自转角速度为,位于赤道处的小物块质量为m,则有
由以上各式得,代入数据解得:。
点评:在应用万有引力定律解题时,经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。
(2)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题:(重力近似等于万有引力)
表面重力加速度:
轨道重力加速度:
【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动,已知行星表面的重力加速度为g0,行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81,行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R=3.6,行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0=60。设卫星表面的重力加速度为g,则在卫星表面有 ……
经过计算得出:卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确?若正确,列式证明;若有错误,求出正确结果。
解析:题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度,而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是
卫星表面=g 行星表面=g0 即=
即g =0.16g0。
(3)人造卫星、宇宙速度:
人造卫星分类(略):其中重点了解同步卫星
宇宙速度:(弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别)
【例3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直,周期是12h;“二号”是地球同步卫星。两颗卫星相比 号离地面较高; 号观察范围较大; 号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空,那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 。
解析:根据周期公式T=知,高度越大,周期越大,则“风云二号” 气象卫星离地面较高;根据运行轨道的特点知,“风云一号” 观察范围较大;根据运行速度公式V=知,高度越小,速度越大,则“风云一号” 运行速度较大,由于“风云一号”卫星的周期是12h,每天能对同一地区进行两次观测,在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变。则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午8点。
【例4】可发射一颗人造卫星,使其圆轨道满足下列条件( )
A、与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆
B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆
C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的
D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的
解析:卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,且万有引力始终指向地心,因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆,故A是错误的。由于地球在不停的自转,即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆,故B是错误的。赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外,其它卫星相对地球表面都是运动的,故C、D是正确的。
【例5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高度为h,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R,地面处的重力加速度为g,地球自转的周期为T。
解析:如果周期是12小时,每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是6小时,每天能对同一纬度的地方进行四次观测。如果周期是小时,每天能对同一纬度的地方进行n次观测。
设上星运行周期为T1,则有
物体处在地面上时有 解得:
在一天内卫星绕地球转过的圈数为,即在日照条件下有次经过赤道上空,所以每次摄像机拍摄的赤道弧长为,将T1结果代入得
【例6】在地球(看作质量均匀分布的球体)上空有许多同步卫星,下面说法中正确的是( )
A.它们的质量可能不同 B.它们的速度可能不同
C.它们的向心加速度可能不同 D.它们离地心的距离可能不同
解析:同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力提供。设地球的质量为M,同步卫星的质量为m,地球半径为R,同步卫星距离地面的高度为h,由F引=F向, G=m(R+h)得:h=-R,可见同步卫星离地心的距离是一定的。
由G=m得:v=,所以同步卫星的速度相同。
由G=ma得:a= G即同步卫星的向心加速度相同。
由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外,其它物理量值都应是固定的。所以正确选项为A。
点评:需要特别提出的是:地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视,因为在高考试题中多次出现。所谓地球同步卫星,是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星。其运行轨道与赤道平面重合。
【例7】地球同步卫星到地心的距离r可由求出,已知式中a的单位是m,b的单位是s,c的单位是m/s2,则:
A.a是地球半径,b是地球自转的周期,C是地球表面处的重力加速度;
B.a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期,C是同步卫星的加速度;
C.a是赤道周长,b是地球自转周期,C是同步卫星的加速度
D.a是地球半径,b是同步卫星绕地心运动的周期,C是地球表面处的重力加速度。
解析:由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式,再将其与题给表达式中各项对比,以明确式中各项的物理意义。AD正确。
【例8】我国自制新型“长征”运载火箭,将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道,飞船绕地球遨游太空t=7天后又顺利返回地面。飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验,获得圆满成功。
①设飞船轨道离地高度为h,地球半径为R,地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈 (用给定字母表示)。
②若h=600 km,R=6400 km,则圈数为多少
解析:(1)在轨道上 ①
v=②
在地球表面:=mg ③
联立①②③式得:T=
故n=
②代人数据得:n=105圈
(4)双星问题:
【例9】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量。
解析:设两星质量分别为M1和M2,都绕连线上O点作周期为T的圆周运动,星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M1:G=M1()2 l1 ∴M2=
对M2:G=M2()2 l2 ∴M1=
两式相加得M1+M2=(l1+l2)=。
(5)有关航天问题的分析:
【例10】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H=3. 4105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈?(地球半径R=6.37106m,重力加速度g=9.8m/s2)
解析:用r表示飞船圆轨道半径r=H+ R==6. 71106m 。
M表示地球质量,m表示飞船质量,表示飞船绕地球运行的角速度,G表示万有引力常数。由万有引力定律和牛顿定律得
利用G =g得 =2由于=,T表示周期。解得
T=,又n=代入数值解得绕行圈数为n=31。
【例11】2003年10月16日北京时间6时34分,中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆,中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。据报道,中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船,于北京时间十月十五日九时,在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”型运载火箭发射升空。此后,飞船按照预定轨道环绕地球十四圈,在太空飞行约二十一小时,若其运动可近似认为是匀速圆周运动,飞船距地面高度约为340千米,已知万有引力常量为G=6.67×10-11牛·米2/千克2,地球半径约为6400千米,且地球可视为均匀球体,则试根据以上条件估算地球的密度。(结果保留1位有效数学)
解析:设地球半么为R,地球质量为M,地球密度为ρ;飞船距地面高度为h,运行周期为T,飞船质量为m。
据题意题s=5400s
飞船沿轨道运行时有
而
由①②③式得:
代入数据解得kg/m3
(6)天体问题为背景的信息给予题
近两年,以天体问题为背景的信息给予题在全国各类高考试卷中频频出现,不仅考查学生对知识的掌握,而且考查考生从材料、信息中获取有用信息以及综合能力。这类题目一般由两部分组成:信息给予部分和问题部分。信息给予部分是向学生提供解题信息,包括文字叙述、数据等,内容是物理学研究的概念、定律、规律等,问题部分是围绕信息给予部分来展开,考查学生能否从信息给予部分获得有用信息,以及能否迁移到回答的问题中来。从题目中提炼有效信息是解决此类问题的关键所在。
【例12】 地球质量为M,半径为R,自转角速度为。万有引力恒量为G,如果规定物体在离地球无穷远处势能为0,则质量为m的物体离地心距离为r时,具有的万有引力势能可表示为。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程,它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体,可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h,如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星,使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行,由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能?
解析:由得,卫星在空间站上动能为
卫星在空间站上的引力势能为
机械能为
同步卫星在轨道上正常运行时有 故其轨道半径
由上式可得同步卫星的机械能
卫星运动过程中机械能守恒,故离开航天飞机的卫星的机械能应为E2设离开航天飞机时卫星的动能为 则=
【例13】 1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上,德国Max Planck学会的一个研究组宣布了他们的研究成果:银河系的中心可能存在大黑洞,他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。他们发现,距离银河系中约60亿千米的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面数据,试在经典力学的范围内(见提示2)通过计算确认,如果银河系中心确实存在黑洞的话,其最大半径是多少?(引力常数是G=6.67×10-20km3·kg-1s-2 )
解析:表面上的所有物质,即使速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用。本题的题源背景是银河系中心的黑洞,而题目的“提示”内容则给出了本题的基本原理:(1)它是一个“密度极大的天体”,表面引力强到“包括光在内的所有物质都逃脱不了其引力的作用”,(2)计算采用“拉普拉斯黑洞模型”。这些描绘当代前沿科学的词汇令人耳目一新,让人感到高深莫测。但是反复揣摩提示就会看到,这些词句恰恰是本题的“眼”,我们据此可建立起“天体环绕运动模型”,且可用光速c作为“第一宇宙速度”来进行计算。
设位于银河系中心的黑洞质量为M,绕其旋转的星体质量为m,星体做匀速圆周运动,则有:G=m ①
根据拉普拉斯黑洞模型有:
G=m ②
联立上述两式并代入相关数据可得: R=2.67×105km
教学后记
万有引力的内容,应该说比较简单,就是一个万有引力公式结合向心力公式,关键是要会推导公式记忆公式,近年来有关天体运动卫星发射等问题高考中几乎每年出现,特别是围绕“神州飞舟”更是出现各类实际应用的题目,复习中应注意培养学生应用物理知识解决实际问题的能力。
万有引力定律
天体运动
地球卫星
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