北师大版七年级数学上第四章平面基本图形4.3角 学案+巩固练习（含答案解析）

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北师大版七年级数学上第四章平面基本图形4.3角学案（含答案解析）
【学习目标】
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
【要点梳理】
要点一、角的概念
1． 角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．


（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
要点诠释：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．

2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
要点二、角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
要点诠释：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
要点三、角的比较与运算
1.角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

2.角的和、差运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．

要点诠释：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
3.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
要点四、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．

要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
要点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型一、角的概念
1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．
【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．
【答案与解析】
解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．













【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．
举一反三：
【变式】（2015春?成武县期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
【答案】C．

类型二、角度制的换算
2. 计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；
(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．
【答案与解析】
解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″

即：152°49′12″+20.18°＝173°．
解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，
∴ 152.82°+20.18°＝173°．
即：152°49′12″+20.18°＝173°．
(2)将82°化为81°59′60″，则

∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．

423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，
∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．

∴ 41°37′÷3=13°52′20″．
【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
举一反三：
【变式】计算：
(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；
(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．
【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；
(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；
(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；
(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．
类型三、角的比较与运算
3. 如图所示表示两块三角板．

(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
【答案与解析】
解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，
可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．

(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．

【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．
举一反三：
【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.

【答案】
解：正确，理由如下：
∵∠AOB的平分线OM，
∴∠AOM＝∠MOB
又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON
即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON
∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON
∴∠MON＝（∠BON－∠AON）
4.如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
（1）求∠MON的度数；
（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从上面结果中看出有什么规律？

【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．
【答案与解析】
解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOC=120°
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=60°，∠CON=15°
∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．
（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，
∴∠BOC=α+30°
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=+15°，∠CON=15°
∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．
（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，
∴∠BOC=90°+β
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=45°+，∠CON=．
∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．
（4）从上面的结果中，发现：
∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．
【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．
举一反三：
【变式】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分AOB，OE在BOC内，且BOE＝EOC，DOE＝70°，求EOC的度数.








【答案】
解：设∠EOC=°，则BOE＝EOC＝°，根据题意可得：
，
解得： .
EOC＝2BOE＝80°.
类型四、方位角
5.已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于　 　．
【答案】85°．
【解析】
解：如图：∵∠2=50°，
∴∠3=40°，
∵∠1=45°，
∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，
故答案为：85°．

【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．
类型五、钟表上有关夹角问题
6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?
【答案与解析】
解：设7时x分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：
，．
答：7时分钟时针与分针成一条直线．
【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则：
1 分针的速度为＝6°/分；②时针的速度为＝0.5°/分．
故分针速度是时针速度的12倍．
举一反三：
【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?
【答案】
解：设此人外出用了x分钟，则分针转了6x度，时针转了0.5x度．根据题意得：
6x-0.5x＝110×2，解之得x＝40．
答：此人外出购物用了40分钟的时间．

【巩固练习】
一、选择题
1．关于平角、周角的说法正确的是( )．
A．平角是一条直线. B．周角是一条射线．
C．反向延长射线OA，就成一个平角． D．两个锐角的和不一定小于平角．
2.在时刻8：30时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
3．如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值（ ）．
A．小于180° B．等于180° C．大于180° D．不能确定

4．下面等式成立的是（　　）
A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′
5. 如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的式子是（ ）．
A．2α－β B．α－β C．α＋β D．以上都不正确

6．如图，O为我国南海某人造海岛，某国商船在A的位置，∠1=40°，下列说法正确的是（　　）

A．商船在海岛的北偏西50°方向 B．海岛在商船的北偏西40°方向
C．海岛在商船的东偏南50°方向 D．商船在海岛的东偏南40°方向
二、填空题
7．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应该是 ．
8．把一个平角16等分，则每份(用度、分、秒表示)为__________．
9．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB:∠AOD＝2:11，则∠AOB＝_______．

10.从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC=　 　度．

11．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于 ．

12．如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有__________个角；如果引出5条射线，有 __ 个角；如果引出条射线，有 _ 个角．







三、解答题
13．如图，在A、B两处之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东46°，A、B两地同时开工，若干天后公路准确接通．
（1）B地修公路的走向是南偏西多少度？
（2）若公路AB长12千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西44°，试求A到公路BC的距离？


14. 如图，点O为直线AB上一点，过点O作直线OC，已知∠AOC≠90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．求：
（1）当0°＜∠AOC＜90°时，求∠FOB+∠DOC的度数；
（2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度数．



15. 如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；
（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？












16．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．
(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；
(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系? 请说明理由．










【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C；
【解析】角与直线、射线、线段是不同的几何图形，不能混淆．
2．【答案】C．
【解析】8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°.
3．【答案】B；
【解析】∠AOB+∠DOC=(∠AOC+∠BOC)+( 90°－∠BOC) =90°+90°=180°．
4．【答案】D
【解析】解：A、83.5°=83°50′，错误；
B、37°12′=37.48°，错误；
C、24°24′24″=24.44°，错误；
D、41.25°=41°15′，正确．
故选D．
5. 【答案】A；
6．【答案】B；
【解析】解：如图，

∵EF∥BC，
∴∠2=∠1=40°，
∴海岛在商船的北偏西40°方向，
故选B．

二、填空题
7. 【答案】165°；
【解析】如图所示．



8. 【答案】11°15′；
【解析】度、分、秒的换算为“六十进制”，上一级的余数乘以60，变换到下一级再运算．
9.【答案】20°；
【解析】设∠AOB＝2x，则∠AOD＝11x，∠DOC＝2x，所以∠BOC＝7x，所以2x+7x＝90°，x＝10°，∠AOB＝2x＝20°．
10.【答案】40．
【解析】如图，A沿北偏东60°的方向行驶到B，则∠BAC=90°﹣60°=30°，
B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠BCO=90°﹣20°=70°，
又∵∠ABC=∠BCO﹣∠BAC，
∴∠ABC=70°﹣30°=40°．

11.【答案】60°；
【解析】连接BC，可得：△ABC为等边三角形．
12.【答案】10, 21，；
【解析】在的内部从引出3条射线，则图中共有角的个数：；
如果引出5条射线，则图中共有角的个数：；
如果引出条射线，则图中共有角的个数：．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知B地所修公路的走向是南偏西46°；
（2）∵∠ABC=180°﹣∠ABG﹣∠EBC=180°﹣46°﹣44°=90°，
∴AB⊥BC，
∴A地到公路BC的距离是AB=12千米．
14．【解析】
解：如图1，
（1）∵射线OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=90°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF=∠EOF=∠DOE=45°，
∴∠FOB+∠DOC=∠BOF+∠AOD=180°﹣∠DOF=180°﹣45°=135°；
（2）设∠AOD=∠COD=x°，则∠AOC=2x°，
由（1）的证明过程可知∠DOE=90°，∠DOF=∠EOF=45°，
∠AOC≠90°，分情况考虑如下：
①当∠AOC为锐角时，如图1，∠COF=∠DOF﹣∠COD=45°﹣x，

∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3?（45°﹣x），
解得x=33.75°，
∴∠AOC=2x=67.5°．
②当∠AOC为钝角时，如图2，∠COF=∠COD﹣∠DOF=x﹣45°，

∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3?（x﹣45°），
解得x=67.5°，
∴∠AOC=2x=135°．
综合，可得∠AOC=67.5°或135°．

15.【解析】
解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC==30°，
∴∠EOF=∠EOC-∠COF=75°-30°=45°；
（2）∵∠AOB是直角，∠AOC=x°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=x°-90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC=∠AOC= x°，∠COF=∠BOC=（x°-90°），
∴∠EOF=∠EOC-∠COF=x°-（x°-90°）=45°；
（3）根据（2）的规律发现，∠EOF的度数只与∠AOB有关，
∠EOF= ∠AOB=×90°=45°．
16. 【解析】
解：(1)ON平分∠AOC．理由如下：
∵ ∠MON＝90°
∴ ∠BOM+∠AON＝90°
∠MOC+∠NOC＝90°
又∵ OM平分∠BOC
∴ ∠BOM＝∠MOC
∴ ∠AON＝∠NOC
∴ ON平分∠AOC
(2)∵ ∠CON+∠NOB＝60°
又∵ ∠BOM+∠NOB＝90°
∴ ∠BOM＝∠NOC+30°


















































图2

图1

O

B

C

E

A

F



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