2018-2019学年度高二数学人教A版选修2-1习题：第二章检测试题+Word版含答案

第二章　检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为(　D　)
(A)-2 (B)2
(C)-4 (D)4
解析:y2=2px的焦点坐标为(,0),椭圆+=1的右焦点为(2,0),从而可得p=4.故选D.
2.若方程-=1表示双曲线,则实数k的取值范围是　(　B　)
(A)(-∞,1) (B)(1,3)
(C)(3,+∞) (D)(-∞,1)∪(3,+∞)
解析:当方程-=1表示双曲线时,(3-k)(k-1)>0,13.过点F(0,2)且和直线y+2=0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　A　)
(A)x2=8y (B)y2=-8x
(C)y2=8x (D)x2=-8y
解析:由题意,动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,方程为x2=8y,故选A.
4.方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　D　)
(A)(4,+∞) (B){4}
(C)(-∞,4) (D)(0,4)
解析:方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,即方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,可得4>k>0.故选D.
5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(　A　)
(A)-=1 (B) -=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:在椭圆C1中,由得
椭圆C1的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),
曲线C2是以F1,F2为焦点,实轴长为8的双曲线,
故C2的标准方程为-=1,故选A.
6.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F,作圆x2+y2=a2的切线FM交y轴于点P,切圆于点M,2=+,则双曲线的离心率是(　A　)
(A) (B) (C)2 (D)
解析:由已知条件知,点M为直角三角形OFP斜边PF的中点,故OF= OM,即c=a,所以双曲线的离心率为,选A.
7.设抛物线y2=2x与过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则·的值是(　B　)
(A) (B)-
(C)3 (D)-3
解析:抛物线y2=2x的焦点坐标为(,0).设过焦点F的直线AB的方程为x=ay+,A(x1,y1),B(x2,y2),由　得y2-2ay-1=0,所以y1y2= -1,x1x2=·=,所以·=x1x2+y1y2=-.
8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:设B(xB,yB),如图,由于BF⊥x轴,故xB=-c,yB=.
设P(0,t),
因为=2,
所以(-a,t)=2(-c,-t).
所以a=2c,所以=,即e=.故选D.
9.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　C　)
(A)[-,] (B)[-2,2]
(C)[-1,1] (D)[-4,4]
解析:准线x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),
由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.
当k=0时,x=0,即交点为(0,0),
当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0综上,k的取值范围是[-1,1].故选C.
10.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,设A(x1,y1),
B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,由|FA|=2|FB|及抛物线定义得x1+2=2(x2+2),即x1=2+2x2,代入x1x2=4,整理得+x2-2=0,解得x2=1或x2=-2(舍去),所以x1=4,=5,解得k2=,又因为k>0,所以k=.故选D.
11.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1(a>b>0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1(a>b>0)的焦点与顶点,
所以双曲线的顶点是(±,0),焦点是(±a,0),
设双曲线方程为-=1(m>0,n>0),
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
因为m=,n2=a2-m2=b2,
所以n=b.
因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x,
所以m=n,所以a2-b2=b2,
所以a2=2c2,
所以a=c,
所以e==.故选D.
12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为(　D　)
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:因为椭圆的离心率为,所以e==,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得+=1,即+ ==1,所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(b,b),所以四边形的面积为4×b×
b=b2=16,所以b2=5,所以椭圆方程为+=1.故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为　　　　.?
解析:因为抛物线方程为y2=4x,则准线方程为x=-1.
设P点坐标为(x0,y0),由图可知,
|PM|=x0+1=5.所以x0=4.
把x0=4代入y2=4x,解得y0=±4,
所以△MPF的面积为|PM|×|y0|=×5×4=10.
答案:10
14.设方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是　　　　　.
解析:因为方程-=1表示双曲线,
所以(2+m)(2m-1)>0,解得m<-2或m>.
答案:(-∞,-2)∪(,+∞).
15.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　.?
解析:双曲线的两条渐近线方程为y=±x,与抛物线方程联立得交点A(,),B(-,),抛物线焦点为F(0,),
由三角形垂心的性质,得BF⊥OA,即kBF·kOA=-1,又kBF==-,kOA=,所以有(-)=-1,即=,故C1的离心率e====.
答案:
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　
　.?
解析:由题意得F(c,0),直线y=与椭圆方程联立可得
B(-,),C(,),
由∠BFC=90°可得·=0,=(c+,-),
=(c-,-),
则c2-a2+b2=0,
由b2=a2-c2,可得c2=a2,
则e===.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦,使它恰被点P平分,求这条弦所在的直线方程.
解:设直线上任意一点的坐标为(x,y),弦的两个端点为P1(x1,y1),
P2(x2,y2).
因为P1,P2在抛物线上,
所以=6x1,=6x2.
两式相减得
(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).①
因为y1+y2=2,代入①得
k==3.
所以直线的方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
18.(本小题满分12分)
已知点A(-,0),B(,0),P是平面内的一个动点,直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是-.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当线段MN的中点在直线x+2y=0上时,求直线l的方程.
解:(1)设P(x,y)(x≠±),由kAP·kBP=·=-,
整理得+y2=1,x≠±.
(2)设MN的中点坐标为(x0,y0),
联立得(2k2+1)x2+4kx=0,
所以x0=,y0=kx0+1=,
由x0+2y0=0,得k=1,
所以直线l的方程为y=x+1.
19.(本小题满分12分)
已知抛物线C的顶点在坐标原点O,对称轴为x轴,焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为2,且·=10.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点(4,0)作直线l交抛物线C于M,N两点,
求证:OM⊥ON.
(1)解:设抛物线C:y2=2px(p>0),点A(2,y0),
则有=4p,因为F(,0),
所以=(2-,y0),·=4-p+=4+3p=10,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:当直线l斜率不存在时,此时l:x=4,
解得M(4,4),N(4,-4),
满足·=0,所以OM⊥ON.
当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-4),联立方程
?k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=16,
则·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=16(1+k2)-32k2-16+
16k2=0,即有OM⊥ON.
综上,OM⊥ON成立.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(-1,-1),c为椭圆的半焦距,且c=b,过点P作两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于另两点M,N.
(1)求椭圆C的方程:
(2)若直线l1的斜率为-1,求△PMN的面积.
解:(1)由题意得,解得b2=,a2=4.
所以椭圆方程为+=1.
(2)设l1方程为y+1=k(x+1),联立
消去y得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0.
因为P(-1,-1),解得M(,).
当k≠0时,用-代替k,得N(,),
将k=-1代入,得M(-2,0),N(1,1),
因为P(-1,-1),所以PM=,PN=2,
所以△PMN的面积为××2=2.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),
△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.
求证:|AN|·|BM|为定值.
(1)解:由题意得
解得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:由(1)知A(2,0),B(0,1).
设P(x0,y0)(x0≠2或y0≠1),则+4=4.
当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).
令x=0,得yM=-,
从而|BM|=|1-yM|=|1+|.
直线PB的方程为y=x+1.
令y=0,得xN=-,
从而|AN|=|2-xN|=|2+|.
所以|AN|·|BM|=|2+|·|1+|
=||
=||
=4.
当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,
所以|AN|·|BM|=4.
综上,|AN|·|BM|为定值.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,双曲线方程为-=1,直线x=2与双曲线的交点为A,B,且|AB|=.
(1)求椭圆与双曲线的方程;
(2)过点F2的直线l与椭圆交于M,N两点,交双曲线于P,Q两点,当 △F1MN的内切圆的面积取最大值时,求△F1PQ的面积.
解:(1)椭圆:+=1(a>b>0)的离心率为,
则a2=b2,
设A(2,yA),由|AB|=得yA=±,
把A点坐标代入双曲线方程得-=1,
解得b2=3,所以椭圆方程为+=1.
双曲线方程为-=1.
(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
不妨设y1>0,y2<0,△F1MN的内切圆半径为R.
易知△F1MN的周长是8,
所以=(|MN|+|F1N|+|F1M|)·R=4R,
所以当△F1MN内切圆的面积最大时,△F1MN的面积最大.
=·|F1F2|·(y1-y2)=y1-y2,
设直线l的方程为x=my+1,
由消去x得
(3m2+4)y2+6my-9=0,
解得y1=,y2=,
所以=y1-y2=,
不妨设=t≥1,
于是==,
因为y=3t+在[1,+∞)上单调递增,
所以==≤=3,
当且仅当t=1,即m=0时等号成立,
故直线x=1与椭圆交于两点M,N,使得△F1MN的内切圆的面积最大.
联立所以y=±,即|PQ|=,
故△F1PQ的面积为
=·|F1F2|·|PQ|=×2×=.