2018-2019学年度高二数学人教A版选修2-1习题：周练卷（六）+Word版含答案

周练卷(六)
(时间:90分钟　满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间向量的线性运算
3,10
空间向量的数量积及坐标运算
2,5,9,14
共线向量与共面向量
1,13
利用空间向量求角
4,8,11,12,15,17,19,20
利用空间向量证明平行、垂直
6,17,19
利用空间向量求距离
7,16,18
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.设直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的一个法向量为n=(x,y,-6),若l⊥α,则x-2y等于(　C　)
(A)18 (B)6 (C)-10 (D)-18
解析:因为l⊥α,所以a∥n,即(x,y,-6)=λ(1,-2,3),得x=-2,y=4.
故x-2y=-10.故选C.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,则·等于(　C　)
(A)1 (B)0 (C)3 (D)-3
解析:·=(-)·(++)=-+(-)·=
4-1+0=3.故选C.
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),
则(　D　)
(A)x=1,y= (B)x=,y=1
(C)x=1,y= (D)x=1,y=
解析:因为=+=+=+(+),所以x=1,y=.故选D.
4.(2018·甘肃秦安月考)已知向量a=(3,4,-3),b=(5,-3,1),则a,b的夹角是(　C　)
(A)0° (B)45° (C)90° (D)135°
解析:cos==0,所以a,b的夹角是90°.故选C.
5.(2017·深圳高二期末)已知向量a=(2,1,4),b=(1,0,2),且a+b与ka-b互相垂直,则k的值是(　D　)
(A)1 (B) (C) (D)
解析:a+b=(3,1,6),ka-b=(2k-1,k,4k-2),
因为a+b与ka-b互相垂直,
所以3(2k-1)+k+6(4k-2)=0,
解得k=,
故选D.
6.(2018·湖北四校期中)已知平面α的法向量为n=(2,-2,4),
=(-3,1,2),点A不在α内,则直线AB与平面α的
位置关系为(　D　)
(A)AB⊥α (B)AB?α
(C)AB与α相交不垂直 (D)AB∥α
解析:因为n·=(2,-2,4)·(-3,1,2)=-6-2+8=0,
所以n⊥,因为点A不在α内,所以AB∥α.故选D.
7.在直角坐标系xOy中,设A(2,2),B(-2,-3),沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后,AB的长是(　A　)
(A) (B)6 (C)3 (D)
解析:过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,
则||=2,||=2,||=5,<,>=60°,
所以=(++)2
=+++2·+2·+2·
=4+25+4+2×2×2cos 60°+0+0=37.||=.故选A.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是AD的中点,则异面直线A1B与C1E所成角的大小是(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:如图,建立空间坐标系,设正方体的棱长为2,则A1(0,0,2),
B(2,0,0),C1(2,2,2),E(0,1,0),
则=(2,0,-2),=(-2,-1,-2),
因为·=-4+0+4=0,
所以⊥,
即异面直线A1B与C1E所成角为.
9.在以下命题中,不正确的个数为(　C　)
①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
②对a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;
③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=2-2-,
则P,A,B,C四点共面;
④|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)1
解析:|a|-|b|=|a+b|?a与b的夹角为π,故是充分不必要条件,故①不正确;b必须为非零向量,故②不正确;因为2-2-1≠1,由共面向量定理知,③不正确;④由向量的数量积的性质知,④不正确.故选C.
10.设O-ABC是正三棱锥,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)等于(　A　)
(A)(,,) (B)(,,)
(C)(,,) (D)(,,)
解析:由G是OG1上一点,且OG=3GG1,
可得==(+)=+,
又因为G1是△ABC的重心,
所以AG1=[(+)],
所以=+×[(+)]=+ [(-)+(-)]=++,
而=x+y+z,所以x=,y=,z=,所以(x,y,z)=(,,),故选A.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　B　)
(A)- (B) (C)- (D)
解析:建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),
B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).
所以=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).
设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).
因为n⊥,n⊥,
所以所以
令y=1,则n=(-1,1,0).
所以cos==,设直线BE与平面B1BD所成角为θ,
则sinθ=|cos|=.故选B.
12.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,
PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角C-BF-D的正切值为(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:连接BD交AC于点O,
则AC⊥BD,连接OF,则OF∥PA,
因为PA⊥平面ABCD,
所以OF⊥平面ABCD,
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
设PA=AD=AC=2,
则OF=1,F(0,0,1),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),
所以=(-,1,0),=(-,0,1),=(-2,0,0),=(,0,1),
设平面BCF的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
即
令x1=1,得y1=,z1=,即n1=(1,,),
设平面BDF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
所以
令y2=1,则x2=0,z2=0,
所以n2=(0,1,0),
所以cos===,
设二面角C-BF-D的平面角为θ,则cosθ=,
所以tanθ=.故选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知A,B,C三点不共线,O是平面外任意一点,
若由=++λ确定的点P与A,B,C三点共面,
则 λ=　　　　.?
解析:因为++λ=1,所以λ=.
答案:
14.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,
则k值是　　　　.?
解析:因为向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
所以ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),
因为ka+b与2a-b互相垂直,
则(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=5k-7=0,
解得k=.
答案:
15.(2017·上饶高二月考)如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=A1B1,则BE1与DF1所成角的余弦值是　　　　.?
解析:以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1.
由已知得D(0,0,0),B(1,1,0),E1(1,,1),
F1(0,,1),=(0,-,1),=(0,,1),
所以cos <,>===,
所以BE1与DF1所成角的余弦值为.
答案:
16.(2017·江西临川二中期中)在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),
=(-4,1,0),=(-6,2,-8),
则该四棱锥的高为　　　　.?
解析:四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则可得
不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),则=(-6,2,-8)在
平面ABCD上的射影就是这个四棱锥的高h,
所以h=|| |cos<,n>|=||==2,
所以该四棱锥的高为2.
答案:2
三、解答题(共40分)
17.(本小题满分10分)
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.用向量方法证明与解答:
(1)求证:AM∥平面BDE;
(2)试判断在线段AC上是否存在一点P,使得直线PF与AD所成角
为60°,并说明理由.
(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系.
设AC∩BD=N,连接NE,
则点N,E的坐标分别是(,,0),(0,0,1),
所以=(-,-,1),A,M坐标分别是(,,0),(,,1),
所以=(-,-,1),
所以=且NE与AM不共线,
所以NE∥AM.
又因为NE?平面BDE,AM?平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
(2)解:设P(t,t,0)(0≤t≤),
得=(-t,-t,1),
因为=(0,,0),
PF和AD所成的角是60°,
所以cos 60°=
解得t=或t=(舍去),
即点P是AC的中点时满足题设.
18.(本小题满分10分)
已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解:以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则
D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E(1,,0),F(,1,0),
所以=(1,,-1),=(,1,-1),=(0,0,1),
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令z=1可得x=,y=,所以n=(,,1).
(1)因为=(0,0,1),
所以点D到平面PEF的距离为d==,
所以点D到平面PEF的距离为.
(2)因为=(0,,0),
所以点A到平面PEF的距离为d===,
所以直线AC到平面PEF的距离为.
19.(本小题满分10分) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,
AC=CB=CC1=2,E是AB的中点.
(1)求证:AB1⊥平面A1CE;
(2)求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值.
(1)证明:因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥AC,CC1⊥BC,又∠ACB=90°,即AC⊥BC.
以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz(图略).A(2,0,0),B1(0,2,2),E(1,1,0),A1(2,0,2),
所以=(-2,2,2),=(1,1,0),=(2,0,2).
又因为·=0,·=0,
所以AB1⊥CE,AB1⊥CA1,
又A1C∩CE=C,
所以AB1⊥平面A1CE.
(2)解:由(1)知,=(-2,2,2)是平面A1CE的法向量,==
(2,0,0),
所以|cos<,>|==.
设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ,
则sinθ=|cos<,>|=.
所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为.
20.(本小题满分10分) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;
(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,
求线段BM的长.
解:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.
依题意得A(2,0,0),B(0,0,0),C(,-,),A1(2,2,0),
B1(0,2,0),C1(,,).
(1)易得=(-,-,),=(-2,0,0),
于是cos <,>===.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)易知=(0,2,0),=(-,-,).
设平面AA1C1的一个法向量m=(x,y,z),
则
即不妨令x=,可得m=(,0,),
同样地,设平面A1B1C1的一个法向量n=(x1,y1,z1),则
即
不妨令y1=,可得n=(0,,),
于是cos==,
从而sin==.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为.
(3)由N为棱B1C1的中点,得N(,,).
设M(a,b,0),则=(-a,-b,),
由MN⊥平面A1B1C1,得
即
解得因此=(,,0).
所以线段BM的长||==.