2018-2019学年人教版高中数学选修1-1课时作业：3.3.2函数的极值与导数+Word版含解析

3.3.2　函数的极值与导数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数极值的定义
1
函数极值(点)的判断与求解
2,3,7
由函数极值求参数(或范围)
4,5
函数极值的应用
10
综合问题
6,8,9,11
【基础巩固】
1.下列关于函数的极值的说法正确的是(　D　)
(A)导数值为0的点一定是函数的极值点
(B)函数的极小值一定小于它的极大值
(C)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
(D)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数
解析:由极值的概念可知只有D正确.
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(　A　)
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:极小值点应有先减后增的特点,即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点.故选A.
3.函数y=1+3x-x3有(　D　)
(A)极小值-1,极大值1
(B)极小值-2,极大值3
(C)极小值-2,极大值2
(D)极小值-1,极大值3
解析:f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1.
由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)=3,
极小值为f(-1)=1-3+1=-1.故选D.
4.(2018·太原高二检测)若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为(　A　)
(A) (B) (C)2 (D)
解析:f′(x)=a-,令f′()=0,即a-=0,
解得a=.故选A.
5.(2017·河南高二月考)已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1(A)a>e
(B)x1+x2>2
(C)x1x2>1
(D)有极小值点x0,且x1+x2<2x0
解析:因为f(x)=ex-ax,所以f′(x)=ex-a,
令f′(x)=ex-a>0,
①当a≤0时,f′(x)=ex-a>0在x∈R上恒成立,
所以f(x)在R上单调递增.
②当a>0时,因为f′(x)=ex-a>0,所以ex-a>0,
解得x>ln a,
所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.
因为函数f(x)=ex-ax有两个零点x1所以f(ln a)<0,a>0,
所以eln a-aln a<0,所以a>e,A正确;
x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),
取a=,f(2)=e2-2a=0,
所以x2=2,f(0)=1>0,所以0所以x1+x2>2,B正确;
f(0)=1>0,所以01不一定,C不正确;
f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,所以有极小值点x0=ln a,且x1+x2<2x0=2ln a,D正确.故选C.
6.(2015·陕西卷)函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　　　.
解析:由y=xex可得y′=ex+xex=ex(x+1),
从而可得y=xex在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,
所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1,
因为y′|x=-1=0,切点为(-1,-),
故切线方程为y=-e-1,
即y=-.
答案:y=-
7.(2018·宝鸡高二月考)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确的是　　
　　(把所有正确的说法序号都填上).?
①当x=时函数取得极小值;
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时函数取得极小值;
④当x=1时函数取得极大值.
解析:从题中图象上可以看到:当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;
当x∈(1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时函数取得极大值.只有①不正确.
答案:②③④
8.(2017·咸阳高二期末)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+3.求:
(1)f(x)的单调递增区间;
(2)f(x)的极值.
解:(1)f′(x)=3x2+6x-9,
解f′(x)≥0,得x≥1或x≤-3;
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-3],[1,+∞).
(2)x<-3时,f′(x)>0,-31时,f′(x)>0;
所以x=-3时f(x)取极大值30,
x=1时,f(x)取极小值-2.
【能力提升】
9.(2018·沈阳高二质检)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为(　D　)
(A)2 (B)3 (C)6 (D)9
解析:f′(x)=12x2-2ax-2b,
则f′(1)=12-2a-2b=0,则a+b=6,
又a>0,b>0,则t=ab≤()2=9,当且仅当a=b=3时取等号.故选D.
10.(2018·成都高二诊断)函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是　　　　.?
解析:令f′(x)=3x2-3a=0,得x=±,
则f(x),f′(x)随x的变化情况如表:
x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
从而
解得
所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).
答案:(-1,1)
11.(2018·呼伦贝尔高二检测)设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数的递减区间.
解:(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y′=3x2+2ax+b,
故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.
所以y=x3+ax2,则y′=3x2+2ax.
令y′=0,解得x=0或x=-a,
即x=0和x=-a是极值点.
由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a时取极小值.
当x=-a时,函数有极小值-4,
所以(-a)3+a(-)2=-4,
整理得a3=-27,解得a=-3.
故a=-3,b=0,c=0.
(2)由(1)得y=x3-3x2,则y′=3x2-6x,
令y′<0,即y′=3x2-6x<0,
解得0所以函数的递减区间是(0,2).
【探究创新】
12.(2017·南阳高二期末)已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,函数f(x)在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取极小值,则u=的取值范围是　　　　.?
名师点拨:由函数在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值,列出a,b所满足的约束条件,利用线性规划求解.
解析:f′(x)=x2+ax+2b,
因为函数f(x)在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值.
所以即
作出点(a,b)所满足的可行域如图:
而u=可看作是平面区域内的点与点C(1,2)连线的斜率,
由可得A(-3,1),又B(-1,0)
所以kAC==,kBC==1,所以答案:(,1)