2018-2019学年度高二数学人教A版选修2-1习题：第一章检测试题+Word版含答案
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年度高二数学人教A版选修2-1习题：第一章检测试题+Word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 67.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-10-22 19:31:19 | ||
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文档简介
第一章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列语句中,命题的个数为( C )
①|x+2|;②-5∈Z;③π?R;④{0}∈N.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:可以判断真假的陈述句是命题,①不能判断真假不是命题,②③④是命题.
2.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( D )
(A)若a,b与α所成的角相等,则a∥b
(B)若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
(C)若a?α,b?β,a∥b,则α∥β
(D)若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
解析:A中,a,b还可能相交或异面,所以A错误.
B.平行于平行平面的两条直线不一定平行,所以B错误.
C.根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知,当a?α,b?β,a∥b,则α∥β不成立,所以C错误.
D.根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知,若a⊥α,α⊥β,则a∥β或a?β,
又因为b⊥β,所以a⊥b成立,所以D成立.
3.原命题“若x≤-3,则x<0”的逆否命题是( D )
(A)若x<-3,则x≤0 (B)若x>-3,则x≥0
(C)若x<0,则x≤-3 (D)若x≥0,则x>-3
解析:原命题“若x≤-3,则x<0”则:逆否命题为:若x≥0,则x>-3.
故选D.
4.命题“?n∈N*,f(n)≤n”的否定形式是( C )
(A)?n∈N*,f(n)>n (B)?n?N*,f(n)>n
(C)?n∈N*,f(n)>n (D)?n?N*,f(n)>n
解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“?n∈N*,f(n)≤n”的否定形式为?n∈N*,f(n)>n.
故选C.
5.条件p:|x+1|>2,条件q:x>2,则﹁p是﹁q的( A )
(A)充分非必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:根据题意,|x+1|>2?x<-3或x>1,则﹁p:-3≤x≤1,又由题意,q:x>2,则﹁q为x≤2,
所以﹁p是﹁q的充分不必要条件.故选A.
6.已知命题p:x2>x是x>1的充分不必要条件;命题q:若数列{an}的
前n项和Sn=n2,那么数列{an}是等差数列.则下列命题是真命题的是( B )
(A)p∨(﹁q) (B)p∨q
(C)p∧q (D)(﹁p)∧(﹁q)
解析:对于命题p:x2>x,解得x>1或x<0,因此x2>x是x>1的必要不充分条件,因此p是假命题.
命题q: 若数列{an}的前n项和Sn=n2,则n=1时,a1=1;n≥2时,an=Sn-
Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时也成立.所以an=2n-1,因此数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2,因此是真命题.
所以只有p∨q是真命题.
故选B.
7.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( A )
(A)必要不充分条件 (B)既不充分也不必要条件
(C)充要条件 (D)充分不必要条件
解析:由题意得,
因为命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”与命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题,
所以判断命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的真假只要判断:
命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题的真假即可,
因为命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题,
所以命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”是假命题,
所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3.
同理“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,
所以命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题.
所以a+b≠3?a≠1或b≠2.
“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件.
故选A.
8.下列有关命题的说法正确的是( D )
(A)命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
(B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
(C)命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有x2+x+1<0”
(D)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
解析:对于A:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”.
因为否命题应为“若x2≠1,则x≠1”,故错误.
对于B:“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.
因为x=-1?x2-5x-6=0,应为充分条件,故错误.
对于C:命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有x2+x+1<0”.
因为命题的否定应为?x∈R,均有x2+x+1≥0.故错误.
由排除法得到D正确.
故选D.
9.下列说法错误的是( C )
(A)如果命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
(B)命题p:?x0∈R,+2x0+2≤0,则﹁p:?x∈R,x2+2x+2>0
(C)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是“若a,b都不是偶数,则a+b不是偶数”
(D)特称命题“?x∈R,使-2x2+x-4=0”是假命题
解析:A中﹁p是真命题,则p是假命题,p或q是真命题,所以q是真命题,故A正确.B中,特称命题的否定是全称命题,B正确.C中,命题的否命题应为“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数”,故C错误.D中,方程-2x2+x-4=0无实根,D正确.
10.命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C )
(A)a≥4 (B)a≤4 (C)a≥5 (D)a≤5
解析:若“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,则a≥(x2)max=4.所以a≥4.结合选项知,命题为真的一个充分不必要条件为a≥5.故选C.
11.以下四个命题中,其中正确的个数为( B )
①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2=0”;②“α=”是“cos 2α=0”的充分不必要条件;③若命题p:?x0∈R,+x0+1=0,则﹁p:?x∈R,x2+x+1=0;④若p∧q为假,p∨q为真,则p,q有且仅有一个是真命题.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:对于①,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故①错误;
对于②,当α=时,cos 2α=cos =0,充分性成立;
cos 2α=0时,α=+,k∈Z,必要性不成立,是充分不必要条件,故②正确;
对于③,命题p:?x0∈R,+x0+1=0,则??p:?x∈R,x2+x+1≠0,故③
错误;
对于④,当p∧q为假命题,p∨q为真命题时,p,q中有且仅有一个是真命题,故④正确.
综上,正确的命题序号是②④,共2个.
故选B.
12.命题p:“?x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“?x0∈[1,2],
log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是( C )
(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)
(C)(-1,1) (D)[-1,1]
解析:若p为真,则m<2x2-x在x∈[1,2]上恒成立,
令f(x)=2x2-x,x∈[1,2],
因为f(x)=2x2-x=2(x-)2-在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1,
所以m<1.
对命题q,因为x0∈[1,2]时,log2x0∈[0,1],
所以-log2x0∈[-1,0],
所以由log2x0+m>0得m>-log2x0,
若q为真,则m>-1,
因为p∧q为真,所以p真且q真,
所以
所以-1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若命题“?x0∈R,使得+(a-1)x0+1≤0”为真命题,则实数a的取值范围为 .?
解析:命题“?x0∈R,使得+(a-1)x0+1≤0”为真命题,则(a-1)2-4≥0,解得a≤-1或a≥3.
答案:a≤-1或a≥3
14.设命题p:<0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .?
解析:由<0,得(2x-1)(x-1)<0,解得由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得[x-(a+1)](x-a)≤0,即a≤x≤a+1,即q:a≤x≤a+1,
要使p是q的充分不必要条件,则
解得0≤a≤,
所以a的取值范围是[0,].
答案:[0,]
15.所给命题:
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题;②{0}=;③若p假q真,则“p且q”为假;④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件.
其中为真命题的序号为 .?
解析:对于①,原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”,因为对角线互相平分的四边形不一定是菱形,故错;对于②,{0}中有一个元素0,中一个元素都没有,故错;对于③,若p,q中只有一个是假,则“p且q”为假,故正确;对于④,满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形,等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°,故正确.
答案:③④
16.已知命题p:m∈R,且m+1≤0,命题q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题,则m的取值范围是 .?
解析:若命题p是真命题,则m≤-1;若命题q是真命题,则m2-4<0,解得-2p∧q为假命题时,m的取值范围为m≤-2或m>-1.
答案:(-∞,-2]∪(-1,+∞)
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+
b≤0有非空解集.
否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2-4b<0.
逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集.原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
18.(本小题满分12分)
写出由下述各命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题,并指出所构成的这些命题的真假.
(1)p:连续的三个整数的乘积能被2整除,q:连续的三个整数的乘积能被3整除;
(2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形.
解:(1)p或q:连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q:连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p:存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
因为连续的三个整数中有一个(或两个)是偶数,而另一个是3的倍数,所以p真,q真,所以p或q与p且q均为真,而非p为假.
(2)p或q:对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形.
p且q:对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形.
非p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
因为p假q假,所以p或q与p且q均为假,而非p为真.
19.(本小题满分12分)
设命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,
(1)p是q的什么条件?
(2)求实数a的取值范围.
解:(1)因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件,
其逆否命题是:q是p的必要不充分条件,
即p是q的充分不必要条件.
(2)因为|4x-3|≤1,所以≤x≤1.
解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1.
因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件,所以q是p的必要不充分条件,
即由命题p成立能推出命题q成立,但由命题q成立推不出命题p
成立.
所以[,1][a,a+1].
所以a≤且a+1≥1,得0≤a≤.
所以实数a的取值范围是[0,].
20.(本小题满分12分)
已知p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.
解:2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p:?x∈R,2x>m(x2+1)为真,则mx2-2x+m<0对任意的x∈R都成立.
当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当m≠0时,有所以m<-1.
若q:?x0∈R,+2x0-m-1=0为真,则方程x2+2x-m-1=0有实根,所以4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q为真,故p,q均为真命题.
所以所以-2≤m<-1.
所以实数m的取值范围为{m|-2≤m<-1}.
21.(本小题满分12分)
已知命题p:关于x的函数y=loga(x2-2ax+7a-6)的定义域为R;命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2-ax+4<0成立,若p或q为真命题,p且q为假命题.求实数a的取值范围.
解:命题p:关于x的函数y=loga(x2-2ax+7a-6)的定义域为R,则x2-2ax+7a-6>0恒成立,则Δ=4a2-4(7a-6)<0,解得a∈(1,6).
命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2-ax+4<0成立,
则Δ=a2-16>0,
解得a∈(-∞,-4)∪(4,+∞).
因为p或q为真命题,p且q为假命题;
所以命题p与命题q一真一假;
当p真q假时,a∈(1,4],
当p假q真时,a∈(-∞,-4)∪[6,+∞)
所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(1,4]∪[6,+∞).
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值
范围.
解:(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x),
即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m0>-4即可.
故存在实数m0使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m0>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),
若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,
只需m>f(x0)min.
又f(x0)=(x0-1)2+4,
所以f(x0)min=4,
所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列语句中,命题的个数为( C )
①|x+2|;②-5∈Z;③π?R;④{0}∈N.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:可以判断真假的陈述句是命题,①不能判断真假不是命题,②③④是命题.
2.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( D )
(A)若a,b与α所成的角相等,则a∥b
(B)若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
(C)若a?α,b?β,a∥b,则α∥β
(D)若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
解析:A中,a,b还可能相交或异面,所以A错误.
B.平行于平行平面的两条直线不一定平行,所以B错误.
C.根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知,当a?α,b?β,a∥b,则α∥β不成立,所以C错误.
D.根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知,若a⊥α,α⊥β,则a∥β或a?β,
又因为b⊥β,所以a⊥b成立,所以D成立.
3.原命题“若x≤-3,则x<0”的逆否命题是( D )
(A)若x<-3,则x≤0 (B)若x>-3,则x≥0
(C)若x<0,则x≤-3 (D)若x≥0,则x>-3
解析:原命题“若x≤-3,则x<0”则:逆否命题为:若x≥0,则x>-3.
故选D.
4.命题“?n∈N*,f(n)≤n”的否定形式是( C )
(A)?n∈N*,f(n)>n (B)?n?N*,f(n)>n
(C)?n∈N*,f(n)>n (D)?n?N*,f(n)>n
解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“?n∈N*,f(n)≤n”的否定形式为?n∈N*,f(n)>n.
故选C.
5.条件p:|x+1|>2,条件q:x>2,则﹁p是﹁q的( A )
(A)充分非必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:根据题意,|x+1|>2?x<-3或x>1,则﹁p:-3≤x≤1,又由题意,q:x>2,则﹁q为x≤2,
所以﹁p是﹁q的充分不必要条件.故选A.
6.已知命题p:x2>x是x>1的充分不必要条件;命题q:若数列{an}的
前n项和Sn=n2,那么数列{an}是等差数列.则下列命题是真命题的是( B )
(A)p∨(﹁q) (B)p∨q
(C)p∧q (D)(﹁p)∧(﹁q)
解析:对于命题p:x2>x,解得x>1或x<0,因此x2>x是x>1的必要不充分条件,因此p是假命题.
命题q: 若数列{an}的前n项和Sn=n2,则n=1时,a1=1;n≥2时,an=Sn-
Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时也成立.所以an=2n-1,因此数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2,因此是真命题.
所以只有p∨q是真命题.
故选B.
7.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( A )
(A)必要不充分条件 (B)既不充分也不必要条件
(C)充要条件 (D)充分不必要条件
解析:由题意得,
因为命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”与命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题,
所以判断命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的真假只要判断:
命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题的真假即可,
因为命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题,
所以命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”是假命题,
所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3.
同理“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,
所以命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题.
所以a+b≠3?a≠1或b≠2.
“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件.
故选A.
8.下列有关命题的说法正确的是( D )
(A)命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
(B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
(C)命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有x2+x+1<0”
(D)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
解析:对于A:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”.
因为否命题应为“若x2≠1,则x≠1”,故错误.
对于B:“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.
因为x=-1?x2-5x-6=0,应为充分条件,故错误.
对于C:命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有x2+x+1<0”.
因为命题的否定应为?x∈R,均有x2+x+1≥0.故错误.
由排除法得到D正确.
故选D.
9.下列说法错误的是( C )
(A)如果命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
(B)命题p:?x0∈R,+2x0+2≤0,则﹁p:?x∈R,x2+2x+2>0
(C)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是“若a,b都不是偶数,则a+b不是偶数”
(D)特称命题“?x∈R,使-2x2+x-4=0”是假命题
解析:A中﹁p是真命题,则p是假命题,p或q是真命题,所以q是真命题,故A正确.B中,特称命题的否定是全称命题,B正确.C中,命题的否命题应为“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数”,故C错误.D中,方程-2x2+x-4=0无实根,D正确.
10.命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C )
(A)a≥4 (B)a≤4 (C)a≥5 (D)a≤5
解析:若“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,则a≥(x2)max=4.所以a≥4.结合选项知,命题为真的一个充分不必要条件为a≥5.故选C.
11.以下四个命题中,其中正确的个数为( B )
①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2=0”;②“α=”是“cos 2α=0”的充分不必要条件;③若命题p:?x0∈R,+x0+1=0,则﹁p:?x∈R,x2+x+1=0;④若p∧q为假,p∨q为真,则p,q有且仅有一个是真命题.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:对于①,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故①错误;
对于②,当α=时,cos 2α=cos =0,充分性成立;
cos 2α=0时,α=+,k∈Z,必要性不成立,是充分不必要条件,故②正确;
对于③,命题p:?x0∈R,+x0+1=0,则??p:?x∈R,x2+x+1≠0,故③
错误;
对于④,当p∧q为假命题,p∨q为真命题时,p,q中有且仅有一个是真命题,故④正确.
综上,正确的命题序号是②④,共2个.
故选B.
12.命题p:“?x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“?x0∈[1,2],
log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是( C )
(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)
(C)(-1,1) (D)[-1,1]
解析:若p为真,则m<2x2-x在x∈[1,2]上恒成立,
令f(x)=2x2-x,x∈[1,2],
因为f(x)=2x2-x=2(x-)2-在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1,
所以m<1.
对命题q,因为x0∈[1,2]时,log2x0∈[0,1],
所以-log2x0∈[-1,0],
所以由log2x0+m>0得m>-log2x0,
若q为真,则m>-1,
因为p∧q为真,所以p真且q真,
所以
所以-1
13.若命题“?x0∈R,使得+(a-1)x0+1≤0”为真命题,则实数a的取值范围为 .?
解析:命题“?x0∈R,使得+(a-1)x0+1≤0”为真命题,则(a-1)2-4≥0,解得a≤-1或a≥3.
答案:a≤-1或a≥3
14.设命题p:<0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .?
解析:由<0,得(2x-1)(x-1)<0,解得
要使p是q的充分不必要条件,则
解得0≤a≤,
所以a的取值范围是[0,].
答案:[0,]
15.所给命题:
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题;②{0}=;③若p假q真,则“p且q”为假;④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件.
其中为真命题的序号为 .?
解析:对于①,原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”,因为对角线互相平分的四边形不一定是菱形,故错;对于②,{0}中有一个元素0,中一个元素都没有,故错;对于③,若p,q中只有一个是假,则“p且q”为假,故正确;对于④,满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形,等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°,故正确.
答案:③④
16.已知命题p:m∈R,且m+1≤0,命题q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题,则m的取值范围是 .?
解析:若命题p是真命题,则m≤-1;若命题q是真命题,则m2-4<0,解得-2
答案:(-∞,-2]∪(-1,+∞)
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+
b≤0有非空解集.
否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2-4b<0.
逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集.原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
18.(本小题满分12分)
写出由下述各命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题,并指出所构成的这些命题的真假.
(1)p:连续的三个整数的乘积能被2整除,q:连续的三个整数的乘积能被3整除;
(2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形.
解:(1)p或q:连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q:连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p:存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
因为连续的三个整数中有一个(或两个)是偶数,而另一个是3的倍数,所以p真,q真,所以p或q与p且q均为真,而非p为假.
(2)p或q:对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形.
p且q:对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形.
非p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
因为p假q假,所以p或q与p且q均为假,而非p为真.
19.(本小题满分12分)
设命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,
(1)p是q的什么条件?
(2)求实数a的取值范围.
解:(1)因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件,
其逆否命题是:q是p的必要不充分条件,
即p是q的充分不必要条件.
(2)因为|4x-3|≤1,所以≤x≤1.
解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1.
因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件,所以q是p的必要不充分条件,
即由命题p成立能推出命题q成立,但由命题q成立推不出命题p
成立.
所以[,1][a,a+1].
所以a≤且a+1≥1,得0≤a≤.
所以实数a的取值范围是[0,].
20.(本小题满分12分)
已知p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.
解:2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p:?x∈R,2x>m(x2+1)为真,则mx2-2x+m<0对任意的x∈R都成立.
当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当m≠0时,有所以m<-1.
若q:?x0∈R,+2x0-m-1=0为真,则方程x2+2x-m-1=0有实根,所以4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q为真,故p,q均为真命题.
所以所以-2≤m<-1.
所以实数m的取值范围为{m|-2≤m<-1}.
21.(本小题满分12分)
已知命题p:关于x的函数y=loga(x2-2ax+7a-6)的定义域为R;命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2-ax+4<0成立,若p或q为真命题,p且q为假命题.求实数a的取值范围.
解:命题p:关于x的函数y=loga(x2-2ax+7a-6)的定义域为R,则x2-2ax+7a-6>0恒成立,则Δ=4a2-4(7a-6)<0,解得a∈(1,6).
命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2-ax+4<0成立,
则Δ=a2-16>0,
解得a∈(-∞,-4)∪(4,+∞).
因为p或q为真命题,p且q为假命题;
所以命题p与命题q一真一假;
当p真q假时,a∈(1,4],
当p假q真时,a∈(-∞,-4)∪[6,+∞)
所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(1,4]∪[6,+∞).
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值
范围.
解:(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x),
即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m0>-4即可.
故存在实数m0使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m0>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),
若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,
只需m>f(x0)min.
又f(x0)=(x0-1)2+4,
所以f(x0)min=4,
所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).