人教版数学八年级上册
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
知识梳理 分点训练
知识点1 等边三角形的性质
1. 如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC的度数是( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
第1题 第2题
2. 如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是( )
A. 45° B. 55° C. 60° D. 75°
3. 如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝ ，∠CBD＝ .
第3题 第4题
4. 如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝ ．
5. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上.且CG=CD，DF=DE，则∠E= .
6. 如图所示，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.
求证：BF＝EF.
知识点2 等边三角形的判定
7. 下列说法不正确的是( )
A. 有两个外角为120°的三角形是等边三角形
B. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
D. 三个外角都相等的三角形是等边三角形
8. 如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是( )
A. △ACE≌△BCD B. △BGC≌△AFC
C. △DCG≌△ECF D. △ADB≌△CEA
9. 在△ABC中，∠A=∠B=60°，则△ABC的形状为 .
10. 在△ABC中，AB=AC，若使△ABC为正三角形，还应补充一个条件是 .
11. 如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.
求证：△ADC是等边三角形．
课后提升 巩固训练
12. 如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠的度数为( )
A. 25° B. 45° C. 35° D. 30°
第12题 第13题
13. 如图所示，△ABC为等边三角形，∠1=∠2，BD=CE，则△ADE是 三角形.
14. 如图，△ABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD，以AD为边作等边三角形ADE，连结CE，求证：AC＋CD=CE.
15. 如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连结点D，E，F，得到△DEF为等边三角形.
求证：△ABC为等边三角形.
16. 如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，
求证：△ABC是等边三角形．
17. 如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s.当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s).当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由.
拓展探究 综合训练
18. (1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)．求证：BE＝AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由．
图1 图2
参考答案
1. C
2. C
3. 90° 30°
4. 3
5. 15°
6. 证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD平分∠ABC. ∴∠DBE＝∠ABC＝30°. 又∵CE＝CD，∴∠E＝∠ACB＝30°. ∴∠DBE＝∠E. ∴DB＝DE. ∵DF⊥BE，∴DF为底边上的中线．∴BF＝EF.
7. C
8. D
9. 等边三角形
10. ∠A = 60°(答案不唯一)
11. 证明：∵DC＝DB，∴∠B＝∠DCB＝30°，∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°. 又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．
12. C
13. 等边
14. 证明：∵△ABC和△ADE都为正三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD.即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE. ∴BD=CE.∵BD=BC＋CD，BC=AC，∴CE=AC＋CD.
15. 证明：∵BF=AC，AB=AE，∴FA=EC.∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE.又∵AE=CD，∴△AEF≌△CDE，∴∠FEA=∠EDC，∵∠BCA=∠EDC＋∠DEC=∠FEA＋∠DEC=∠DEF，△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60°，∴∠BCA=60°.同理可得∠BAC=60°，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形.
16. 证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°. 又∵∠BOE＝∠COD，∴∠EBO＝∠DCO. ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形．∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．
17. 解：△BPQ是等边三角形. 当t=2时，AP=2×1=2cm，BQ=4cm，∴BP=AB－AP=6－2=4cm，∴BQ=BP，又∠B=60°，∴△BPQ是等边三角形.
18. 解：(1)证明：过点D作BC的平行线交AC于点F. ∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°. ∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠FDC＝∠DCE. ∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF，∠AFD＝60°. ∴∠DFC＝180°－60°＝120°. ∵∠EBD＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠EBD. ∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD. ∴△DBE≌△CFD(AAS)．∴BE＝DF. ∴BE＝AD.
