第四章 4.1.1圆的标准方程
学习目标
1．掌握圆的标准方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程；2. 会用待定系数法求圆的标准方程.
自学探究
1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
什么叫圆？
2.(1)如图设M(x,y)为圆C上任意一点，圆心C（a,b）,圆的半径为r,那么点M满足的条件是什么?
圆心为，半径为的圆的标准方程为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
圆的标准方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
3.完成课本第120页练习1
变式1.说出下列圆的圆心和半径：
(1)(x-3) +(y-2)=5；(2)(x+4) +(y+3) =7；(3)(x+2)+ y=4 (4)x2+y2=3
变式2.方程表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一个圆 D．半个圆
4.阅读例1并思考点与圆的位置关系有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？
完成课本第121页练习2、3
5.阅读课本第119页例2, 121页练习4 ，124页习题A组3,4，
6.阅读课本第120页例3，比较例2和例3，归纳求三角形外接圆方程的方法
第四章 4.1.2圆的一般方程
学习目标
1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化；
2. 会用待定系数法求圆的一般方程,体会代入消元的思想；
3. 会用坐标法求点的轨迹方程。
自学探究
1．圆的一般方程：圆的标准方程的展开式为：_________________________________
令D=2a, E=2b， F= ，上式可写成 ①
这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
将上方程配方，得 ②
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
（1）当时， .
（2）当时， .
（3）当时， .
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当________________________时，它表示的曲线才是圆，圆心为 半径为___________
我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程。
2．思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？
（1）圆的一般方程的特点： 、 的系数相同，没有 这样的二次项.
（2）圆的标准方程则指出了 与 ，几何特征明显.
3.阅读课本第122页例4, 完成下列题目
课本123页1，2，3 ； 124页1，2，4，6
4.(1)方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值依次为（ ）
（A）2、4、4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-4
(2)已知方程x2+y2+2x+2y+ k =0表示圆，则k的取值范围____________________
5.阅读课本第122页例5，完成下列题
124页B组1，2，3
4.1.1 圆的标准方程
一、温故互查：
1、两点间距离公式：
2．（1）在平面直角坐标系中，如何确定一条直线呢？
（2）在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
首先回忆一下初中讲过的一个圆最基本要素是 和
二、设问导读
1、如图，在直角坐标系中，圆心点A的位置用坐标(a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意一点M(x, y)与圆心
A (a,b) 的距离．符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
2.则点M、A间的距离为：___________________________________________
即：
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程
【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.
减号 是________ 平方
是_______________
是_______________
的系数都是____
探究一 探究圆的标准方程
写出下列圆的圆心坐标和半径。
方程 圆心坐标 半径 方程 圆心坐标 半径
__________ ________ __________ ________
__________ ________ __________ _____ ___
___________ _________ ___________ ________
总结： 特别地，当时，圆的方程变为________________________
根据下列条件，写出圆的标准方程。
圆心在，半径长为4； __________________________
圆心在，半径长为； __________________________
圆心在，半径长为5； __________________________
(4)经过点P(5,1)，圆心点C(8,) _________________________________
探究二 如何确定点与圆的位置关系？
点在圆上等价于 ；
点在圆内部等价于 ；
点在圆外部等价于 ．
写出以点A(2,)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,)，N(2,)，P(10,)与该圆的位置关系．
已知点在圆上，求的值．
探究三 圆的标准方程的求解
阅读第119页例2、例3，完成下列练习
1.在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程.
三、自学检测：
课本第120页练习1、2、3、4
四、巩固训练：
1．圆的圆心和半径分别为( )
A． B． C． D．
2．已知一圆的圆心为点A(2,)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( ).
A．13 B．13
C．52 D．52
3．直线将圆平分，则（ ）。
A．13 B．7 C．-13 D．以上答案都不对
4．圆心是，且经过原点的圆的方程为( )．
A． B． C． D．
五、拓展延伸：
已知点．(1)求以为直径的圆的标准方程；(2)已知点，若点在圆上，求的最大值和最小值．
4.1.2圆的一般方程
自学导读：
问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ，
问题2：把圆的标准方程展开，得 ，
令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,
结论：任何一个圆可以写成下面的形式x2+y2+Dx+Ey+F=0
问题3：是不是任何一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？
把方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得：
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解x= ， y= ，表示一个点（ ， ）.
（3）当D2+E2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.
新课：
1:圆的一般方程的定义：
2：圆的一般方程的特点：x2与y2系数相同并且不等于0，没有xy这样的二次项，D2+E2-4F>0
练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(1) x2+2y2-6x+4y-1=0 (2) x2+y2-3xy+5x+2y=0 (3) x2+y2-2x+4y-4=0
(4) x2+y2-12x+6y+50=0 (5) 2x2+2y2-12x+4y=0
3：例题讲解
阅读第122页例4、例5完成下列习题
1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程
小结：求圆的方程的方法
2、如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的方程是什么？
小结：求轨迹方程的方法
三、自学检测
1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
① x2+y2-6x=0 ② x2+y2+2by=0 ③ x2+y2-2ax-2ay+3a2=0
2..判断下列方程分别表示什么图形：
① x2+y2=0 ② x2+y2-2x+4y-6=0 ③ x2+y2+2ax-b2=0
课本第123页练习1.2.3
四、巩固训练
课本第124页习题4.1 A组 1.、2、3、4
五、拓展延伸
课本第124页习题4.1 B组 2、3
课堂小结
（1）圆的一般方程的定义及特点
（2）圆的一般方程与圆的标准方程的联系
（3）用待定系数法，求圆的一般方程
（4）用相关点法，求点的轨迹方程
4.2.1直线与圆的位置关系
年级：高一
一、温故互查：
点P(x0,y0)到直线:Ax+By+C=0的距离公式：d=_____________________________
三、设问导读
认真研读教材126---128页，完成下列问题.
问题1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
问题2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？
问题3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
问题4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？
典型例题：
例1.已知直线和圆心为C的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。
例2.已知过点的直线被圆，所截得的弦长为，求直线的方程。
小结：直线被圆所截得的弦长公式：
三、自学检测：
1.已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程
2.判断直线与圆的位置关系
3. 已知直线，圆C：。试判断直线与圆C有无公共点，有几个公共点.
四、巩固训练：
1.求下列条件确定的圆的方程
（1）圆心为,且与直线相切；
（2）圆心在轴上，半径长是5，且与直线相切.
2.已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
3．求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程
4.2.2圆与圆的位置关系
一、温故互查：
直线与圆的位置关系是如何判断的？
方法一：代数法： 。
（1）如果有解，则直线与圆，有公共点。
①方程组有两组实数解时，直线与圆
②方程组有一组实数解时，
（2）如果无解，则直线与圆， ，此时，直线与圆
方法二：几何法： 。
（1）如果 d < r ，则：直线与圆 ；
（2）如果 d > r ，则： ；
（3）如果 d = r ，则： 。
二、设问导读：
1、初中学过的圆与圆的位置关系有哪些，完成下表：
圆与圆的位置关系
图象
名称
交点
距离关系
2、类比直线与圆的位置关系，你能得出圆与圆的位置关系的判断方法吗？
方法一：代数法： 。
（1）如果有解，则两圆，有公共点
①方程组有两组实数解时，两圆
②方程组有一组实数解时，
（2）如果无解，则两圆， ，此时，两圆
方法二：几何法：
（1）如果 d < R - r ，则：
（2）如果 d = R - r ，则：
（3）如果 R - r < d < R - r ，则：
（4) 如果d = R + r , 则：
（5) 如果d > R + r , 则：
思考讨论：在判断两圆的位置关系时，“代数法”与“几何法”的判断效果相同吗？
【典型例题】
已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系？
解法一：
解法二：
变式一：求两圆公共弦所在直线方程
方法小结：
变式二：求两圆的公共弦长
方法小结：
变式三：已知一个圆的圆心为M（2,1）且与圆C：x2＋y2－3x=0相交于A、B两点，若圆心M到直线AB的距离为，求圆M的方程。
方法小结：
三、自学检测：
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
2.圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标为( )
(A)(1，0)和(0，1) (B)(1，0)和(0，-1) (C)(-1，0)和(0，-1) (D)(-1，0)和(0，1)
3.若圆x2+y2= 4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 ，则a=_____.
4.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=10关于直线对称，则直线的方程为______.
四．巩固训练：
课本第133页习题4.2 A组 7、9、10、11
§4.3 空间直线坐标系§4.3.2空间两点间的距离公式
年级：高一
一、预习目标
1.用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法．
2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．
二、预习内容（预习教材P134~ P138，回答下列问题）
1．如何确定一个点在一条直线上的位置？ 。
2． 如何确定一个点在一个平面内的位置？ 。
3.从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x轴,y轴,z轴.这样就建立了 ，点O叫作 ，x轴、y轴、z轴叫作 ，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 , , .
4.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为 。
5.空间任意点A的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点A在此 ，记作 。其中x 叫做点A的 ，y叫做点A的 ，z叫做点A的 。
6.空间两点间的距离公式 。
三、 学习过程
学习探究1.
问题1．怎么样建立空间直角坐标系？
问题2．什么是右手直角坐标系？
问题3．什么是空间直角坐标系，怎么表示？
思考：坐标原点O的坐标是什么？请你写出正方体各顶点的坐标?
讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程
学习探究2.
问题1．类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点，间的距离公式吗？
新知．空间中任意一点与点之间的距离公式
问题2．如果是定长，那么表示什么图形？
注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中
可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长这一依据.
三、小试牛刀
1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）.
A．中的位置是可以互换的
B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系
C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分
D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同
2. 已知点，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）.
A．B．C．D．
3.坐标原点到下列各点的距离最小的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：
A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．
典型例题
例1在长方体中，写出四点坐标.
讨论：若以点为原点，以射线方向分别为轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？
例2 为正四棱锥，为底面中心，若，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.
例3、如图，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长均为2，试建立适当坐标系，确定各顶点的坐标。
?
例3 求点P1(1, 0, -1)与P2(4, 3, -1)之间的距离及的中点坐标。
例4在轴上，求与两点和等距离的点.
例5在空间直角坐标系中，已知的顶点分别是.求证：是直角三角形.
三．学习小结
1．空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.。求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.
2．关于一些对称点的坐标求法 关于坐标平面对称的点（ ）；
关于坐标平面对称的点（ ）； 关于坐标平面对称的点（ ）； 关于轴对称的点（ ）； 关于对轴称的点（ ）；
关于轴对称的点（ ）
3．空间两点间的距离公式，如果，，则两点间的距离为 .
