§2.1平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；
2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念.
3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：
复习：有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；那这样的量叫什么呢？
（二）自主探究：（预习教材P74-P77）
探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有 ，又有 的量叫做向量.
问题1：数量和向量的异同点有哪些？
探究二：向量的表示法
问题2：向量有几种表示方法？
⑴我们常用 来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
⑵以为起点，为终点的有向线段记作 ，线段的长度称为模，记作.有向线段包含三个要素：
⑶有向线段也可用字母如， ，表示.
探究三：几个特殊的向量
零向量：长度为 的向量；单位向量：长度等于 的向量.
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量，平行，记作：. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，
平行向量也叫做共线向量
问题3：如何理解零向量的方向？
探究四：相等向量：长度相等且 的向量叫做相等向量，用有向线段表示的
向量与相等，记作：.
二、合作探究
1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
⑴，点在点的正北方向；
⑵，点在点南偏东方向.
2、如下图，设是正六边形的中心，分别写出图中与，
， 相等的向量.
变式：（1）与相等的向量有哪些？
（2）与相等吗？与相等吗？
三、自学检测
1、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.
其中不是向量的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、下列说法中正确的有（ ）个
⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；
⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3、下列说法中正确的是
①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则.
4、下列说法中正确的有
①向量可以比较大小； ②零向量与任一向量平行；
③向量就是有向线段； ④非零向量的单位向量是.
5、如右图所示，、、分别是正的各边中点，则在以
、、、、、六个点中任意两点为起点与终点的向量中，
找出与向量平行的向量.
四、巩固训练（A组必做，B组选做）
A组：1、下列说法正确的是（ ）.
A．向量与向量的长度不等 B．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同
C．零向量没有方向 D．任一向量与零向量平行
2、在四边形中，，则相等的向量是( ) .
A.与 B.与
C.与 D.与
3、边长为3的等边的底边上的中线
向量的模为 .
4、四边形和都是平行四边形.
⑴与向量相等的向量有哪些？
⑵若，则向量的模等于多少？
B组：1、若，且，则四边形的形状为（ ）.
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形
2、下列命题中，说法正确的有
①若，，则； ②若，，则； ③若，则或；
④若，则,,,是一个平行四边形的四个顶点.
3、在正方体中，与平行的向量有哪些？
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
学习目标
1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景。
2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示，理解向量相等和向量共线的含义。
学习任务 阅读课本74-76页，完成下列任务
一、向量的基本概念
1.数量与向量有何区别？
2.如何表示向量？
3.有向线段和线段有何区别和联系？有向线段的三个要素是什么？
4.零向量：__________________________，记作：_____；单位向量：_____________________________.
5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6.有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？我们规定________与任一向量平行.
7.如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
8.什么是共线向量？向量/与/是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上吗？
9.完成课本77页练习2，3，4 习题3，4，5，6
二、巩固训练
判断：（1）平面内的单位向量只有一个. ( )
（2）模相等的两个平行向量是相等的向量. （ ）
（3）两个相等向量的模相等. （ ）
（4）相等向量一定是共线向量. （ ）
（5）共线向量一定是相等向量. （ ）
（6）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量.（ ）
（7）已知∥，那么向量，的方向相同或相反. （ ）
（8）若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线． （ ）
（9）任何两个向量必可比较大小. （ ）
（10）若四边形ABCD是平行四边形，. ( )
§2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案
年级：高一
温故互查
向量有关概念
向量是 的量. 的向量相等. 因此，我们研究的向量是与 无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置.
二、设问导读
引入：若表示“向西走2km”，表示“向北走2km”，则表示向哪个方向走了多少米？如何解决呢？
问题1.向量加法的意义
1．同学们你能得到下列问题中位移的和吗？
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
2.我们由向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算，物理中位移、力的合成可看作向量的加法，也就是向量的和，同学们你知道求向量的和有几种方法吗？
（1）三角形法则： （2）平行四边形法则：
3.同学们你能用一句话总结出三角形法则和平行四边形法则的各自特点吗？
4.任意两个向量求和都可以用三角形法则和平行四边形法则吗？
5.同学们通过前面的学习，你能得到|+|、||、||三者之间的关系吗？
6.两个向量的和结果还是向量吗？
问题2.向量加法的运算律
我们知道，数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算,类似的向量的加法是否也有运算律呢？若有的话，你能说出有哪些运算律吗？把你得出的结论写出来.
三、自学检测
1.课本84页3.4
2．在△中，分别的中点，点是△的重心，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知是平面上的三点,直线上有一点,满足,则等于( )
A. B. C. D.
4. 若 表示“向东走8 km”， 表示“向北走8 km”，则=______；的方向是_______.
5.化简：
四、巩固训练：
练1根据图示填空：（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ．
练2:化简：
（1）= ； （2） ；
多边形法则： ；
五、拓展延伸
长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，一艘船从长江南岸A点出发，以5km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km / h。
试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度
?（2）?求船的实际航行速度的大小（保留两个有效数字）和方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）。
变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
§2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案
温故互查
向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
二、设问导读
探究：向量减法——三角形法则
问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？
1、相反向量：与 的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 .
问题2：任一向量与其相反向量的和是什么？
如果、是互为相反的向量，那么 ， ， .
向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加
上这个向量的相反向量，即是互为相反的向量，那么= ____________，=____________，=____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考的作图方法.
3、已知，，在平面内任取一点O，作，则__________=，即可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量的终点到的终点作向量，那么所得向量是________。这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.
三、自学检测
1.（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a(b、c(d.
解：
2.平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.
解：
变式一：当a， b满足什么条件时，与垂直？
变式二：当a， b满足什么条件时，| |= ||？
变式三：与可能是相等向量吗？
四、巩固训练：
1.Ｐ87页：1、2题
2.判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有++=0.
(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点
五、拓展延伸
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则（ ）
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：?
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .?
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
【学习目标】
1、掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2、掌握实数与向量的积的运算律；
3、理解向量共线定理，能够运用定理解决共线等问题。
【学习过程】
一、知识链接
已知非零向量，作出和。
上题结果可记为： _________________=________________
_________________=________________
二、新课导航
探究任务一：相同向量相加后，和向量的长度与方向有什么变化？
（1）与方向相与长度分别有什么关系?
（2）与方向与长度分别有什么关系?
问题:实数λ与向量的乘积如何表示?它是向量还是数量,它与有怎样的关系?你从哪些方面进行与比较?
数乘定义：
探究任务二：运算律
练习2：
(1) 根据定义，求作向量和(为非零向量)，并进行比较。
你能得到什么结论：_____________
(2) 已知向量、，求作向量和，并进行比较。
结论： _____________
归纳得：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律：
第一分配律：
第二分配律：
练习3：计算(口答)
(1)
(2)
(3)
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
探究任务三：向量共线定理
问题① 如果 , 那么，向量与是否共线？
问题② 如果非零向量与共线， 那么，？
三、典型例题
例1、如图，已知、，试判断与是否共线?
解：
变式:在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？
例2、已知任意两非零向量、，试作, ，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：作图如右（过程略）
举一反三：1、点C在线段AB上,且=,则=___, =___.
2、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C三点共线。
四、学习小结
五、课后作业：P903练习:3、4、5、6 P91A组:9
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2.理解两个向量共线的等价条件，能运用向量共线条件判定两向量是否平行。
3.体会类比迁移的思想方法。
自学探究
问题1.已知向量为非零向量，试用作图方式表示
（1）＋＋与； （－）+（－）+（－）与；
★（2）与； 与； 与.
由（1），你能得出与的长度和方向有什么规律吗？
由（2），你能得出向量满足什么运算律吗？运算律的几何意义是什么呢？
★ 问题2.引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？你能得出怎样判断向量共线吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
问题3.则与共线吗？与共线，一定有吗?
【技能提炼】
1.计算（1） （2） （3）
总结:向量数乘运算与多项式运算的异同：
2.如图：已知任意两个非零向量，试作=，=, =,你能判断三点之间的位置关系吗？为什么？
变式：已知，试判断与是否共线？
总结:向量共线定理的特点：
3.如图：平行四边形的两条对角线相交于点，且，你能用表示和吗？
必做题1,2,3,4,5,6 习题2.2 A组9,10,11,12,13
变式反馈
1.下列各式中不表示向量的是：（ ）
A、 B、 C、 D、
2.化简的结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
3.若为平行四边形的中心，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
4.若与的方向相反，且，则 .
5.设是两个不共线的非零向量，若向量
试证:三点共线.
6.若，其中为已知向量，则未知向量= .
7.已知向量的方向是东南方向，且=4，则向量-2的方向是 ， .
2.2.1向量加法运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例，掌握向量加法运算，并理解其几何意义。
2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，
体会数形结合、类比的数学思想。
学习任务 阅读课本74～76页，回答下列问题．
1．什么是向量加法？向量加法的三角形法则是什么？(作图说明)
练习1． 课本84页1题 练习2． 课本91页2题
2．向量加法的平行四边形法则是什么？(作图说明)
练习3． 课本84页 2题
★ 总结:向量加法的三角形法则和平行四边形法则的要点是什么？
3．完成课本82页的思考与探究，并归纳| a＋b |与| a |，| b |的关系.
(1)当与共线同向时，与________同向，且_______;
当与共线反向时，若，与________同向，且_______;
若，与________同向，且_______;
(2)当与不共线时，_______.
练习4．下列各式正确的是 （ ）
A．若a，b同向，则有| a | ＋ | b | = | a＋b |
B．a ＋ b 与| a | ＋ | b |表示的意义相同
C．若a，b不共线，则有| a ＋ b | ＞ | a | ＋ | b |
D． | a | ＜ | a ＋ b | 恒成立
练习5．已知，则的取值范围为
4.完成课本82页的探究，并归纳向量的加法有那些性质？
练习6． 课本84页 3，4题 课本91页4（1）（2）（3）
5.在平行四边形中， 等于（ ）
A、 B、 C、 D、
6.若表示向东走，表示向北走，则= km,的方向是
2.2.2向量减法运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例，掌握向量减法运算，并理解其几何意义。
2.了解相反向量的概念，理解向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，领会化归的数学思想。
学习探究 阅读课本85页，完成下列问题．
1.什么是相反向量?
2.向量的减法运算是如何定义的?
3.向量的减法的几何意义是什么？
4.认真阅读86页例3，例4
★ 总结:向量减法的要点是什么？
5.完成课本87页练习1，2 完成课本91页4（4）（5）（6）（7）
变式反馈
1.在中，，，则等于( )
A、 B、 C、 D、
2.化简得 ( )
A、 B、 C、 D、
3.设表示向西走，表示向北走，则表示向（ ）
A、南偏西走 B、北偏西走
C、南偏东走 D、北偏东走
4.向量满足，则的最大值为 ，最小值为 .
5.D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是（ ）
6.如图，点是的重心,则为 ( )
2.2.3向量的数乘运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2.理解两个向量共线的等价条件，能运用向量共线条件判定两向量是否平行。
学习任务 认真阅读课本87页88页，完成下列问题
1.什么是向量的数乘运算？有何规定？
2.完成课本90页1，2，3
3.向量的数乘运算有哪些运算律？
4.认真阅读课本88页例5，完成90页5题
5.认真阅读课本88页---89页，回答以下问题
（1）什么是共线向量？
（2）如果b=a,（a0）那么a与b共线吗？反之，成立吗？
（3）归纳共线定理
6．完成下列各题
（1）完成课本90页4
（2）分别为的边和中点，求证：与共线，并将用表示
（3）已知向量a＝2e1－2e2，b＝－3（e2－e1），求证：a与b是共线向量．
7.认真阅读课本89页例6，完成下题
已知e1e2 e1＋e2，求证：M，P，Q三点共线．
8.认真阅读课本页例7，完成课本92页11，12题
9.完成课本92页B组3，4，5
2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示
一、【温故互查】
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________
2．怎样理解向量的数乘运算λ
（1）模：|λ|= ______；（2）方向：λ>0时λ与方向_______；λ<0时λ与方向_______；λ=0时λ=
3. 向量共线定理 ：__________________________________________________________
二、【设问导读】
探究（一）：平面向量的基本定理
探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2.
探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、来表示向量,那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢?
结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________
平面向量的基本定理：如果、是同一平面内的两个__________,那么对于这一平面内的任意向量,__________
λ1、λ2,使________________.
注意：1 、、必须是 的向量，叫做 。
2、λ1，λ2是被，， 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;
4、由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解; 5、基底给定时,分解形式唯一.
6、λ1 =0时 ；λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。
【练1】如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
探究（二）：平面向量的坐标表示
探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？
1、非零向量、的夹角的定义： _________________________________ 。
当=0o时，、 当=90o时，、 记做 当=180o时，、
2、两非零向量的夹角的范围：在区间[0°,180°]内.
探究4：阅读课本：p95下半页内容，回答问题
（1）、对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
1、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
2、在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数 表示，3、每一个向量可否也用一对实数来表示？
（2）、向量的坐标表示的定义：分别选取与轴、轴方向相同的 向量，作为 ，对于任一向量，，（），实数对叫 ，记作 其中叫 ，
叫 。
说 明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；（2）相等的向量的坐标 ；
（3）（ ， ），（ ， ），；
（4）直角坐标系中点A、向量、有序数（x,y）有什么关系？从原点引出的向量的坐标就是 。
平面向量的坐标表示及其意义：在平面直角体系中，每一个向量可用一个有序实数对唯一表示，可以把几何问题代数化，把向量问题转化为数量问题
【练3】如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标.
三、当堂检测
1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
2.已知向量 ＝-2， ＝2+，其中、不共线，则+与 ＝6-2的关系（ ）
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.设与是两个不共线向量, =3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.
4．已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
5．设是的重心.若，，试用，表示向量.；
2.3.1平面向量的基本定理
一．复习回顾
1.向量加法和减法有哪几种几何运算法则？
2.实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：
（1）|λ|=
（2）λ>0时λ与方向 ；λ<0时λ与方向 ；λ=0时λ=
3. 向量共线定理： 向量与非零向量共线则：有且只有一个非零实数λ，使 .
二、学习探究
（一）平面向量的基本定理
探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2.
探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、来表示向量,那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢?
认真阅读课本P93—P94完成下列任务
设、是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量
1.如图，
(1)由于，所以存在实数，使得___________
由于，所以存在实数，使得__________
(2)根据向量加法的平行四边形法则，______+______ =______+______
（3）结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________
2.由此可得【平面向量基本定理】:
如果、是同一平面内的两个__________,那么对于这一平面内的任意向量,
_________λ1、λ2,使________________.
注意：（1）、必须是 的向量，叫做 。(2) 基底不惟一，关键是 ；
由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被唯一确定的
3.探究体验
选择基底向量
如图1，在中，N是
的边上的点，并且BN:BA=3:5，
若要表示向量，可以
使用哪两个向量做基底？
(图1)
（2）用基底表示向量 (3)用基底表示向量
练习1.在（ ）（ ）
练习2. 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
向量的夹角
认真阅读课本P94完成下列任务
向量夹角的定义是什么？
向量夹角的范围是什么？
当θ=0°时, 与________;当θ=180°时, 与________反向. 如果与的夹角是90°,我们说与______
练习3. .
2.3.3《平面向量的坐标运算》导学案
【学习目标】
1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；
2. 体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：
知识回顾：
(1)向量是同一平面内两个相互垂直的单位向量，且方向分别与x轴y轴方向相同，为这个平面内任一向量，则向量可用表示为 。也可用坐标表示为 。
如： = 。 。= 。
（二）自主探究：（预习教材P96—P98）
探究：平面向量的坐标运算
问题1：已知，，为一实数，你能用单位向量来表示，，吗？
=___________________ _。=_________________。=___________________
问题2：已知，，你能用坐标来表示，，的坐标吗？
=_________________ _。=__________________。=____________________
这就是说，两个向量和（差）的坐标等于________________________________________________ ____。
实数与向量的积的坐标等于___________________________________________________________________________。
问题3：如图，已知，，则怎样用坐标表示向量呢？
则=__________________ = ___________________
即一个向量的坐标等于此向量的有向线段
的__________________________________________________________________。
问题4：如图（问题3）
(1)向量的坐标为 是不是只表示这一条向量呢？若不是,说明理由?
(2)你能在上图中标出坐标为的P点吗？
(3)标出P点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？
二、例题解析
例1. 已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例2．已知平行四边形ABCD的顶点,,,求顶点D的坐标
三、自学检测（A组必做，B组选做）A组：
1.已知向量的坐标，求，的坐标。
(1) (2)
(3) (4)
2.已知，求
2.已知A,B两点坐标，求的坐标。
（1）A(3，5) , B(6，9) (2) A(-3,4) , B(6，3) （3）A(0，3) , B(0，5) (4) A(3, 0) , B(8，0)
3.已知求点A的坐标。
B组：
1. 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，点的坐标为，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量
（1）求线段BD的中点M的坐标（2）求的坐标。
四、巩固训练
课本101页习题2.3 A组 1.2.4
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
温故互查
共线向量的条件
二、设问导读
思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？
解：设=(x1, y1) =(x2, y2)（ (）
注意：1(消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵(，∴x2, y2中至少有一个不为0.
2(充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0.
3(从而向量共线的充要条件有两种形式：
三、自学检测
1. 已知，，且，求．
变式训练1：已知平面向量 ， ，且，则等于_________.
2: 已知，，，求证:、、三点共线．
变式训练2：若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为_________.
3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
四、巩固训练：
1、已知=+5，=－2+8，=3（－），则（ ）
A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线
2、若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为________.
3、已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b等于（ ）
A.(7,1) B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1)
4、已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D点的坐标是（ ）
A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2)
5、若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（ ）
A.1 B.-2 C.0 D.2
五、拓展延伸
1、已知A、B、C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为（ ）
A. -2 B. 9 C. -9 D. 13
2、若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且=2,则x=_______,y=________.
3、已知ABCD中,=(3,7), =(-2,1),则的坐标(O为对角线的交点)为_________.
4、向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A、B、C三点共线?
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算
学习目标
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。
学习任务：
平面向量的正交分解：
阅读课本94-95页，回答下列问题
1、什么是正交分解？
2、观察右图，,完成下列问题:
(1)向量与向量共线，则存在唯一实数x，使得;
(2)向量与向量共线，则存在唯一实数y，使得;
(3)由平行四边形法则，.
3、阅读课本第95-96页，完成下列问题
向量的坐标表示的定义：分别选取与轴、轴方向相同的 向量，作为 ，对于任一向量，
____________一对实数x、y，使得，（），实数对叫___________，记作_________
其中叫 ，叫 。
说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；
（2）相等的向量的坐标 ；
（3）（ ， ），（ ， ），；
（4）直角坐标系中点A、向量、有序数（x,y）有什么关系？从原点引出的向量的坐标
就是 。
(二)平面向量的坐标运算
1.阅读课本第96页，完成问题
已知，则
(1)____________________,____________________(用坐标表示)。
(2)____________________()(用坐标表示)。
2.阅读课本第97页例4，完成课本第100页练习1，2；课本第101页习题A组2。
3.若A点坐标为，B点坐标为，O为坐标原点，则
(1)=___________,=___________,。
(2)若A点坐标为(-1，4)，B点坐标为(2，1)，则。
(3)完成课本第100页练习3；课本第101页习题A组1。
3.阅读课本第97页例5，；课本第101页练习6,7，习题A组3,4,7，B组1。
4.已知点A（2,3），B（5,4），C（7,10）.若试求为何值时，
（1）点P在第一、三象限角平分线上；（2）点P在第三象限内.
2.3.4平面向量共线的坐标表示
学习目标
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2.学会将几何问题转化为代数问题，从而体会转化及数形结合的数学思想。
自学探究：
1.你还记得向量共线定量吗？若，则怎样用坐标表示两个共线向量？
2.阅读课本第98页，完成下列任务：
(1)若,，则；
(2)阅读课本第98页例6，完成100页练习4,101页A组5,6
(3)阅读课本第98页例7,完成101页B组2
★ 总结：证明A,B,C三点共线的方法是什么？
技能提升
1.已知= (4，2)，= (6，y)，且∥，求y.
2.设向量= (1，2)，=（2，3），若向量与向量= 共线，求.
3.已知，若与平行，则的值为 。
4.若向量则当= 时与共线且方向相同。
5.已知向量则A、B、C三点共线则为（ ）
A、 B、 C、 D、
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
学习重点：平面向量数量积及运算规律.
平面向量数量积的应用
预习案：
回忆上节课所学知识思考
问题1 ： 什么是与的数量积（内积）？与的数量积的公式中、、各是什么意思？＝0时有什么重要结论？
阅读课本P106—107思考
问题2： 两个非零向量＝(x1,x2), ＝(x2,y2),怎样用与的坐标表示数量积·呢？
问题3： ＝(x,y)，如何计算向量的模||呢？
问题4：A(x1,x2),B(x2,y2)，如何计算向量的模，也就是两点A、B间的距离呢？
问题5 已知、都是非零向量，＝(x1,y1), ＝(x2,y2),如何判定⊥或计算与的夹角＜,＞呢？
问题6 已知、都是非零向量，＝(x1,y1), ＝(x2,y2),如何判定∥或计算与的夹角＜,＞呢？
探究案
例题1、已知求、·、的值。
例题2、在△ABC中，＝(2,3)，＝(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。
例题3、已知，当k为何值时，
（1）垂直？
（2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？
本堂小结：
两个非零向量＝(x1,x2), ＝(x2,y2)的数量积·＝_______________或_____________.
两个非零向量＝(x1,x2), ＝(x2,y2)的夹角的余弦值＝____________或_____________.
3、两个非零向量＝(x1,x2), ＝(x2,y2)垂直，则_____________或_____________.
4、两个非零向量＝(x1,x2), ＝(x2,y2)平行，则_____________或______________.
当堂检测：
1、已知则__________。
2、则_______ _______
3、设＝(2,1),＝(1,3),求·及与的夹角。
4、已知向量＝(－2,－1),＝(λ,1)若与的夹角为钝角,求λ取值范围。
课本好题: 1、下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A、＝(0,0) ,＝(1,－2) B、＝(－1,2) ,＝(5,7)
C、＝(3,5) ,＝(6,10) D、＝(2,－3), ＝(,－)
2、已知＝3, ＝(1,2),且∥,求的坐标?
3、已知＝(4,2),求与垂直的单位向量的坐标.
平面向量数量积第二课时
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算。
2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。
复习引入
1.向量的数量积.
2.分别表示与x轴,y轴同向的单位向量
(1)与的夹角为_________,=_______;同理=__________;
(2)与的夹角为_________,=_______;
(3)如果，则的坐标表示为.
学习探究
1.阅读课本第106页，完成下面的问题：
(1)若，则;
(2)若，则，;
(3)设，若;
(4)设,则，，
,
.
2.阅读课本第107页例6，完成练习1，2.
3.已知， 求：
（1）； （2）与的夹角； （3）在方向上的投影.
4.阅读课本第106页例5，完成课本第108页A组5，9，11.
技能提升
1.已知，，若，则实数的值是 .
2.已知，若，，则实数的值是_______,实数n的值是 .
3.已知，，若与垂直，则实数 .
4.若，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
平面向量的数量积第一课时
学习目标
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
2.理解平面向量的数量积与向量投影的关系，体会类比的数学思想和方法。
一、复习回顾：
两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量与，作＝，＝，则___________叫与的夹角.
说明：（1）当θ＝0时，与方向_______；（2）当θ＝π 时，与方向_______；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是________.范围是0(≤(≤180(
二．学习探究
阅读课本103页完成下列任务
1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，
与的数量积(= ________________.（其中0≤θ≤π）.
并规定：向量与任何向量的数量积为___.
阅读课本104页例1，完成106页练习1，2 108页习题A组2，6
探究：（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？ 它的符号什么时候为正？ 什么时候为负？
（2）两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（3）在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；
但是在数量积中，若(，且(=0，能不能推出=？
（4）已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c
但是在数量积中.(=(能不能推出= ？
（5）在实数中，有(a(b)c = a(b(c)，但是(()( ( ( (()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
3．“投影”的概念：作图
定义：__________叫做向量在方向上的投影.向量在方向上的投影为_________投影是一个数量，不是向量；
当(为锐角时投影为___值； 当(为钝角时投影为___值； 当(为直角时投影为0；
练习.（1）已知向量满足，1，与的夹角为，则在上的投影是： _______
（2）已知，，则向量在向量方向上的投影为_______________
4.向量的数量积的几何意义： 数量积(等于________________________________
5.两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，
（1）( ( (= ____________ ; （2）(= _________，cos(= ____________（求夹角）
（3）当与同向时，θ= _____,cos(= ____,( =____________ =______ ；
特别的与方向_____，θ= _____,cos(= ___，(=____ ____, 所以 ______ （求模）
当与反向时，θ= _____,cos(= ____,( =____________ =______ ；
（4）|(|=__________≦_______
6.平面向量数量积的运算律
（1）交换律：( = ______（2）数乘结合律：()( =_______= _______（3）分配律：(+)(=_______+_______
7.认真阅读课本105页例2，例3，完成课本108页习题A组1，3，7，8
8.认真阅读课本105页例4，完成下列各题
（1）|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
（2）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是___________
（3）已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61，求与的夹角θ.
§ 2.4平面向量的数量积
学习目标：
一、1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3．了解用数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；
二、 教学重点：?平面向量的数量积定义
教学难点：?平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
一、 复习回顾
1、已知两个非零向量和,作,则___叫做向量与的夹角。
2、向量夹角θ的范围是__ __,与同向时,夹角___＿;与反向时,夹角____。
3、如果向量与的夹角是___,则与垂直,记作______。
4、向量数乘运算的定义是 .
思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？
二、探究过程:
1._____________________________ __________叫做的夹角。
2.已知两个______向量，我们把______________叫的数量积。（或________）记作___________即＝______________________其中是的夹角。______________________叫做向量方向上的___________。
3.零向量与任意向量的数量积为___________。
4.平面向量数量积的性质：设均为非零向量：
①___________ ②当同向时，＝ _当反向时，＝_____ ，特别地，= 或= 。
③ ④|(| __ ||||
5. 的几何意义：________________________________________________________。
6.向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。
①＝___________（______律）
②＝___________= = ③＝_________ __
说明：①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
三、典型例题
例1 已知，，和的夹角为，求？
变式:
例2: 对任意是否有和 成立？
例3:已知已知，，和的夹角为，求
例4:
四、 达标训练:
已知，若，求.若，求.
已知，，=-10，求与的夹角.
已知，，=-10，求向量在向量的方向上的投影.
4、⑴在中，若，或.试判断的形状
五、 提升训练:
下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
正确的序号有
已知：，则在上的投影为
下列命题中
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
其中真命题的个数有
4、
