1.1.1 正弦定理导学案
一、学习任务：
1.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
二、自主学习：（根据以下提纲，预习教材第2页-第4页回答下列问题）
（1）设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,R是△ABC外接圆的半径。
正弦定理： ____________ = ____________ = ____________
（2）正弦定理的三种变式形式：① a=2RsinA, b=____________ , c =____________。
②sinA=，sinB=________,sinC=_______。 ③ a:b:c=_______________________ 。
（3）三角形中常见结论：①三角形内角和定理，即：______________________。
② 三角形中边角关系，即：a③三角形中三边的关系，即：_____________________________; ________________________。
④sin=__________ ; sin(A+B)= ____________ ;sin2(A+B)= _____________。
（4）①在△ABC中，A=45，C=30,c=10,则a= （要求写出步骤）
②在△ABC中，A=30,C=105,b=8, 则a= （要求写出步骤）
三、合作探究：
问题1、已知△ABC中，A=30C =45 a=20,求b,c 。
问题2、已知△ABC中，a=，b=, B=45,解三角形ABC。
问题3、(1)已知△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4, 求a:b:c .
(2) △ABC中,sinA= sinB+ sinC, 则△ABC为（ ）
A 、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形
四、达标训练（巩固提升）
1、△ABC中,若sinA>sinB，则有（ ）
A 、ab D、a，b的大小无法确定
2、在△ABC中，B=45，C=60，c=1，求最小边的长度。
3、在△ABC中，B=45，c=2，b =，求A.
4、在△ABC中，A:B:C=4:1:1，求a：b ：c
5、在△ABC中，==,试判断△ABC的形状。
五、本节课你有什么收获
六、课后拓展延伸作业：
1、在△ABC中，下列等式恒成立的是（ ）
A、acosC=c cosA, B 、bsinC=csinA, C、absinC=bcsinB, D、asinC=csinA
3、在△ABC中，已知a=8， B=60，C=75则b=____________。（要写步骤）
变式：在△ABC中，已知a=8，B=60，C=75则c =____________。（要写步骤）
4、在△ABC中，A=60，a=4，b=4，则B=____________。（要写步骤）
5、在△ABC中，已知atanB= btanA, 则此三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、直角或等腰三角形
七、能力提升：（要写步骤）
1、已知△ABC的三边分别是a、b、c，且cosA:COSB= b:a判断△ABC的形状
2、在△ABC中，C=2 B，则=( )
A、 B、 C、 D、
3、求证：在△ABC中，=
1.1.2余弦定理（一）
（一）、学习任务：1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法。
2、会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
（二）、自主学习：
一、温故互查：1.正弦定理：（符号语言）
2．正弦定理的三种变式形式：（符号语言）
3. 在△ABC中，A=45，C=30,c=10,求出B、a、 b；
二、设问导读：阅读教材第5-7页
1. 余弦定理的推导：
2. 余弦定理：
（文字语言）________________________________________________。（符号语言）
a=________________，b=_____________________ ，c=______________________。
3. 余弦定理的三种变式：cosA=________________，cosB=________________，cosC=________________。
4、运用余弦定理可以解决两类解三角形问题：
（1）已知三边，求_________。
（2）已知________和它们的_________，求第三边和其它两角。
注：在余弦定理中，令C=90，这时c=______________________。
三、合作探究
问题1、余弦定理的向量法证明
问题2、在ABC中，（1）已知b=8，c=3，A=60,求a
（2）已知a=7， b=,5，c=3，求A
问题3、（1）在ABC中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4；那么cosC=？
（2）在ABC中，已知a+ b +a b =c，试求C的大小。
四、达标训练（巩固提升）
1、在ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
2、在ABC中，若a> b+c则ABC为_________；a=b+c则ABC为_________；若a< b+c且b< a+ c且c< a+b则ABC为_______________；（写出步骤）
3、在ABC中，（1）已知b =8，c=3，A=60求a
变式：（1）已知a=3 ，c=2 ，B=150求b
（2）已知a =20，b=29，c=21，求B
变式：（1）已知a =2 ，b= ，c=+1求A
（2）已知a= b+c- b c求A
4、在ABC中，sinA=2cosBsinC则ABC为__________________（写出步骤）
五、本节课你有什么收获
六、课后拓展延伸作业：
1、在ABC中，已知B=30，b=50，c=150，判断ABC的形状？
2、在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,若>0，判断ABC的形状？
3、在ABC中，a ：b：c=3:5:7求ABC中最小角的余弦值和最大角？
4、在ABC中，若b= a+c+ a c，则B=
七、能力提升：（写出步骤）
1、在ABC中，若三内角满足sinA= sinB+sinBsinC +sinC,求A
2、在ABC中，sinA=，cosB=求cosC
3、在ABC中，已知（a +b+c）（a +b-c）=3ab且2cosAsinB=sinC，试判断ABC的形状？
4、在ABC中，b cosA= a cosB，试判断ABC的形状？
1.1.2余弦定理（二）
（一）、学习任务：1.熟练掌握正弦定理、余弦定理；
2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题。
（二）、自主学习：
一、温故互查：1. 正弦定理及其变形
2. 余弦定理及其推论
二、自学检测（对点练习）（写出步骤）
1.已知a,b,c为ABC的三边长，若满足（a+b-c）(a+b+c)=ab,求 C;
2.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,判断三角形的形状？
3. 在ABC中，已知sinA:sinB:sinC=3:5:7,求这个三角形的最小外角？
4. ABC的三边分别为a,b,c且满足b=ac,2b=a+c, 判断三角形的形状?
5. 在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若C=120c=a,判断a与b的大小关系？
三、巩固训练（巩固提升）：（写出步骤）
例：6.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，判断新三角形的形状?
提示：设直角三角形的三边为a,b,c，且有_______________，增加的长度为x，则（a+x）+(b+x)-(c+x)=? c+x所对的最大角变为什么角？
7. 在ABC中，边a,b,的长是方程x-5x+2=0的两个根，C=60求边c？
8.设2a+1，a，2a-1为钝角三角形的三边，求a的取值范围？
9. 已知ABC的面积为2，BC=5，A=60, 求ABC的周长？
10、在ABC中，A=60，b=1，S=,则ABC外接圆的面积是_______________。
四、拓展延伸：（能力提升）：（写出步骤）
11. 在ABC中，求证： =
12. 在ABC中，,b,c分别是角A,B,C的对边的长，cosB=,且=-21，
(1)求ABC的面积;
（2）若a=7，求角C.
13. 已知ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（ ）
A 、0五、本节课你有什么收获
正弦定理
学习目标：1 理解正弦定理并能证明
2 能应用正弦定理解三角形
重点：应用正弦定理解三角形
在任意的三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
学习任务：阅读课本P2-4页，完成下列任务：
1.在直角三角形中，设a、b、c为其三边，A，B，C为其对应的三个角，有成立。对于锐角和钝角三角形中，此关系式成立吗？试证明。
2.什么是解三角形？思考：正弦定理可以解决哪些解三角形的问题。
3.在⊿ABC中，已知下列条件，解三角形
（1）A = 45°，C = 30°，c = 10 cm
（2）A = 60°，B = 45°，c = 20 cm
4.阅读例2，已知三角形的两边和其中一对角，计算另一边的对角。需要注意什么？请完成下列两小题：
在⊿ABC中，已知下列条件，解三角形
①a = 20 cm b = 10cm B = 30°
②c = 1 cm b = cm C = 60°
必做题：习题1.1 A组 1、2. B组 1.
选做题：
在⊿ABC中，B = 45°，C = 60°，c = 1，则最短边的边长为 .
在⊿ABC中，a =80 ，b = 100 ，A = 30°，则B的解的个数为 .
余弦定理
学习目标：1 理解余弦定理并能证明
2 能应用余弦定理解三角形
重点：应用正弦定理解三角形
用正弦定理我们可以解决两类解三角形问题：
（Ⅰ）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
（Ⅱ）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
对于已知两边和它们的夹角怎样计算出三角形的另一边和另两个角？
学习任务：阅读课本5-7页，完成下列问题：
请用向量的数量积推导余弦定理，还有其他证明方法吗？
余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，请写出余弦定理的变形（即推论）
勾股定理与余弦定理之间有何联系？
阅读例3、例4，思考：余弦定理及推论，正弦定理可以解决哪些解三角形问题？
必做题：
P8页 练习 1、2.
习题1.1 A组 3、4. B组 2.
选做题：
1.在⊿ABC中，B = 60°，b2 = ac，则⊿ABC一定是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
2.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
1.2应用举例（三）求面积问题
一、学习任务：1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形问题。
2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用。
3.能证明三角形中的简单的恒等式
二、知识链接：
问题1、在ABC中，（1）若a=1，b=，B=120，则A=_____；
（2）若a=3，b=2 ，C=150，则c=_____；
问题2、在ABC中，若a=3，b=2 ，C=150，则高BD=_____；三角形的面积=_____；
（写出过程）
三、自主探究：
问题1、在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,边BC上的高记为h，那么如何用已知的边和角表示出h= = , 因三角形面积S= , 于是三角形面积又可写成S= = = ；
三角形的面积公式（文字语言）
1、对点练习：在ABC中，下列条件求根据S：
（1）b =8，c=3，A=60；解:
（2）A=45，C=30,c=10；解:
（3）A=75，B=60，c=2；解:
（4）已知a=7， b=5，c=3；解:
2、达标训练（巩固提升）
（1）在ABC中，已知b=6，B=30，c=6求a及S
（2）已知三角形三边长分别为a=15，b=5，c=10求S
（3）三角形两边之差为2，夹角的正弦值为，面积为则这个三角形两边长分别是多少？
问题2、在ABC中，求证：（1）；
（2）a+b+c=2（bc cosA+ca cosB+ab cosC）
对点练习：1、课本第18页 3.
2. 在ABC中，c（a cosB- b cosA）= a-b
三、本节课你有什么收获
四、拓展延伸（能力提升）
1、在ABC中，若2cosB sinA= sinC，试判断ABC的形状。
2、ABC的三边长分别为3,4,6；它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是多少？
3、在ABC中，若sinA+ sinB= sinC（cosA+ cosB）试判断ABC的形状。
4、在ABC中，A=60，AC=16，面积S=220，求BC的长？
5、在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,向量=（，-1），=（cosA，sinA），若，且a cosB+ b cosA= c sinC，求角B
6、课本P页、 B组 1、2题
1.2应用举例（一）测量距离问题
学习任务：利用解决实际中有关距离、高度、角度的测量问题。
1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。
2、利用正弦、余弦定理等知识求解实际中有关距离问题。
预习任务：（查资料完成并记住）
方位角：
方向角：
仰角与俯角：
坡比和坡角：
回顾正、余弦定理公式及变式：
1、正弦定理公式：
2余弦定理公式：
自主探究
(一)、测量距离问题
问题1、（1）测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题。如图所示：(11页图)这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，应怎样计算？
例如：课本例1.中AC=8cm，BAC=30，ACB=45求A、B两点的距离？
（2）若A、B不能直达之间用一座山隔着，A、B、C都可到达（如图）我们需要测得哪些量就可求出AB的长？若AD、BE的长已知了，如何求出DE=? (这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题)。
例1.中变式：AC=8cm，BAC=30，ACB=45AD=DE=1 cm，求D、,E两点的距离？
问题2、测量两个不可到达的点A、B之间的距离问题。如图所示：(12页上图)首先把不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形边长问题，然后把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。
例2、（课本11页例2、）
变式训练1、在一次反恐作战准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为的观测点C和D处，测得ADB=30,BDC=30,DCA=60，ACB=45，求基地组织的这两个训练营地之间的距离。
变式训练2、隔河看两目标A,B,但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得ACB=75，BCD=45,ADC=30,ADB=45,(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离？
巩固训练
已知A、B两地相距10km，B、C两地相距20km，且ABC=120，则A、C两地相距_______。
海面上有A、B两个小岛相距10nmil,从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角,则B、C两地相距_______。
为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75,AB=120m，求河的宽度？
在四边形ABCD中，AC平分DAB, ABC=60,AC=7，AD=6，S=求AB的长？
拓展延伸（能力提升）
甲船在岛B的正南A处，AB=10km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间？
课本P页习题1.2 A组1、2、3、4、5
本节课你有什么收获
1.2应用举例（二）测量高度、角度问题
（一）、学习任务：1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。
2、能够用正弦、余弦定理等知识和方法求解高度、角度问题。
（二）、预习任务：（查资料完成并记住）
方位角：
方向角：
仰角与俯角：
坡比和坡角：
回顾正、余弦定理公式及变式：
1、正弦定理公式：
2余弦定理公式：
自主学习：
问题1、高度问题：测量底部不可到达的建筑物的高度问题；
如图所示：(13页图)这实际上就是由于底部不可到达，这类问题不能直接用三角形的方法解决，但常用正弦定理、余弦定理，计算出建筑物顶部到一个选定的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题，应怎样计算？
例如：课本例3.中：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。（看书P页完成）
课本例4.
课本例5.
问题2、角的测量问题：可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形，实际解决不能直接测得的角的大小的问题。
课本例6.
当堂检测：（对点训练）
从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则与的关系是（ ）
A、> B、= C、+=90 D、+=180
2、若点P在点Q北偏东4530，则点Q在点P的（ ）
A、东偏北4430 B、东偏北4530 C、南偏西4430 D、西偏南4430
3、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A、北偏东10 B、北偏西10 C、南偏东10 D、南偏西10
四、巩固训练：1、课本P页：1、2、3，
2、课本P页：练习
3、课本P页：习题1.2 A组 1、2、3
五、拓展延伸（能力提升）课本P页：习题1.2 A组、4、5、6、7、8、9、10
六、本节课你有什么收获
