1.1 相似多边形
考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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1.下列语句正确的有（ ）句?????? 正方形都相似；有一个角对应相等的菱形相似； 有一个角相等的两个等腰三角形相似；如果一个三角形有两个角分别为和，另一个三角形有两个角分别为和，那么这两个三角形可能不相似．
A.个
B.个
C.个
D.个
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2.两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
3.下列图形中，属于相似图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
?
4.下面图形是相似形的为（ ）
A.所有矩形
B.所有正方形
C.所有菱形
D.所有平行四边形
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5.若用一个倍放大镜去看，下列说法中错误的是（ ）
A.放大后的面积是原来的倍 B.放大后的周长是原来的倍
C.放大后 的大小是原来的倍 D.放大后边的长是原来的倍
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6.下列图形一定相似的是（ ）
A.有一个锐角相等的两个直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形
C.有两边成比例的两个直角三角形 D.有两边成比例的两个等腰三角形
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7.如图，矩形的面积是，点在上，点在上，且，，则矩形的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
?
8.用一个放大镜看一个四边形，该四边形的边长放大倍后，下列结论正确的是（ ）
A.是原来的倍 B.周长是原来的倍 C.面积是原来的倍
D.四边形的形状发生了改变
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9.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
A.
B.
C.
D.
?
10.如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A.甲、乙不相似
B.甲、丁不相似
C.丙、乙相似
D.丙、丁相似
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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11.沿一张矩形纸较长两边的中点对折后，再对折一次，使两次的折痕平行．如果这两次对折后得到的矩形与原来的矩形纸相似，那么原来矩形纸的长与宽的比为________．
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12.如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙________．
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13.两个相似多边形对应边的比为，小多边形的面积为，那么大多边形的面积为________．
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14.如图是用火柴棒摆出的两个正五边形的图案，若图甲的面积是，则图乙的面积（用含的代数式表示）是________．
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15.将一个四边形各边都扩大倍，这个四边形的形状________．（填“改变了”或“没有改变”）
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16.将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画________个，你的理由是________．
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17.如图，、、分别是、、的中点，则四边形与四边形________（填“是”或“不是”）位似图形．
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18.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求纸的较长边与较短边的比值．这个比值是________．
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19.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式________．
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20.某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是，最大长度是；叶片②最大宽度是，最大长度是；叶片③最大宽度约为，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
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21.将一张矩形纸片，以它的一条宽为边长剪去一个正方形，将剩下的矩形再以一条宽为边长剪去一个正方形，若第二次剪裁后所留下的矩形与原来的矩形相似，则矩形的宽与长的比值是多少？
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22.如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．
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23.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？
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24.如图所示，小芳用画正方形的办法画出下列一组图案，你能按规律继续画下去吗？想想其中有哪些相似图形？
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25.用木条制成如图的形式，、、三点钉上钉子，在和处加上粉笔，当用画图时，在处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
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26.如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于________； ②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.B
9.D
10.A
11.
12.相似
13.
14.
15.没有改变
16.无数多边形的形状发生了变化
17.是
18.
19.
20.
21.解：根据题意画图如下：
设，，则，，若矩形矩形， 则：， 解得：， 若矩形矩形，则 ， 解得：．
22.解：设运动时间能使矩形与矩形相似， 由题意或， 解得或． 当时，， ∵， ∵与都是矩形， ∴矩形与矩形相似． 同理可证当时矩形与矩形相似．
23.证明：∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴．
24.解：这组图形的规律是：后面的图案比前面的图案多两个全等的正方形，且多出的这两个正方形的边长等于前面正方形对角线的长．按此规律可以继续画图．其中每两个全等的正方形组成的图形与后面多出的两个全等的正方形形成的图形都是相似的．
25.解：因为木条制成的图形固定，点和点的相对位置固定， 所以点处的粉笔画图时，点处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同， 因此是相似图形．
26.不合理． 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等． 合理定义方法不唯一． 如定义为， 越小，矩形越接近于正方形； 越大，矩形与正方形的形状差异越大； 当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形．
1.2 怎样判定三角形相似
考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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1.如图所示，在直角梯形中，，，，如果上的点使，那么这样的点有（ ）
A.个
B.个
C.个
D.个
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2.如图，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.．
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3.如图，、两点被池塘隔开，在外任选一点，连接，分别取其三等分点，，量得．则的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
?
4.如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么
A.
B.
C.
D.
?
5.如图，小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A.
B.
C.
D.
?
6.如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
A.
B.
C.
D.
?
7.如图，是的边上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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8.如图，点，分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（ ）
A.①②④
B.②④⑤
C.①②③④
D.①②③⑤
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9.如图，在的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（ ）
A.对
B.对
C.对
D.对
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10.如图，在中，，，为上两点，过点，分别作，的垂线，两垂线交于点，垂足分别为，，若，，则下列说法中不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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11.如图，在中，为边上一点，且，若，，那么的长等于________．
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12.如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为________．
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13.为了测量旗杆的高度，我们取一竹竿放在阳光下，已知米长的竹竿影长为米，同一时刻旗杆的影长为米，则旗杆高________米．
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14.甲、乙两盏路灯底部间的距离是米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为米，那么路灯甲的高为________米．
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15.如图，雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，在他前面远处有一块小积水，他看到了旗杆的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为，该生的眼部高度为，则旗杆的高度是________．
?
16.如图，在平面直角坐标系中，已知，点，作，使与相似，以、点必须要格点上________．（不写作法）
?
17.如图，请填上一个你认为合适的条件：________，使与相似．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
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18.如图，已知点是上的一点，连接，若，，当与，之间满足关系式________时，．
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19.如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为________；当时，为________．（用含的式子表示）
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20.如图所示，在中，是高，，，，，则________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
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21.如图，要使，需要添加一个条件，请添加条件并给出证明过程．
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22.如图，点、、、在一条直线上，且，，求证：．
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23.如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，他过、两点画两条相交于点的射线，在射线上取两点、，使，若测得米，他能求出、之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．
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24.如图，四边形是正方形，点在上，于，求证：．
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25.一块直角三角形木板，一直角边是米，另一直角边长是米，要把它加工成面积最大
的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图所示，请运用所有知识说明谁的加工方法符合要求．
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26.如图，是的边上的中点，过点的一条直线交于，交的延长线于，交于，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
如图，若将图中的过点的一条直线交于，改为交的延长线于，交的延长线于，改为交于，其它条件不变，则还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；
根据图，请你找出、、、四条线段之间的关系，并给出证明；
如图，若将图中的过点的一条直线交于，改为交的反向延长线于，交的延长线于，改为交于，其它条件不变，则得到的结论是否成立？
答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.B
6.D
7.B
8.A
9.C
10.B
11.
12.①②③
13.
14.
15.
16.略
17.（答案不唯一）
18.
19.
20.
21.解：可添加条件：．证明如下： ∵，， ∴．
22.证明：∵，， ∴，， ∴．
23.解：∵，（对顶角相等）， ∴， ∴， ∴， 解得米． 所以，可以求出、之间的距离为米．
24.解：∵四边形是正方形， ∴， ∵于， ∴， ∴， 又∵， ∴．
25.解：乙加工的方法合理． 设甲加工桌面长，过点作，垂足是，与相交于点，
∵， ∴， ∴， ∴：． 又，，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴：， 即， 故此可求得； 设乙加工桌面长， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得， 很明显，故， ∴乙加工的方法合理．
26.解：成立． 证明：∵， ∴． ∴． 即． ∵， ∴．． 证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 由，得． ∴，即．成立，证明过程同．
1.3 相似三角形的性质
考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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1.如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
?
2.若，与的相似比为，则为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
3.若两个相似三角形的相似比为，则它们的对应角的角平分线的比为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
4.如图，，，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
5.两个相似三角形的周长比为，则它们的对应边上的高比为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
6.已知，若与的相似比为，则与对应中线的比为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
7.如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应周长之比是（ ）
A.
B.
C.；
D.
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8.一个三角形的三边分别为，，，另一个与它相似的三角形中有一条边长为，则这个三角形的周长不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
?
9.和相似，且相似比为，那么和的面积比为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
10.已知和相似，且的三边长为、、，如果的周长为，那么下列不可能是一边长的是（ ）
A.
B.
C.
D.．
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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11.一个三角形的各边之比为，和它相似的另一个三角形的最大边为，则最小边为________．
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12.如图，已知，相似比为，则的值为________．
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13.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为、、，另一个三角形框架的一条短边长为，则另外一个三角形的周长为________．
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14.已知与相似且对应中线的比为，则与的周长比为________．
?
15.若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形对应中线的比是________．
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16.若，相似比为，且的周长为，的面积为，则的周长为________，的面积为________．
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17.已知中，，，点是线段的中点，点在线段上且，则________．
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18.在中，，，点、分别在、边上，将沿直线翻折后，点落在对边 的点为，若与相似，那么________．
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19.已知在中，，点、分别在边、上，，，如果与相似，那么的长等于________．
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20.如图，，且，，则________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
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21.如图所示，已知，，，，若，写出、、之间满足的关系式．
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22.如图，与相似，，是的高，，是的高，求证：．
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23.如图，分别是的，边上的点，．已知，，求的长．
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24.如图，在中，，，点从点出发沿边想向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果、同时出发，经过几秒后和相似？
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25.，，边上的中线，的周长为，的面积是，求：
边上的中线的长；
的周长；
的面积．
?
26.如图，直角三角形到直角三角形是一个相似变换，与的长度之比是．
与的长度之比是多少？
已知直角三角形的周长是，面积是，求直角三角形的周长与面积．
答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.B
6.A
7.C
8.C
9.D
10.D
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.或
19.或
20.
21.解： ∵， ∴， ∵，，， ∴，即．
22.证明：∵与， ∴， ∵和是高， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴．
23.解：∵， ∴，… ∵， ∴，… ∴．??…
24.解：设经过秒后和相似． 则，， ∵，， ∴， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或秒后和相似．
25.解：∵，，边上的中线， ∴， ∴， ∴边上的中线的长为；∵，，的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为；∵，，的面积是， ∴， ∴， ∴的面积是．
26.解：由相似变换可得：；∵， ∴的周长：的周长， ， ∵直角三角形的周长是，面积是∴的周长为，．
1.4 图形的位似
考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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1.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，面积是，则的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
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2.如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
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3.下列说法正确的是（ ）
A.两个位似图形对应点连线有可能无交点
B.两个位似图形对应点连线交点个数为或
C.两个位似图形对应点连线只有一个交点
D.两个位似图形对应点连线交点个数不少于个
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4.如图所示，在平面直角坐标系中，有两点，，以原点为位似中心，与的相似比为，得到线段．正确的画法是（ ）
A.
B.
C.
D.
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5.下列实际生活事例，形成位似关系的是（ ） ①放电影时，胶片和屏幕上的画面；②放映幻灯片时，幻灯片上的图片与屏幕上的图形；③照相时人物的影像与被缩小在底片上的影像．
A.个
B.个
C.个
D.个
?
6.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点对应大鱼上的点（ ）
A.
B.
C.
D.
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7.已知与是关于点的位似图形，它们的对应点到点的距离分别为和，则与的面积比为（ ）
A.
B.
C.
D.
?
8.在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A.
B.
C.或
D.或
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9.如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A.
B.
C.
D.
?
10.把的每一个点横坐标都乘，得到，这一变换是（ ）
A.位似变换
B.旋转变换
C.中心对称变换
D.轴对称变换
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
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11.已知：如图，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________；
的面积是________平方单位．
?
12.如图，，，且，则与________是位似图形，位似比为________；与________是位似图形，位似比为________．
?
13.如果两个位似图形的对应线段长分别为和，且两个图形的面积之差为，则较大的图形的面积为________．
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14.如图，，，，以点为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为________，点的对应点的坐标为________．（请在直角坐标系中画）
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15.如图，五边形和五边形是位似图形，且，则等于________．
?
16.如图，点、、在同一平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．
点的坐标为________；
在第一象限，画出以点为位似中心，以为位似比的位似，其中，点、的对称点分别为、；则点的坐标为________，点的坐标为________．
?
17.如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做________图形，这个点叫做________，这时的相似比又称为________．
?
18.已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
向下平移个单位长度得到的，点的坐标是________；
以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________；（画出图形）
的面积是________平方单位．
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19.如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，点，则点的坐标________．
?
20.如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
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21.如图，已知，，．
求证：四边形位似于四边形；
若，，求．
?
22.如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为，．
在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为；
分别写出、的对应点、的坐标．
?
23.在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点为放映机的光源，是胶片上面的画面，为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是，放映的银幕规格是，光源与胶片的距离是，则银幕应距离光源多远时，放映的图象正好布满整个银幕？
?
24.如图是几组三角形的组合图形，图①中，；图②中，；图③中，；图④中，． 小说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是和． 小说：图③、④是位似变换，其位似中心是点． 请你观察一番，评判小，小谁对谁错．
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25.如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
求证：；
若，，求的长．
?
26.如图，正三角形的边长为．
如图①，正方形的顶点、在边上，顶点在边上，在正三角形及其内部，以点为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；
求中作出的正方形的边长；
如图②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得、在边上，点、分别在边、上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理
答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.D
6.B
7.B
8.D
9.C
10.D
11.； ）的面积是：． 故答案为：．
12.
13.
14.或或
15.
16.
17.位似位似中心位似比
18.所求图形如下图所示：
即：为所求作的图形． 点?的坐标为： 故答案为：的面积 （平方单位） 故答案为：平方单位
19.
20.
21.证明：∵，，， ∴， 又∵四边形与四边形对应顶点相交于一点， ∴四边形位似于四边形；∵， ∴， ∴四边形与四边形的位似比为：， ∵， ∴．
22.解：如图所示：
；如图所示：，．
23.解：图中是的位似图形， 设银幕距离光源为时，放映的图象正好布满整个银幕， 则位似比， 解得． 即银幕应距离光源为时，放映的图象正好布满整个银幕．
24.解：根据位似图形的定义得出： 小对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为、， ③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换．
25.证明：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， 在和中，
， ∴；∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴．
26.解：如图①，正方形即为所求．
设正方形的边长为， ∵为正三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，即，（也正确）如图②，连接、、，则． 设正方形、正方形的边长分别为、，
它们的面积和为，则，． ∴． ∴， 延长交于点，则． 在中，． ∵，即，化简得． ∴ ①当时，即时，最小． ∴； ②当最大时，最大． 即当最大且最小时，最大． ∵， 由知，． ∴ …． （也正确） 综上所述，，．
