人教版数学八年级上册
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
知识梳理 分点训练
知识点 利用轴对称和平移解决最短路径问题
1. 如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
第1题 第2题
2. 如图，M，N分别是∠AOB内两定点，点P，Q分别是OA，OB上的动点，求MPQN的最短路径，应分别作出点关于 ，寻求最短路径.
3. 已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．
图1 图2
4. 如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A，B，C，D均落在格点上.请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小.
课后提升 巩固训练
5. 龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，以下选项中的四个图是为他们设计的路线，其中路程最短的是( )
A B C D
6. ∠AOB的边OA上有M，N两点，在∠AOB的平分线OC上找一点P，使MP＋NP最小，正确的作法是( )
A B C D
7. 如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是( )
A. 750米 B. 1000米 C. 1500米 D. 2000米
8. 如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
9. 八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了香蕉，OB桌面上摆满了苹果，站在C处的学生小明先拿香蕉再拿苹果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
10. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一个自来水厂向A村与B村供水.
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂?
(2)若要使厂部到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂?
11. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
拓展探究 综合训练
12. 如图，某公路(x轴)的同一侧有A，B，C三个村庄，要在公路边建一货站D，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是DABCD或DCBAD.
(1)试问在公路边是否存在一点D，使送货路程最短?
(2)将A，B，C三点放在平面直角坐标系中，把x轴建立在公路上，如图所示，请画出D点所在的位置，并写出画法.
参考答案
1. B
2. 角两边的对称点
3. 解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．
(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略．
4. 解：(1)作点P关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求.图略.
5. C
6. D
7. B
8. 解：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略．
9. 解：如图所示．
作法：①作点C关于OA的对称点C'，点D关于OB的对称点D'；②连接C'D'，分别交OA，OB于点M，N，连接CM，DN，那么小明沿C→M→N→D的路线行走，所走的总路程最短．
10. 解：(1)如图1所示，连接AB作AB的中垂线交EF于点P即可.
(2)如图2所示，作点A关于EF的对称点A'，连接A'B，交EF于点Q，点Q即为所求.
11. 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH. ∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°. ∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°. ∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
