高考复习学案：专题14 .带电粒子在磁场中的运动规律

专题14 .带电粒子在磁场中的运动规律
基本知识规律
一．匀速圆周运动的规律
[练习1]　如图1所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中的偏转．
(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹是一条直线，加上磁场时，电子束的运动轨迹是圆。(2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径将变小 。(3)如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，圆半径变大。21cnjy.com
【结论】若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
→ 导出公式：半径R＝ 周期T＝＝
(1)由于洛伦兹力的方向总与速度方向垂直，故洛伦兹力对粒子不做功。
(2)带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直时，带电粒子将做匀速圆周运动．其向心力由洛伦兹力提供．
(3)由qvB＝m可知r＝. 所以T＝＝.
[练习2]　如图2所示，a和b带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)(　　)www.21-cn-jy.com
A．两粒子都带正电，质量比＝4 B．两粒子都带负电，质量比＝4
C．两粒子都带正电，质量比＝ D．两粒子都带负电，质量比＝
练习11答案　B解析　由于qa＝qb、Eka＝Ekb，动能Ek＝mv2和粒子偏转半径r＝，可得m＝，可见m与半径r的平方成正比，故ma∶mb＝4∶1，再根据左手定则判知粒子应带负电，故选B.【来源：21·世纪·教育·网】
练习3.质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图3中虚线所示，下列表述正确的是(　　)21·世纪*教育网
A．M带负电，N带正电 B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运行时间大于N的运行时间
练习3.答案　A解析　根据左手定则可知N带正电，M带负电，A正确；因为r＝，而M的半径大于N的半径，所以M的速率大于N的速率，B错误；洛伦兹力不做功，C错误；M和N的运行时间都为t＝，D错误．故选A.【版权所有：21教育】
二、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
(一)、带电粒子在有界磁场中的运动
1处理带电粒子在磁场中的运动问题时通常要按以下三步进行：
(1)画轨迹：即确定圆心，画出轨迹并通过几何方法求半径；
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动的时间与周期相联系；21*cnjy*com
(3)用规律：运用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．
（三）带电粒子匀速圆周运动问题的分析方法．
(1)圆心的确定方法：两线定一点
①圆心一定在垂直于速度的直线上．
如图7甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心．
②圆心一定在弦的中垂线上．
如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心．
(2)半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要做好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．求解出半径的大小，并与半径公式r＝联立求解．21世纪教育网版权所有
(3) 粒子在磁场中圆弧所对应的圆心角的确定
如图3－6－7所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角(或圆心角)，AB弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为： 2-1-c-n-j-y
φ＝α＝2θ.
（4）粒子在磁场中运动时间的确定
当速率一定时，粒子运动的弧长越长，圆心角越大，运动时间越长．
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，
其运动时间t＝T(或t＝T)．
②当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长．
(一)、粒子进入单边磁场时的运动分析：解题关键是画好示意图，特别注意找圆心、找半径和用对称。
一、对称法
?　　(1)粒子进入单边磁场时，进、出磁场具有对称性，如图1(a)、(b)所示．
(2) 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图(d)所示．
带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
?
练习4．如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30o角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），
(1)它们从磁场中射出时相距多远？
（2）射出的时间分别是多少？？（不考虑正、负电子间的相互作用）
练习4解：正负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还看出经历时间相差△t=5/6T-1/6T=2T/3。由得轨道半径r和周期T分别为，因此两个射出点相距，时间差为
（二）、穿过矩形磁场区。要画好辅助线（半径、速度及延长线）。
偏转角θ：由求出。入射速度与半径垂直指向圆心，出射速度与半径垂直也指向圆心，交于一点就是圆心，连接入射点与出射点，形成三角形，圆心的顶角即为粒子偏转角，过出射点B做OA的垂线形成三角形OCB中，sinθ=
侧移y：由R 2=L2+(R-y)2解出。
经历时间t：由得出。
注意：这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同，因为它是圆周运动。21·cn·jy·com
练习5　如图8所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．【来源：21cnj*y.co*m】
练习5解析　过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，连接ON，过N做OM的垂线，垂足为P，如图所示．由直角三角形OPN知，电子运动的半径为r＝＝d①由牛顿第二定律知evB＝m②联立①②式解得m＝【出处：21教育名师】
电子在无界磁场中运动的周期为T＝·＝
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，
故电子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝.
练习6.带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图9所示．(g取10 m/s2，结果保留两位有效数字)
带电粒子离开磁场时的速度多大？
带电粒子在磁场中运动多长时间？
练习6. 解析　粒子所受的洛伦兹力F洛＝qvB≈8.7×10－14 N，远大于粒子所受的重力G＝mg＝1.7×10－26 N，故重力可忽略不计．
(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s.
(2)由qvB＝m得轨道半径r＝＝ m＝0.2 m．由题图可知偏转角θ满足：sin θ＝＝＝0.5，所以θ＝30°＝，带电粒子在磁场中运动的周期T＝，可见带电粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝T，所以t＝＝ s≈3.3×10－8 s.2·1·c·n·j·y
（三）穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
偏角θ：可由求出。经历时间t：由得出。
注意：由对称性，正对圆心射入的粒子必然背离圆心射出。
练习7　在以坐标原点?O为圆心、半径为?r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为?B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．?一个不计重力的带电粒子从磁场边界与?x轴的交点?A处以速度?v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与?y轴的交点?C处沿+y方向飞出．?（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从?A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B'多大？此次粒子在磁场中运动所用时间?t是多少？
练习7解．（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。 粒子由 A点射入，由 C点飞出，其速度方向改变了 90°，则粒子轨迹半径 
又  则粒子的比荷　　 
（2）粒子从 D 点飞出磁场速度方向改变了 60°角，故 AD 弧所对圆心角 60°，粒子做圆周运动的半径
又  所以 
由式 得 
粒子在磁场中飞行时间 联立得
考点五. 一些特殊的运动轨迹判断方法
一、磁发散或磁聚焦现象。带电粒子在磁场中的运动形式很多，其中有一种是带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。www-2-1-cnjy-com
(一) 带电粒子在圆形磁场中的发散运动不同带电粒子在圆形磁场中从同一点沿不同方向出发，做发散运动，离开磁场后速度方向都相同。
例如：当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图1所示。
图1 图2图3
[例1]　真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域如图2，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？
[解析]　如图3所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值，入射点O、出射点A、磁场圆心O1和轨道圆心O2，一定组成边长为r的菱形，因为OO1⊥Ox，所以O2A⊥Ox。而O2A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴正向相同。
二.带电粒子在圆形磁场中的汇聚运动
速度相同的不同带电粒子进入圆形匀强磁场后，汇聚于同一点。
例如：当速度相同的粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图4所示。
图4 图5 图6 图7
[例3]　真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图5所示，速率相同，方向都沿Ox方向的不同电子，在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。进入圆形匀强磁场后，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置有何特征？
[解析]　由A点进入磁场的电子，其圆周轨道和圆形磁场的两交点以及两圆心组成边长为r的菱形，v0和AO1垂直，所以AO1的对边也和v0垂直，即AO1的对边和Ox方向垂直，所以AO1的对边即为O2O，电子从O点离开磁场，因此，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置都在O点。
练习17．电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图6 所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：
(1)荧光屏上光斑的长度；
(2)所加磁场范围的最小面积。
练习17答案：(1)　(2)2 解析：(1)如图7所示，初速度沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P点，为荧光屏上光斑的最高点，初速度沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q点，为荧光屏上光斑的最低点，电子在磁场中，由ev0B＝m得R＝，光斑长度PQ＝R＝。(2)所加磁场的最小面积是以O′为圆心、R为半径的斜线部分，其面积大小为S＝πR2＋R2－πR2＝＋12。
二、旋转圆法
?　　在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

?　　例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？?
　　解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点P，最低点为动态圆与MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由???? 得：　SQ为直径，则：SQ=2L，SO=L ，由几何关系得：
?　P为切点，所以OP＝L ，所以粒子能击中的范围为。
三、缩放圆法
?　带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。
?
　例5．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

　　解析：如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：r+rcosθ=d??????? ①21*cnjy*com
?电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：，所以：????? ②
?
联立①②解得：，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于。
四、临界法
? 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。21教育网
?　例7．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。
?
?　解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图20、图21所示，打到右边界时，在直角三角形OAB中，由几何关系得：??
解得轨道半径 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力?? 因此
?　　打在左侧边界时，如图21所示，由几何关系得轨迹半径
?
　　电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，??? 所以
?
　　所以打在板上时速度的范围为≤v≤
▲通过以上分析不难发现，对于带电粒子在磁场中的运动问题，解题的关键是画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法，很多问题都可以迎刃而解。21教育名师原创作品