高考复习学案：专题20 机械振动与机械波　光学（基础）

第20讲　机械振动与机械波　光学
一、 必须理清的2个知识联系

一、简谐运动的图象
如图1所示，简谐运动的图象反映的是位移随时间的变化规律，图象不代表质点运动的轨迹．由图象可以获得以下信息：21世纪教育网版权所有
图1
(1)可以确定振动物体在任一时刻的位移．如图中对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm.
(2)确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅，由图可以看出振动的振幅是10 cm.
(3)确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(或余弦)函数图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．
由图可知，OD、AE、BF的时间间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz.
(4)确定各时刻质点的振动方向．例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．2·1·c·n·j·y
(5)比较不同时刻质点加速度的大小和方向．例如在图中，t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负；t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.www-2-1-cnjy-com
二、简谐运动的周期性和对称性
1．周期性：做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个全振动的形式，所以做简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻，做简谐运动的物体具有周期性．2-1-c-n-j-y
2．对称性
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)加速度和回复力的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等．21*cnjy*com
例1　(多选)一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系图象如图2所示，由图可知(　　)
图2
A．频率是2 Hz B．振幅是5 cm
C．t＝1.7 s时的加速度为正，速度为负 D．t＝0.5 s时质点的回复力为零
E．图中a、b两点速度大小相等、方向相反 F．图中a、b两点的加速度大小相等，方向相反
答案　CDE
解析　由题图可知，质点振动的振幅为5 m，周期为2 s，由f＝得频率为0.5 Hz，A、B选项错误．t＝1.7 s时的位移为负，加速度为正，速度为负，C选项正确．t＝0.5 s时质点在平衡位置，回复力为零，D选项正确．a、b两点速度大小相等、方向相反，但加速度大小相等、方向相同，加速度方向都为负方向，指向平衡位置，故E正确，F错误．
结合图象分析描述简谐运动的物理量的关系，分析的顺序为：
位移x回复力F加速度a速度v动能
Ek势能Ep
或者按下列顺序分析：
考点2　受迫振动和共振　　　　　　　　　　　　
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
【例3】　一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则(　　)
A．此单摆的固有周期约为0.5 s B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【解题导思】
驱动力的频率与单摆的固有频率越接近，单摆振动的振幅有何变化？
答：驱动力的频率与单摆的固有频率越接近时单摆振幅越大，两者相等时，振幅达到最大。
解析答案　B　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动。
-2-m考点4. 单摆周期公式的理解和应用
1．单摆在摆角很小的情况下的振动是简谐运动，根据周期公式知周期由摆长l和重力加速度g决定。而g是联系很多机械运动的桥梁，如自由落体运动、抛体运动等，因此，要注意单摆运动与其他动力学结合的问题。
2．当单摆在其他星球或升降机中振动时，周期公式中的g为视重力加速度，它随着单摆所处环境的改变而改变。做题不能认为g总等于9.8 m/s2。21·cn·jy·com
　经典考题　一根摆长为2 m的单摆，在地球上某地振动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s。
(1)求当地的重力加速度g。
(2)该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60 m/s2，单摆振动周期是多少？
解析　(1)周期T＝＝ s＝2.84 s。由周期公式T＝2π 得g＝＝ m/s2＝9.78 m/s2。
(2)T′＝2π ＝2×3.14×  s＝7.02 s。答案　(1)9.78 m/s2　(2)7.02 s
高频考点1　机械波的综合应用
一、对波的图象的理解
从波的图象中可以看出：
(1)波长λ；(2)振幅A；(3)该时刻各质点偏离平衡位置的位移情况；(4)如果波的传播方向已知，可判断各质点在该时刻的振动方向以及下一时刻的波形；(5)如果波的传播速度大小已知，可利用图象所得的相关信息进一步求得各质点振动的周期和频率：T＝，f＝.
例1　一列沿x轴传播的简谐横波，波速为10 m/s，在t＝0时刻的波形图线如图1所示，此时x＝1.0 m处的质点正在向y轴负方向运动，则(　　)
A．此波一定沿x轴正方向传播
B．x＝1.0 m处的质点做简谐运动的周期为0.20 s
C．t＝0时刻x＝1.5 m处的质点具有最大速度
D．再经1.0 s，x＝1.5 m处的质点通过的路程为10 m
答案　B
解析　此时x＝1.0 m处的质点正在向y轴负方向运动，知该波向x轴负方向传播．故A错误；在波的传播方向上，各点的周期是相等的，由题图知波长是2.0 m，则：T＝＝ s＝0.20 s．故B正确；t＝0时刻x＝1.5 m处的质点处在负方向的最大位移处，所以速度是0.故C错误；再经1.0 s，经历了n＝＝＝5个周期，质点在一个周期内的路程等于4个振幅，x＝1.5 m处的质点通过的路程为s＝5×4A＝20×0.02 m＝0.4 m．故D错误．
针对训练1　一列简谐横波沿x轴传播，t＝0时的波形如图2所示，质点a与质点b相距1 m，a质点正沿y轴正方向运动；t＝0.02 s时，质点a第一次到达正向最大位移处，由此可知(　　)
A．此波的传播速度为25 m/s
B．此波沿x轴正方向传播
C．从t＝0时起，经过0.04 s，质点a沿波传播方向迁移了1 m
D．t＝0.04 s时，质点b处在平衡位置，速度沿y轴负方向
答案　A
解析　由题可知波长λ＝2 m，周期T＝0.08 s，则v＝＝25 m/s，A对；由a点向上运动知此波沿x轴负方向传播，B错；质点不随波迁移，C错；t＝0时质点b向下运动，从t＝0到t＝0.04 s经过了半个周期，质点b回到平衡位置沿y轴正方向运动，D错．
二、波的图象与振动图象的区别和联系
波动图象与振动图象相结合是机械振动与机械波相结合的最重要的一类题型．解题时要明确两个对应关系：一是波动图象所对应的时刻是振动图象横轴上的哪个时刻，二是振动图象所对应的质点是波动图象上哪个质点．
例2　(多选)图3甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P是平衡位置为x＝1 m处的质点，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期是0.10 s
B．该波的传播速度为40 m/s
C．该波沿x轴的负方向传播
D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cm
答案　BC
解析　由题图乙知该波的周期是0.20 s，故A错误．由题图甲知波长λ＝8 m，则波速为：v＝＝ m/s＝40 m/s，故B正确．t＝0.10 s时，由题图乙知质点Q正向下运动，根据波形平移法可知该波沿x轴负方向传播，故C正确．该波沿x轴负方向传播，此时P点正向上运动．从t＝0.10 s到t＝0.25 s经过的时间为Δt＝0.15 s＝T，由于t＝0.10 s时刻质点P不在平衡位置或波峰、波谷处，所以质点P通过的路程不是3A＝30 cm，故D错误．
三、波动问题的多解性
波在传播过程中，由于空间周期性、时间周期性和传播方向的双向性而引起多解，解决这类问题要注意下列情况：
(1)波的空间周期性：在波的传播方向上，相距为波长整数倍的质点的振动情况相同．
(2)波的时间周期性：由波的传播特性可知，经过整数倍个周期，波的图象相同．
(3)波的传播方向的双向性：若根据题中条件无法确定波的传播方向，在解题时要注意考虑波的传播方向可以有两个方向．【来源：21cnj*y.co*m】
例3一列简谐横波t1时刻的波形如图5中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s．问：
(1)这列波的传播速度是多少？
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速是多大？
(3)若波速等于68 m/s，则波向哪个方向传播？
答案　(1)若波向右传播，v右＝(16n＋4) m/s(n＝0,1，2…)；若波向左传播，v左＝(16n＋12) m/s(n＝0,1,2…)【出处：21教育名师】
(2)60 m/s　(3)向右
解析　(1)有两组解：
若波向右传播，传播距离s＝(n＋)λ，故v右＝＝ m/s＝(16n＋4) m/s(n＝0,1,2…)；
若波向左传播，传播距离s′＝(n＋)λ，故v左＝＝ m/s＝(16n＋12) m/s(n＝0,1,2…)．
(2)因波向左传播，且3T<Δt<4T，则必有3λ(3)因波速v＝68 m/s，所以s＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝(4＋)λ，故波向右传播．21*cnjy*com
板块三. 光
一、光的折射和全反射
光的折射和全反射的问题主要有作光路图、折射率的计算、全反射判断、色散及相关计算．在分析解题时，要注意确定临界角，判断是否会发生全反射．21教育网
(1)折射问题的计算：根据折射定律及相应规律，作出光路图；运用有关公式或几何关系进行相应计算．
(2)用折射定律解释光现象：先画出光路图，正确找出入射角和折射角的大小关系，然后再根据实际情况分析讨论．
(3)全反射问题：在解释全反射现象或运用全反射原理求解有关实际问题时，首先要注意确定临界角，判断是否满足全反射条件，再根据相关规律及几何关系进行判断或计算．
例1　如图1所示是一透明的折射率为n＝的圆柱体，其半径R＝20 cm，O点为圆心，AB为其中的一直径，今有一束平行光沿平行于AB方向射向圆柱体，已知真空中光速为c＝3.0×108 m/s.
图1
(1)求光在圆柱体中的传播速度；
(2)假如在该平行光中有一光线经圆柱体折射后刚好到达B点，则该光线在圆柱体中的传播时间为多少？
答案　(1)×108 m/s　(2)2×10－9 s
解析　(1)光在该圆柱体中的传播速度为v＝＝×108 m/s.
(2)假设光线PC经折射后经过B点，光路图如图所示．
假设入射角为α，折射角为β，则由折射定律有
n＝＝
又由几何关系有α＝2β
解得α＝60°，β＝30°
则BC＝2Rcos β＝R＝ m
所以t＝＝2×10－9 s.
二、介质折射率的测定
测折射率常见的方法有成像法、插针法及全反射法，不管哪种方法其实质相同，由折射定律n＝知，只要确定出入射角及折射角，即可测出介质的折射率．21·世纪*教育网
例2　学校开展研究性学习，某研究小组的同学根据所学的光学知识，设计了一个测量液体折射率的仪器，如图2所示，在一圆盘上，过其圆心O作两条互相垂直的直径BC、EF，在半径OA上，垂直盘面插下两枚大头针P1、P2，并保持P1、P2位置不变，每次测量时让圆盘的下半部分竖直浸入液体中，而且总保持液面与直径BC相平，EF作为界面的法线，而后在图中右上方区域观察P1、P2的像，并在圆周上插上大头针P3，使P3正好挡住P1、P2的像，同学们通过计算，预先在圆周EC部分刻好了折射率的值，这样只要根据P3所插的位置，就可直接读出液体折射率的值，则：(1)若∠AOF＝30°，OP3与OC的夹角为30°，则P3处所对应的折射率的值为__________．
(2)图中P3、P4两位置哪一处所对应的折射率的值大？
答：________________________________________________________________________.【版权所有：21教育】
(3)作AO的延长线交圆周于K，K处所对应的折射率的值应为________．
答案　(1)　(2)P4　(3)1
解析　(1)根据折射定律n＝，题中θ1＝∠EOP3＝60°，θ2＝∠AOF＝30°，
所以n＝＝.
(2)题图中P4对应的入射角大于P3所对应的入射角，所以P4对应的折射率的值大．
(3)因A、O、K在一条直线上，入射角等于折射角，所以K处对应的折射率的值应为1.
针对训练1　某同学利用“插针法”测定玻璃的折射率，所用的玻璃砖两面平行．正确操作后，作出的光路图及测出的相关角度如图3所示．(1)此玻璃的折射率计算式为n＝________(用图中的θ1、θ2表示)；(2)如果有几块宽度大小不同的平行玻璃砖可供选择，为了减小误差，应选用宽度________(填“大”或“小”)的玻璃砖来测量．21教育名师原创作品
答案　(1)或　(2)大
解析　(1)据题意可知入射角为(90°－θ1)，折射角为(90°－θ2)，则玻璃的折射率为n＝＝；(2)玻璃砖越宽，光线在玻璃砖内的传播方向越容易确定，测量结果越准确，故应选用宽度大的玻璃砖来测量．
三、光的干涉
1．产生干涉的条件：两列频率相同、相位差恒定、振动情况相同的光．
2．产生亮、暗条纹的条件：当Δr＝kλ时出现亮条纹；当Δr＝(2k＋1)时出现暗条纹(其中k＝0,1,2,3……)．相邻亮(或暗)条纹间距：Δx＝λ.
3．干涉图样特点：单色光照射时为间距相同的明暗相间的条纹，白光照射时为彩色条纹．
4．薄膜干涉：(1)薄膜干涉中的条纹是从薄膜前、后两个表面反射的光在光源一侧干涉形成的．(2)同一条纹对应薄膜厚度相同，所以用竖直肥皂薄膜做实验，条纹为横条纹．
例3　如图4所示为双缝干涉实验，甲图为用黄光照射时的结果，a为中央亮条纹，a′为相邻亮条纹；乙图为换用另一种单色光照射的结果，a为中央亮条纹，a′为相邻亮条纹，两次实验中双缝间距和双缝到屏的距离相等，以下说法正确的是(　　)
A．乙图可能是用红光照射，表明红光波长较长
B．乙图可能是用蓝光照射，表明蓝光波长较长
C．乙图可能是用蓝光照射，表明蓝光波长较短
D．乙图可能是用红光照射，表明红光波长较短
答案　C解析　由题图知甲图中条纹间距大，由Δx＝λ可知，在l和d相同的情况下，Δx大，则λ大；Δx小，则λ小，所以乙图中所用单色光波长较短，因蓝光比黄光波长短，故选项C正确．
例题.如图所示是a、b两光分别经过同一双缝干涉装置后在屏上形成的干涉图样，则( )

A．在同种均匀介质中，a光的传播速度比b光的大
B．从同种介质射入真空发生全反射时a光临界角大
C．照射在同一金属板上发生光电效应时，a光的饱和电流大
D．若两光均由氢原子能级跃迁产生，产生a光的能级能量差大
【答案】D 【解析】由干涉条纹间距Δx＝·L可知，λa<λb，νa>νb同种均匀介质，对频率大的波折射率更大即na>nb，光在介质中的传播速度v＝，故vaEb，D正确．
四、光的颜色与光的色散
1．不同色光的波长和频率不同：由红光到紫光，波长逐渐减小，频率逐渐变大．
2．同一种介质对不同色光的折射率不同，红光的折射率最小，紫光的折射率最大．
3．对于同一个双缝干涉装置，不同色光产生的条纹间距不同，红光的条纹间距最大，紫光的条纹间距最小．
例4　如图5，半圆形玻璃砖置于光屏PQ的左下方．一束白光沿半径方向从A点射入玻璃砖，在O点发生反射和折射，折射光在光屏上呈现七色光带，a、b是其中的两单色光．若入射点由A向B缓慢移动，并保持白光沿半径方向入射到O点，观察到各色光在光屏上陆续消失．下面说法正确的是(　　)
A．紫光最先消失
B．红光最先消失
C．a光在玻璃中的传播速度小于b光在玻璃中的传播速度
D．通过同一双缝发生干涉，a光相邻条纹间距小于b光相邻条纹间距
答案　A解析　玻璃对紫光的折射率最大，由sin C＝可知，紫光发生全反射的临界角最小，故紫光最先消失，选项A对，B错；由题图可知，玻璃对a光的折射率比对b光的折射率小，由n＝得v＝，故a光在玻璃中的传播速度大于b光在玻璃中的传播速度，选项C错；由题图可知，玻璃对a光的偏折程度较小，故a光波长较长，若通过同一双缝发生干涉，a光相邻条纹间距大于b光相邻条纹间距，选项D错．【来源：21·世纪·教育·网】
练习3．(2017·江苏徐州、宿迁、连云港、淮安四市模拟)下列说法正确的有(　　)
A．光的偏振现象说明光是横波
B．阳光下肥皂泡呈现彩色是光的干涉现象
C．受迫振动的频率与振动系统的固有频率有关
D．变化的磁场一定产生变化的电场
(2)一列简谐横波沿x轴传播，某时刻的波形如图7所示，此时P点的振动方向沿y轴正方向，振动周期为0.4 s。该波沿x轴________(选填“正”或“负”)方向传播，波速为________m/s。www.21-cn-jy.com

图7 图8
(3)如图8所示，一束光以45°的入射角从AB面射入三棱镜中，棱镜的折射率n＝，光在真空中的传播速度c＝3.0108m/s。求：21cnjy.com
①光在棱镜中的传播速度；
②光在棱镜中的折射角。
练习3解析　(1)光的偏振现象说明光是横波，选项A正确；阳光下肥皂泡呈现彩色是光的干涉现象，选项B正确；受迫振动的频率与振动系统的固有频率无关，选项C错误；均匀变化的磁场产生恒定的电场，选项D错误。
(2)该波沿x轴正方向传播，
波速v＝＝ m/s＝10 m/s。
(3)①由n＝，得v＝2.1108 m/s
②设折射角为r
由n＝
得r＝30°。
答案　(1)AB　(2)正　10　(3)①2.1108 m/s　②30°