13.3.1等腰三角形课时作业（1）
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13.3.1等腰三角形课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，△ABC中，AB=AC，BD=CD，下列说法不正确的是( )
A．∠BAD=∠BAC B．AD=BC C．∠B=∠C D．AD⊥BC
等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）
A． 25° B． 40° C． 25°或40° D． 不能确定
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B． 54° C． 18° D． 64°
如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定
如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E．则∠EDC的大小是（ ）
A． 20° B． 30° C． 40° D． 50°
如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
二 、填空题
等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为_________________ ．
已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为1cm，则腰长为 ．
如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝__________.
如图，已知S△ABC=10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E,连接CD，则S△ADC=____________m2．
如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为 ．
如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为_______度．
已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
三 、解答题
如图，在△中,点E是AC上一点,DE∥BC,∠1=∠B,AD=AE.求证:AB=BC.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
如图，中，，．
Ⅰ作图：在CB上截取，连接AD，过点D作，垂足为E；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
Ⅱ求的度数．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AD=BD．
（1）试说明DC=DE；
（2）求∠B的度数．
答案解析
一 、选择题
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠BAC，故本选项错误；
B、AD、BC的大小关系无法确定，故本选项正确；
C、∵AB=AC，
∴∠B=∠C，故本选项错误；
D、∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
【考点：】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】 题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；
当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；
故选C．
点评： 此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
【考点】等腰三角形的性质．.
【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°﹣36°=54°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD=65°，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠CAD=65°，
∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．
【考点】等腰三角形的性质,三角形的三边关系
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为15和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
（1）若7为腰长，15为底边长，由于7+7＜15，则三角形不存在；
（2）若15为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，
所以这个三角形的周长为15+15+7=37；
故选A．
【点评】题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
【考点】等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
【分析】?根据等腰三角形的性质得出∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，求出∠ADC=90°，根据DE⊥AC和三角形的内角和定理求出∠ADE=70°，代入∠EDC=∠ADC-∠ADE求出即可．
解：∵AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，
∴∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°﹣∠CAD=70°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣70°=20°，
故选A．
【点评?】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出∠ADC和∠ADE的度数，题目比较好，难度适中．
【考点】三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质
【分析】利用三角形全等的判定方法可以证得△ABE≌△ACD和△ABD≌△ACE．
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD+DE=CE+DE
即：BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴图中全等的三角形共有2对，
选C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案．
解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，选项B正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，选项C正确；
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，
∴选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
二 、填空题
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】 已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：当50°的角为底角时，只一个底角也为50°，顶角=180°﹣2×50×=80°；
当50°的角为顶角时，底角=（180°﹣50°）÷2=65°．
故答案为：50°，80°或65°，65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质．
【分析】设腰长为x，分腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和大与小两种情况讨论求解即可．
解：设腰长为x cm，
①腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和大时，
x+x﹣（x+5）=1，
解得x=6cm，
②腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和小时，
x+5﹣（x+x）=1，
解得x=4cm，
综上所述，腰长为6cm或4cm．
故答案为：6cm或4cm．
【点评】本题考查了三角形的中线，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
【考点】三角形内角和定理，三角形外角与外角性质，等腰三角形的性质．
【分析】由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解． 解：∵∠BAD=80°，AB=AD=DC， ∴∠ABD=∠ADB=50°， 由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°-∠ADB=130°， 又∵AD=DC， ∴∠C=∠DAC=12（180°-∠ADC）=25°， ∴∠C=25°．
【考点】等腰三角形的性质，三角形面积的计算
【分析】根据三线合一定理得出点D为BE的中点，然后根据等底同高的三角形面积相等的性质得出，，从而得出答案．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴△ABE为等腰三角形，点D为BE的中等，
∴根据等底同高的性质可得：，，
∴．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形面积的计算，属于中等难度的题型．根据三线合一定理得出点D为中点是解决这个问题的关键．
【考点】等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，且A1B=4，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．
解：由折叠的性质可得AE=A1E，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，
∴AB=8，
∵A1为BC的中点，
∴A1B=4，
设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．
【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的一个外角的性质，三角形的内角和定理
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝CD，等边对等角可得∠DAC＝∠C，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB＝∠C＋∠DAC，再次根据等边对等角可得可得∠ADB＝∠BAD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
解：∵DM垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝28°＋28°＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝56°，
在△ABD中，∠B＝180°?∠BAD?∠ADB＝180°?56°?56°＝68°．
故答案为：68．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边的关系
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．
解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
三 、解答题
【考点】等腰三角形的判定与性质，平行线的性质
【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠D=∠AED，再利用平行线的性质求出∠AED=∠C，利用等量代换和∠1=∠B求出∠D=∠BAC=∠C，利用等腰三角形的判定得出结论
解:∵AD=AE,
∴∠D=∠AED,
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C
∵∠1=∠B,
∴∠D+∠AED=∠C+∠BAC,
∴∠D=∠BAC=∠C
∴AB=BC.
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由等腰三角形“三线合一”得到∠DAE的度数，再由直角三角形的两锐角互余得到结论．
解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC＝25°．
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°．
【考点】全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．
证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM（SAS），
∴MD=ME．
【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【分析】(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．
(1)、证明：∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)、解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．
【考点】查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【分析】（Ⅰ）以C为圆心CA为半径画弧交CB于D，作即可；
Ⅱ先由等腰三角形的性质求出，再在在中根据直角三角形两锐角互余计算即可；
解：Ⅰ如图，点D就是所求作的点，线段AD，DE就是所要作的线段．
Ⅱ，
，
在中，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；
（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解：（1）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DC=DE；
（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
解得∠B=30°．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质是解题关键．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，△ABC中，AB=AC，BD=CD，下列说法不正确的是( )
A．∠BAD=∠BAC B．AD=BC C．∠B=∠C D．AD⊥BC
等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）
A． 25° B． 40° C． 25°或40° D． 不能确定
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B． 54° C． 18° D． 64°
如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定
如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E．则∠EDC的大小是（ ）
A． 20° B． 30° C． 40° D． 50°
如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
二 、填空题
等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为_________________ ．
已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为1cm，则腰长为 ．
如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝__________.
如图，已知S△ABC=10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E,连接CD，则S△ADC=____________m2．
如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为 ．
如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为_______度．
已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
三 、解答题
如图，在△中,点E是AC上一点,DE∥BC,∠1=∠B,AD=AE.求证:AB=BC.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
如图，中，，．
Ⅰ作图：在CB上截取，连接AD，过点D作，垂足为E；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
Ⅱ求的度数．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AD=BD．
（1）试说明DC=DE；
（2）求∠B的度数．
答案解析
一 、选择题
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠BAC，故本选项错误；
B、AD、BC的大小关系无法确定，故本选项正确；
C、∵AB=AC，
∴∠B=∠C，故本选项错误；
D、∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
【考点：】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】 题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；
当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；
故选C．
点评： 此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
【考点】等腰三角形的性质．.
【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°﹣36°=54°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD=65°，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠CAD=65°，
∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．
【考点】等腰三角形的性质,三角形的三边关系
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为15和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
（1）若7为腰长，15为底边长，由于7+7＜15，则三角形不存在；
（2）若15为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，
所以这个三角形的周长为15+15+7=37；
故选A．
【点评】题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
【考点】等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
【分析】?根据等腰三角形的性质得出∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，求出∠ADC=90°，根据DE⊥AC和三角形的内角和定理求出∠ADE=70°，代入∠EDC=∠ADC-∠ADE求出即可．
解：∵AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，
∴∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°﹣∠CAD=70°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣70°=20°，
故选A．
【点评?】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出∠ADC和∠ADE的度数，题目比较好，难度适中．
【考点】三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质
【分析】利用三角形全等的判定方法可以证得△ABE≌△ACD和△ABD≌△ACE．
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD+DE=CE+DE
即：BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴图中全等的三角形共有2对，
选C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案．
解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，选项B正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，选项C正确；
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，
∴选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
二 、填空题
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】 已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：当50°的角为底角时，只一个底角也为50°，顶角=180°﹣2×50×=80°；
当50°的角为顶角时，底角=（180°﹣50°）÷2=65°．
故答案为：50°，80°或65°，65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质．
【分析】设腰长为x，分腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和大与小两种情况讨论求解即可．
解：设腰长为x cm，
①腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和大时，
x+x﹣（x+5）=1，
解得x=6cm，
②腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和小时，
x+5﹣（x+x）=1，
解得x=4cm，
综上所述，腰长为6cm或4cm．
故答案为：6cm或4cm．
【点评】本题考查了三角形的中线，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
【考点】三角形内角和定理，三角形外角与外角性质，等腰三角形的性质．
【分析】由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解． 解：∵∠BAD=80°，AB=AD=DC， ∴∠ABD=∠ADB=50°， 由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°-∠ADB=130°， 又∵AD=DC， ∴∠C=∠DAC=12（180°-∠ADC）=25°， ∴∠C=25°．
【考点】等腰三角形的性质，三角形面积的计算
【分析】根据三线合一定理得出点D为BE的中点，然后根据等底同高的三角形面积相等的性质得出，，从而得出答案．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴△ABE为等腰三角形，点D为BE的中等，
∴根据等底同高的性质可得：，，
∴．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形面积的计算，属于中等难度的题型．根据三线合一定理得出点D为中点是解决这个问题的关键．
【考点】等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，且A1B=4，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．
解：由折叠的性质可得AE=A1E，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，
∴AB=8，
∵A1为BC的中点，
∴A1B=4，
设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．
【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的一个外角的性质，三角形的内角和定理
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝CD，等边对等角可得∠DAC＝∠C，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB＝∠C＋∠DAC，再次根据等边对等角可得可得∠ADB＝∠BAD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
解：∵DM垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝28°＋28°＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝56°，
在△ABD中，∠B＝180°?∠BAD?∠ADB＝180°?56°?56°＝68°．
故答案为：68．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边的关系
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．
解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
三 、解答题
【考点】等腰三角形的判定与性质，平行线的性质
【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠D=∠AED，再利用平行线的性质求出∠AED=∠C，利用等量代换和∠1=∠B求出∠D=∠BAC=∠C，利用等腰三角形的判定得出结论
解:∵AD=AE,
∴∠D=∠AED,
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C
∵∠1=∠B,
∴∠D+∠AED=∠C+∠BAC,
∴∠D=∠BAC=∠C
∴AB=BC.
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由等腰三角形“三线合一”得到∠DAE的度数，再由直角三角形的两锐角互余得到结论．
解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC＝25°．
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°．
【考点】全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．
证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM（SAS），
∴MD=ME．
【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【分析】(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．
(1)、证明：∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)、解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．
【考点】查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【分析】（Ⅰ）以C为圆心CA为半径画弧交CB于D，作即可；
Ⅱ先由等腰三角形的性质求出，再在在中根据直角三角形两锐角互余计算即可；
解：Ⅰ如图，点D就是所求作的点，线段AD，DE就是所要作的线段．
Ⅱ，
，
在中，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；
（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解：（1）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DC=DE；
（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
解得∠B=30°．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质是解题关键．