13.3.2 等边三角形课时作业（1）
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13.3.2等边三角形课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形
已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形C． 等腰三角形 D． 等边三角形
在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（ ）
A． B． C． D．
如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300°
已知下列命题：
①若＞1，则a＞b；
②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为( )
A．60° B．45° C．40° D．30°
如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为( )
A． 120° B． 135° C． 145° D． 150°
如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
二 、填空题
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD=________，BD=________AB．
等边三角形的周长是30cm，一边上的高是5 cm，则该三角形的面积为________?cm2 ．
如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．
如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于 ．
如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为 ．
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．
如图，在平面直角坐标系中，△AA1C1是边长为1的等边三角形，点C1在y轴的正半轴上，以AA2=2为边长画等边△AA2C2；以AA3=4为边长画等边△AA3C3，…，按此规律继续画等边三角形，则点An的坐标为．
三 、解答题
如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC ．
已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ.求证：△PCQ为等边三角形．
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．
图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；
如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗？说明理由；
如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？
说明理由．
（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
答案解析
一 、选择题
【考点】 等边三角形的判定．
【分析】 根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
【点评】 本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【考点】等边三角形的判定；轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．
解：根据轴对称的性质可知，
OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：D．
【点评】主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质．轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=AC，进而得到AD=．
解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴AD=AC，
∵△ABC周长为m，
∴AD=，
故选B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．
【考点】等边三角形的性质；多边形内角与外角．
【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°﹣60°=120°；
∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；
故选C．
【点评】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题
【考点】命题与定理．
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可．
解：∵当b＜0时，如果＞1，那么a＜b，∴①错误；
∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，
故选A．
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质．
【分析】延长AC交直线m于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3=60°﹣∠1=60°﹣20°=40°，
∵l∥m，
∴∠2=∠3=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质
【分析】先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ABC＝60°，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ADB、∠BDC，然后根据∠ADC＝∠ADB＋∠BDC求解即可．
解：∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC＝BD，
∴∠ADB＝（180°?∠ABD），
∠BDC＝（180°?∠CBD），
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC，
＝（180°?∠ABD）＋（180°?∠CBD），
＝（180°＋180°?∠ABD?∠CBD），
＝（360°?∠ABC），
＝180°?×60°，
＝150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角形两底角相等，要注意整体思想的利用．
【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定
【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出∠ABD=∠AOB=60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．
解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
同①的方法得出OA∥BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选：A．
二 、填空题
【考点】等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=BC，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得答案．
解：∵△ABC是等边三角形， ∵∠BAC=60°，AB=BC，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD= ∠BAC=30°，BD= CB= AB，
故答案为：30°； ．
【考点】等边三角形的性质
【分析】首先根据周长可求边长，然后根据三角形面积公式求出面积即可．
解：∵等边三角形的周长是30厘米， ∴边长为10厘米．
∵高是5 厘米，
∴三角形的面积=10×5 ÷2=25 （cm2）．
故答案为25 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故答案为：60．
【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．
解：过点A作AD∥l1，如图，
则∠BAD=∠β．
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∵∠DAC=∠α=40°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．
故答案为20°．
【考点】作图—基本作图，等边三角形的判定和性质
【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；
解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC，
∴S△ADC=S△ABD=×62=9，
故答案为9．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，
∴BC=2CD=2，
故答案为2
【考点】 规律型：点的坐标；等边三角形的性质．
【分析】 由图可知：纵坐标都为0，点A1的横坐标为0.5，点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，…由此得出点An的横坐标为2n﹣1﹣0.5，解决问题．
解：∵点A1的横坐标为0.5=1﹣0.5，
点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，
点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，
点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，
…
∴点An的横坐标为2n﹣1﹣0.5，纵坐标都为0，
∴点An的坐标为（2n﹣1﹣0.5，0）．
故答案为：（2n﹣1﹣0.5，0）．
【点评】此题考查点的坐标规律，等边三角形的性质，找出点的横坐标变化的规律是解决问题的关键．
三 、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【分析】利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，然后即可得出BE=DC．
证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°， ∴∠DAC=∠BAC+60°， ∠BAE=∠BAC+60°， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中，
AD=AB，∠DAC=∠BAE，AE=AC
∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴BE=DC．
【点评】此题考查学生对全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解与掌握，难度不大，是一道基础题．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【分析】由C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，利用SAS易证得△ACD≌△BCE，继而可证得△ACP≌△BCQ，则可得CP=CQ，又由∠BCD=60°，即可证得：△PCQ为等边三角形．
证明：如图，
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.
∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3，
即∠ACD＝∠BCE.
又∵C在线段AE上，
∴∠3＝60°.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE.
∴∠1＝∠2.
在△APC和△BQC中，
∴△APC≌△BQC.
∴CP＝CQ.
∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据BM=CN可得CM=AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA=∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM=∠ACB=60°，即可解题．
证明：∵BM=CN，BC=AC，
∴CM=AN，
又∵AB=AC，∠BAN=∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA=∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，
∴∠AQN=∠ACB，
∵∠BQM=∠AQN，
∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°．
【考点】 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】 题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等．
解：（1）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．
（2）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC
又∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
（3）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
【考点】 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；
（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；
（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．
解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
故答案为125°；
（2）同意．
如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（3）由题意得出：
∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，由对称性可知，
MF=PF，
∴NF=PF，
而由题意得出：MP=MN，MF=MF，
在△MNF和△MPF中，
∵，
∴△MNF≌△MPF（SSS），
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
即3∠MNF=180°，
∴∠MNF=60°，
【点评】 此题的综合性较强，综合运用了折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形
已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形C． 等腰三角形 D． 等边三角形
在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（ ）
A． B． C． D．
如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300°
已知下列命题：
①若＞1，则a＞b；
②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为( )
A．60° B．45° C．40° D．30°
如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为( )
A． 120° B． 135° C． 145° D． 150°
如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
二 、填空题
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD=________，BD=________AB．
等边三角形的周长是30cm，一边上的高是5 cm，则该三角形的面积为________?cm2 ．
如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．
如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于 ．
如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为 ．
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．
如图，在平面直角坐标系中，△AA1C1是边长为1的等边三角形，点C1在y轴的正半轴上，以AA2=2为边长画等边△AA2C2；以AA3=4为边长画等边△AA3C3，…，按此规律继续画等边三角形，则点An的坐标为．
三 、解答题
如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC ．
已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ.求证：△PCQ为等边三角形．
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．
图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；
如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗？说明理由；
如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？
说明理由．
（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
答案解析
一 、选择题
【考点】 等边三角形的判定．
【分析】 根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
【点评】 本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【考点】等边三角形的判定；轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．
解：根据轴对称的性质可知，
OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：D．
【点评】主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质．轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=AC，进而得到AD=．
解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴AD=AC，
∵△ABC周长为m，
∴AD=，
故选B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．
【考点】等边三角形的性质；多边形内角与外角．
【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°﹣60°=120°；
∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；
故选C．
【点评】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题
【考点】命题与定理．
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可．
解：∵当b＜0时，如果＞1，那么a＜b，∴①错误；
∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，
故选A．
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质．
【分析】延长AC交直线m于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3=60°﹣∠1=60°﹣20°=40°，
∵l∥m，
∴∠2=∠3=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质
【分析】先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ABC＝60°，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ADB、∠BDC，然后根据∠ADC＝∠ADB＋∠BDC求解即可．
解：∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC＝BD，
∴∠ADB＝（180°?∠ABD），
∠BDC＝（180°?∠CBD），
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC，
＝（180°?∠ABD）＋（180°?∠CBD），
＝（180°＋180°?∠ABD?∠CBD），
＝（360°?∠ABC），
＝180°?×60°，
＝150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角形两底角相等，要注意整体思想的利用．
【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定
【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出∠ABD=∠AOB=60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．
解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
同①的方法得出OA∥BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选：A．
二 、填空题
【考点】等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=BC，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得答案．
解：∵△ABC是等边三角形， ∵∠BAC=60°，AB=BC，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD= ∠BAC=30°，BD= CB= AB，
故答案为：30°； ．
【考点】等边三角形的性质
【分析】首先根据周长可求边长，然后根据三角形面积公式求出面积即可．
解：∵等边三角形的周长是30厘米， ∴边长为10厘米．
∵高是5 厘米，
∴三角形的面积=10×5 ÷2=25 （cm2）．
故答案为25 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故答案为：60．
【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．
解：过点A作AD∥l1，如图，
则∠BAD=∠β．
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∵∠DAC=∠α=40°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．
故答案为20°．
【考点】作图—基本作图，等边三角形的判定和性质
【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；
解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC，
∴S△ADC=S△ABD=×62=9，
故答案为9．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，
∴BC=2CD=2，
故答案为2
【考点】 规律型：点的坐标；等边三角形的性质．
【分析】 由图可知：纵坐标都为0，点A1的横坐标为0.5，点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，…由此得出点An的横坐标为2n﹣1﹣0.5，解决问题．
解：∵点A1的横坐标为0.5=1﹣0.5，
点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，
点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，
点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，
…
∴点An的横坐标为2n﹣1﹣0.5，纵坐标都为0，
∴点An的坐标为（2n﹣1﹣0.5，0）．
故答案为：（2n﹣1﹣0.5，0）．
【点评】此题考查点的坐标规律，等边三角形的性质，找出点的横坐标变化的规律是解决问题的关键．
三 、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【分析】利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，然后即可得出BE=DC．
证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°， ∴∠DAC=∠BAC+60°， ∠BAE=∠BAC+60°， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中，
AD=AB，∠DAC=∠BAE，AE=AC
∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴BE=DC．
【点评】此题考查学生对全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解与掌握，难度不大，是一道基础题．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【分析】由C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，利用SAS易证得△ACD≌△BCE，继而可证得△ACP≌△BCQ，则可得CP=CQ，又由∠BCD=60°，即可证得：△PCQ为等边三角形．
证明：如图，
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.
∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3，
即∠ACD＝∠BCE.
又∵C在线段AE上，
∴∠3＝60°.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE.
∴∠1＝∠2.
在△APC和△BQC中，
∴△APC≌△BQC.
∴CP＝CQ.
∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据BM=CN可得CM=AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA=∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM=∠ACB=60°，即可解题．
证明：∵BM=CN，BC=AC，
∴CM=AN，
又∵AB=AC，∠BAN=∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA=∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，
∴∠AQN=∠ACB，
∵∠BQM=∠AQN，
∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°．
【考点】 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】 题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等．
解：（1）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．
（2）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC
又∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
（3）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
【考点】 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；
（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；
（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．
解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
故答案为125°；
（2）同意．
如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（3）由题意得出：
∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，由对称性可知，
MF=PF，
∴NF=PF，
而由题意得出：MP=MN，MF=MF，
在△MNF和△MPF中，
∵，
∴△MNF≌△MPF（SSS），
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
即3∠MNF=180°，
∴∠MNF=60°，
【点评】 此题的综合性较强，综合运用了折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．