数系的扩充和复数的概念 学案
学习目标：了解数系的扩充历程；掌握复数的相关概念及其分类及复数相等的充要条件.
学习重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．
创设情境：回顾数系的扩充历程：从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。
在自然数集中，加法和乘法总可以实施，由于小的数不能减大的数，要使有
解，从而引入_______，从而将自然数集扩充到了整数集；在整数集中，加法、减法和
乘法总可以实施，由于除法只能解决整除问题，要使方程有解，为此引入
______，从而将整数集扩充到了有理数集；在有理数集里加、减、乘和除（除数不为0）
总可以实施；要使有解，为此引入_______，从而将有理数集扩充到了实数集。
以上数系扩充的过程是：每一次数系的概念发展，都是在原来数集的基础上 “添
加”一种新的数，使在新的数集中原来的运算和性质仍然使用。同时，解决了在某些
运算在原来的数集不是总可以实施的矛盾。
思考：一元二次方程在实数集范围内的解是？ 我们能否将实数集进行扩充，使得
在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
学习任务：阅读教材第102—103页的有关内容，并完成下列问题 ：
问题1、回答上面的思考.
问题2、把实数和新引入的数i像实数那样进行加法、乘法运算，并希望运算时有关的运
算仍成立，我们得到了什么样的数？
问题3、你能说出什么是复数，虚数单位，复数的实部、虚部，复数的代数形式吗？
问题4、两个复数能否比较大小？如何定义两个复数相等？
问题5、你觉得复数z=a+bi在什么条件下是实数？虚数？纯虚数？
问题6、动手做例1，并完成P104练习1、2、3，P106 A组1、2
复数的几何意义 学案
学习目标：能够类比实数的几何意义说出复数几何意义；会利用几何意义求复数的模.
学习重点: 复数的几何意义以及复数的模.
学习任务: 阅读教材第104、105页的有关内容，并完成下列问题：
问题1、复数相等的充要条件表明，任何一个复数a+bi都可以由一个有序实数对（a,b）
唯一确定，而有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，
我们怎样用平面内的点来表示复数呢？
问题2、我们知道平面直角坐标系中的A与以原点O为起点位、A为终点的向量OA是一
一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？
问题3、我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上 与这个实数对应的点到原点的
距离，任何一个向量都有模，它表示向量的长度，相应地，你可以给出复数的模
的概念吗？它又有什么几何意义呢？
问题4、满足| z |=5（z∈C）的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
满足3<| z |<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？
问题5、P105 练习，P106 A组4、5、6
§3.1.2 复数的几何意义学案
学习目标 ：理解复数的几何意义，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.
学习重点：理解复数的几何意义。
知识链接与引入：
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.
结论：复数与平面内的点或有序实数一一对应.
学习探究（阅读课本第52页到第53页）：
1.复平面的概念：以轴为 ，以 轴为 建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.
2. 复数的几何意义: 在复平面内
①象限内的点（a,b）表示复数 ；点表示复数 点表示复数
复复数z=－5－3i对应的点______________，
②实轴上的点都表示 数；例如点表示 ，
③ 原点表示
④除 外，虚轴上的点都表示 数. 例如虚轴上的点表示 复数z=－3i对应的点______。
由此知，.复数复平面内的点；
又因为，复平面内的点平面向量，所以
注意：人们常将复数说成点或向量，
规定.相等的向量表示同一复数
3. 复数的模
的模叫做复数的模,记作 或
如果,那么是一个实数,它的模等于(就是的绝对值),
由模的定义知:
4 .习题训练
题组1： P54：练习1、2 、 3
题组2：P55，习题3.1 A组：4 5
变式：若复数表示的点（1）在虚轴上，求实数的取值；（2）在右半平面呢？
题组3：P55 B组：1、2
变式：设满足下列条件的点的集合是什么图形？
①； ②
选做题：练习册P30：随堂练习
五、小结与反思：
§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义学案
一、学习目标：1.掌握复数代数式的加减运算法则，并能熟练地进行复数代数式形式的加减运算；
2.理解并掌握复数加法、减法的几何意义及其应用。
二、学习重点：复数加减法运算。
三、学习任务： （阅读P56-P57，完成下列任务）
（一）复数加减法法则
1.设，两个复数的和的结果是 .
2．写出复数加法的运算律并证明。
3．你能应用复数的加法运算得出复数减法运算法则吗？
（二）复数加减法的几何意义
（1）
=______=_________________________________。
（2）类比（1）______________________并在上图中作出结果，对应的复数为_______________________，由此知，的几何意义是_________________________________；=______=______________________。
2.试一试：设
（1）则；（2）在图上作出。
（三）习题巩固
题组1：阅读例1，P58练习1，P61习题1； 题组2：P58练习2，P61习题2、3
题组3：1.计算（1）（2） （3）
2.练习册P32页随堂训练
3.若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
复数代数形式的乘除运算
教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算，难点突破：
知识点复习(预习时完成)
复数代数形式的加法法则：
复数代数形式的减法法则：
复数的加法法则满足的运算律：
复数的加减法的几何意义：
二、探索新知 (预习时完成)
1、计算：（1） （2）
类比多项式的乘法，复数的乘法应怎样计算？两个复数乘积的结果是什么？
2、复数的乘法法则：
例1、计算: (1) (2)
(3) (4)
乘法运算律(预习时完成)
复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni
则z1·z2=(a+bi)(c+di)= = =
而z2·z1=(c+di)(a+bi)= = =
∴
对任意z1 , z2 , z3 ∈C. 有
z1·z2= (交换律)
(z1·z2)·z3= (结合律)
z1(z2+z3)= (分配律)
练习：(1) (1+i)2 (2)(3+4i)(3-4i)(可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算)
3、共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作:
练习：说出下列复数的共轭复数
思考:若z1 , z2是共轭复数，那么
(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（画图）
(2)z1·z2是一个怎样的数？
(3)类比，试写出复数的除法法则。
4、复数的除法法则
(其中叫做实数化因式)
例2. 计算(1+2i) ÷(3-4i)
练习：计算(1)， (2)
(3) (1-2i)(3+4i)(-2+i) (4)
(5) (6)
5、高考典例：
1.(2010全国)复数( )
A．i B.-I C.12-13i D.12+13i
2.(2010安徽)( )
A. B. C. D.
三、作业：
1．计算（1） （2） （3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。
3．已知，为的共轭复数，若，求.
小结：本节课学到了什么？
3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）
一、学习目标：1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
学习重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
学习任务：（阅读P58-P60，完成下列任务）
（一）课前准备
计算： = ；= ；=
（二）复数代数形式的乘法运算
1.设，是任意两个复数，那么(a+bi)(c+di)=___________________
=___________________
即：两个复数相乘，类似于两个________相乘，只要在所得的结果中把___换成___，并且把_____________分别合并即可.
计算（1-2i）( 3+4i ) ( -2+i )，可以按【（1-2i）(3+4i)】(-2+i)进行计算；也可以按（1-2i）·[(3+4i)(-2+i)]进行计算，计算结果说明了什么问题 ？复数的乘法满足交换律吗？乘法对加法满足分配律吗？
计算（a+bi）(a-bi)，结果为a2+b2.在复数集内，你能将x2+y2分解因式吗？
（三）共轭复数
1.新知：当两个复数的____相等，虚部互为_______时，这两个复数叫做____共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________，共轭复数记作：________
2.试试：的共轭复数为 的共轭复数为 的共轭复数为
3.问：若是共轭复数，那么（1）它们的模相等吗（2）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为： （3）是一个怎样的数？
（四）复数的除法法则
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探求复数除法法则。
习题巩固
题组1：P60练习1、2 P61习题4
题组2：P60练习3 P61习题5
题组3： P61 B组 练习册P34随堂训练
