第二章推理与证明（一）学案
学习目标
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发
现中的作用；
2. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理；
3.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
合情推理（一）
三角形内角和是180°×（3-2），四边形的内角和是180°×（4-2），五角形的内角和是：
180°×（5-2）……
所以凸n边形的内角和是180°×（n-2）
上述推理具备怎样特点？
阅读课本P22-P24页例2完
1、什么叫推理？它由哪两部分组成？推理可分为哪几类？你能找到实际生活中推理运用吗？
2、你能通过引例，总结出归纳推理的概念吗？
3、阅读例1、例2 总结归纳推理的特点及其一般步骤。
4、由数列1，10，100，1000……猜测该数例第n项可能是：（ ）
巩固练习
（一）课本P30练习1、2 P35习题2.1 A组1-4 B组1
（二）练习册： 随堂训练 限时练习（三）
归纳反思
（1）总结归纳推理概念
（2）明确归纳推理特点及一般步骤
合情推理（二）
据科学史上的记载，光波概念的提出是将光和声这两种现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质，如直线传播，有反射和干扰等，又已知声是一种周期运动所引起的，呈波动状态，由此作出推理，光也可能呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念，上述推理过程具有怎样的特点呢？
阅读课本P24-P27完成下列任务
1、通过思考和探究总结类比推理的定义及特点，你能找出一些实际生活中用类比推理的实例吗？
2、通过思考和探究总结出类比推理的定义及特点，你能找出一些实际生活中用类比推理的实例吗？
3、通过例3和例4熟悉类比推理的应用并总结出类比推理的一般步骤。
4、类比推理与归纳推理有何异同？
5、下面使用类比推理是否恰当
（1）若a·3=b·3则a=b类推出若a·0=b·0,则a=b
（2）（a+b）·c=ac+bc，类推出（a·b）c=ac·bc
（3）（a+b）c=ac+bc,类推出
（4）（ab）n=anbn类推出（a+b）n=an+bn
巩固练习
（一）课本P30练习3 习题2.1 A组5、6
（二）练习册： 随堂训练 限时练习（四）
归纳反思
（1）类比推理的特点及基本步骤
（2）类比推理和归纳推理有何异同
合情推理（三）
在日常生活中人们常常需要进行各种推理，例如：医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，考古家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等，其中包含了推
理活动。
阅读课本P---P回答下列问题
1、什么是合情推理？
2、合情推理的过程是什么？
3、合情推理的特点是什么？
4、动手做例5回答P探究
巩固练习
1、已知数列，a=1,4a+1-a·a+1+2a=9试猜想这个数列的通项公式
2、已知数列的第1项，a=1且a+1=(n=1,2……)试归纳这个数列的通项公式
归纳反思
（1）合情推理的过程
（2）合情推理的特点
演绎推理学案
我们已经学习过的合情推理包括归纳推理和类比推理，这两种推理的特点就是从特殊出发得到新结论，但是结论不一定正确，那么如何推理能保证结论一定正确呢？
阅读课本P30-P33完成下列问题
1、通过引例，总结出演绎推理的概念。
2、演绎推理的一般模式是什么？它包括什么？并从引例中找出对应的三段。
3、动手做例6、例7体会演绎推理作用
4、演绎推理的特点是什么？
5、证明函数f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数。
巩固练习
（一）课本P33练习2、3 P35A组7
（二）练习册： 随堂训练 限时练习（五）
归纳反思
（1）总结演绎推理概念，明确其特点
（2）总结演绎推理的一般模式
高二数学选修 2-2 §2.1.1-合情推理1
一、学习任务
1．通过实例了解归纳推理的含义；
2．能利用归纳进行简单的推理；
3．体会归纳推理在数学发现中的作用．
二、新课探究
*问题1：阅读教材,对于哥德巴赫猜想你还知道一些什么请和大家分享一下？
问题2：你认为归纳推理的定义中哪些词语是关键词，你可以解释一下吗？
问题3：你觉得归纳推理的特点是什么？
技能提炼
蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.，由此你可以得到什么结论？怎么得到的？
*2.三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，由此你可以得到什么结论？怎么得到的？
3、
【总结】归纳推理的步骤：
变式反馈
1、由此你可以得到什么结论？怎么得到的？
*2、设函数观察：
根据以上事实，由归纳推理可得：当 。
第二章第一节 合情推理2 导学精要
一、学习任务
1．结合已学过的实例和生活中的实例，了解类比推理的含义；
2．能利用类比进行简单的推理．
二、新课探究
1、请你可以为大家出个归纳推理的题目？
2、从鲁班发明锯子的故事你认为他的思路想法是怎样的？你还知道鲁班的其他故事吗？
3、你由类比推理的定义可以分析出定义中的关键词并解释一下吗？
【技能提炼】
*1、将侧棱互相垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的直角面和斜面，过三棱锥的顶点及斜面两边的中点的截面均称为斜面的中面。直角三角形具有性质:“斜边的中线等于斜边的一半”，仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：
*2、若等差数列{an}的公差为d，前n项和为sn，则数列为等差数列，公差为，类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为 。
【思考】你认为两类事物的类比可以从哪些角度进行呢？
【总结】类比推理的步骤和归纳推理的联系区别：
变式反馈
1、试根据等式的性质类比猜想不等式的性质。
等式的性质： 不等式的性质
(1) a=b(a+c=b+c; （1）
(2) a=b( ac=bc; （2）
(3) a=b(a2=b2; （3）
*2、已知点是函数的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立。运用类比思想方法可知。若点是函数的图像上的不同两点，则类似地有 。
*3、设P是边长为a的正三角形ABC内一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3，则a；类比到空间，设P是棱长a为的正四面体ABCD内一点，则P点到四个面的距离之和= 。
4、一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，你认为它一定对吗？你可以举出一个例子吗？
高二数学选修 2-2 §2.1.2-演绎推理
一、学习任务
1．结合数学和生活的实例了解演绎推理的含义；
2．能正确地运用演绎推理进行简单的推理；
３．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
二、新课探究
自学探究 我们已经学习过的合情推理包括归纳推理和类比推理，这两种推理的特点就是从特殊出发得到新结论，但是结论不一定正确 ，那么如何推理能保证结论一定正确呢？
阅读课本P78-P81完成下列问题
问题一：通过引例，总结出演绎推理的概念。
问题二：演绎推理的一般模式是什么？它包括什么？并完成P81练习1
问题三：动手做例5、例6和边上“？”，体会演绎推理作用。
问题四：演绎推理的特点是什么？
问题五：如何用集合的观点理解“三段论”？
问题六：完成P80与P81思考？
【技能提炼】
*1、用三段论的形式写出下列演绎推理。
矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等。
是有理数
是周期函数
（4）函数的图象是一条抛物线
*2、请你举出一些用三段论的例子？
【思考】你认为演绎推理要注意些什么？
【总结】运用演绎推理的步骤：
变式反馈
1、请看下面的推理
因为指数函数是增函数，—大前提
而是指数函数， ——小前提
所以是增函数． ——结论
(1)、上面的推理形式正确吗？
(2)、推理的结论正确吗？为什么？
(3)、请你为小组出一个类似的推理过程？
*2、证明函数(x).是奇函数，并指出大、小前提和结论
必做题
P81 练习 2、3
P83 A组 6
选做题
1、在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥ BA，用三段论证明：ED=AF。
2、用三段论证明：通项公式an=a1+（n-1）d（a1，d为常数）的数列｛an｝是等差数 列。
3、证明函数f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数。
归纳反思
①总结演绎推理概念，明确其特点
高二数学选修 2-2 §2.2.2-分析法
一、学习任务
1. 结合已学过的实例，了解直接证明的方法——分析法，了解分析法的思考过程与特点。
理解分析法的思维过程和特点；
运用分析法证（解）题时，规范书写证明过程.
二、新课探究
自学探究（阅读教材相关内容，完成下面问题.）
自主学习
1．分析法的定义
从 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的 ，直到归结为这个命题的 ，或者归结为 、 、 等，把这样的思维方法称为分析法．
2．分析法的框图表示
3．分析法有何特点
(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件．
(2)若命题表示为“若A则D”则用分析法的思考顺序可表示为：要证D成立，只需证明C成立；要证C成立，只需证明B成立；……，最后得到一个明显成立的条件A或定理、公理等.
4.综合法与分析法有什么区别？
综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件，是由因索果；而分析法是从待求证的结论出发，逐步靠拢已知．每步寻找的是充分条件，是执果索因．
精讲互动：
例1．证明：在则是锐角．
例2.求证：.
例3.已知：是不相等的正数.求证：.
例3.求证：函数在区间上是增加的.
达标训练：
1．求证
２．已知，求证：（且）．
3.求证：
本节课收获
1.用分析法证明不等式
(1)当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更行之有效．另外对于恒等式的证明也同样可以运用．
(2)用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略
高二数学选修 2-2 §2.2.2-反证法
一、学习任务
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2.使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
二、新课探究
复习旧知
1.直接证明的两种基本证法：________________________
2.这两种基本证法的推证过程和特点是什么？
3.在实际解题时，两种方法如何运用？
预习新知
4.反正法是_____________的一种基本方法。
5.课本P89页思考，你能解释这种现象吗？
6.一般地，假设原命题________（即在原命题的条件之下，结论不成立），经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了____________________，这样的证明方法叫反证法。
7.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为____________
8.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______
矛盾，或与___________________________________矛盾等。
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
采用反证法证明：
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，（假设）
所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次． （延着假设进行推理）
但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．（与已知相矛盾）
这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上.（由矛盾说明原结论正确）
1.变式：（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？
2.课本例2、求证：是无理数
（1）___________________________是有理数，________________________是无理数。
（2）有理数可写成形如_______________________________________的形式。
（3）两个正整数互质可理解为____________________
（4）奇数通常表示为或，则偶数可表示为____________
(5)奇数的平方是________（奇数还是偶数？），而偶数的平方是_________（奇数还是偶数？）
（6）本题如何证明呢？写出证明过程
【展示提升】
已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。
2.不可能成等差数列
3.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
4.已知x>0,y>0，x+y>2，求证： 中至少有一个小于2。
※ 学习小结
1. 反证法的步骤_________________________________________，
_________________________________________，
_________________________________________.
2. 哪些命题适宜用反证法加以证明？_____________________________________________
3.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_________________________________________矛盾，或者_________________矛盾等。
【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.
A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于
2. 实数不全为0等价于为（ ）.
A．均不为0 B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0 D．中至少有一个不为0
3.设都是正数，则三个数（ ）.
A．都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
三、本节课收获：反思总结：
