高二数学选修 2-1 §3.1.1空间向量加减及其数乘运算
一、学习任务:
1、运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质。
二、探究新知:(一)、空间向量概念
1、在空间， 叫做空间向量
2、比较空间向量与平面向量的联系与区别并填表：
平 面 向 量
空 间 向 量
两要素
方向 大小
字母表示
大写字母： 小写字母：
方向表示
有向线段
大小表示
向量的模：，
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
向量的夹角
两向量起点重合所成的角
特性
平面向量可在平面上任意平移
由此可以发现：空间向量与平面向量在以上九点中是________________
(二)、空间向量的运算——加减运算
平 面 向 量
空 间 向 量
向量加法
1、回顾：在平面向量中，已知向量，则可以用_________法则或__________法则作出
向量减法
交换律与结合律
交换律：
结合律：
数乘运算
1、实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。
（1）方向：
（2）大小：
数乘运算满足分配律与结合律：
分配率： 交换律：
(三)、向 量共线定理与平面向量基本定理
向 量共线定理
平面 向 量基本定理
(四)、三点共线问题与四点共面问题
三点共线问题
四点共面问题
A、B、P三点共线所满足的条件
A、B、C、P四点共面所满足的条件
(五)、典型例题
作出下列空间向量的和向量
（1） （2）
注：1、尽管两个向量求和，与结果在一平面上，但三个向量求和，结果不一定都在一个平面内。例如（1），在一个平面上，在一平面上，但是不在一平面上
2、空间向量加减运算依然满足平面向量运算的符号性质：如：，
________________
例1：如图，已知空间四边形，分别为的中点，
化简下列各表达式，并标出化简结果的向量
（1）
（2）
例2：平行六面体中，为的中点，若，求
(六)、对典训练
例1：如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是B B1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1） ；
（2）
（3）
变式1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
例2：如图所示，在长方体中，OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,
点E，F分别是DB，的中点，设，
，，试用向量表示。
三、本节课收获：
高二数学选修 2-1 §3.1.3 空间向量的数量积
一、学习任务:
能够计算空间中两个向量的数量积，以及两向量的夹角
二、探究新知:
(一)、数量积的运算与向量的夹角
平 面 向 量
空 间 向 量
两个向量的数量积
向量数量积运算律
向量的模长
求向量的夹角
向量垂直
补充：判断下列说法是否准确，不正确的举出反例
（1）
（2）
(二)、对点训练：
已知正四面体棱长为，点分别为的中点，求：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
(三)、典型例题：
例1：平行六面体中，
求
例2：已知直线为异面直线，，求所成的角
例3：已知空间四边形中，，求证：
例4：如图：正方体中，点分别为棱的中点，求所成角的余弦值。
三、本节课收获：
高二数学选修 2-1 §3.1.4-3.1.5空间向量相关定理及向量的坐标化
一、学习任务：
1、掌握空间向量的部分定理，能够通过向量判定点共线和共面问题
2、能够将空间向量坐标化，并能够进行坐标运算
二、新知探究：（一）、空间向量相关定理
向量共线定理
平面向量基本定理
空间向量基本定理
作用
证明判定三点共线：三点共线
证明判定四点共面：共面四点共面
思考：如果不共面，那么可以表示哪些向量？_________________
（二）、向量坐标化
1、设为两两垂直的单位向量，选择作为空间向量的一组基底（单位正交基底），则对于任意的，都有，其中可称为在基底下的坐标
2、如果分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则可将空间中任意向量放入坐标系中。设，则，所以在下的坐标为，即为点坐标。这样就建立的向量与点坐标的对应关系
3、
（三）、向量坐标运算
平 面 向 量
设
空 间 向 量
设
向量坐标运算
则__________________________
__________________________
__________________________
__________________________ __________________________
__________________________
与同向的单位向量__________,
反向的单位向量__________________
则_____________________________________
_____________________________________ _____________________________________
_____________________________________
_______________________________________________________________
与同向的单位向量__________,
反向的单位向量__________________
向量关系判定
___________________________
___________________________
_____________________________
____________________________
两点距离公式
已知
______________________
______________________
已知
______________________
______________________
中点坐标公式
已知
已知
重心坐标公式
已知，且不共线。则的重心
已知，且不共线。则的重心
（四）、典型例题
例1：已知下列坐标，判断向量位置关系
（1） （2） （3）
例2：已知，计算：
（1） （2）
（3） （4）
空间向量基底应用
例1 如图，空间四边形OABC中，，
，点M在OA上，且OM=2MA,点为的中点，则 .
例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用
表示和.
变式：已知平行六面体，点G
是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:
⑴ ⑵ .
夹角计算
例3：如图：正方体中，点分别是的中点，求证：
变式：如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值.
例4. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．
例5 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,点是的中点，求证：.
变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得
三、本节课收获：
空间向量及其加减运算
学习目标：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律，并能借助图形理解空间向量加减、数乘运算及其运算律的意义。
学习重点：空间向量的概念、加减、数乘运算的意义及其运算律。
举出一些实例，表示三个不同在一个平面内的向量。
学习任务：请阅读教材P84-P86页探究之前的内容，并回答下列问题
问题1：在平面内，什么是向量，向量的长度（模）？向量的表示方法有哪些？直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量吗？
问题2：平面向量中零向量、单位向量、相反向量、相等向量、平行向量、共线向量的概念是什么？平面内两个向量可以比较大小吗？如果两个向量相等，它们的起点和终点相同吗？若 a ∥ b ，则一定有 a 所在直线平行 b 所在直线吗？
回答P85 第1个问号。
问题3：你能类比平面向量，写出空间向量的相关概念吗？
问题4：平面向量能进行运算，两向量进行加法、减法运算的法则是什么？并用图形表示出来。数乘运算呢？（用图形表示）空间任意两向量都是共面向量。
问题5：你能证明平面向量加法运算满足交换律及结合律吗？并回答P85页第2个问号。
问题6：你能证明平面向量数乘运算的分配律及结合律吗? 空间向量的数乘运算呢？
必做题
A级 P85页探究
P86页练习 2、3
B级 P97页 习题3.1 1、2
选做题
1、给出下列命题，其中正确的是 。
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量 a , b 满足｜a｜=｜b｜则 a = b ；
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有向量 AC=A1C1 ；
④若空间向量 m = n, n = p , 则 m = p ；
⑤空间中任意两个单位向量必相等.
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简向量表示式 DD1-AB+ BC
3、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA=a , CB= b ,CC1= c , 用 a , b , c 表示A1B.
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中的x,y，z 的值。
①AC1= x（AB+BC+CC1）; ②AE= xAA1+ yAB+ zAD
归纳反思
1、空间向量是平面向量的推广，平面向量的运算法则及运算律同样适用于空间向量。
2、在解向量问题时，尽量把向量集中在某个三角形中，利用三角形法则运算比较简单，在进行进向运算时要特别注意各个向量的方向。
空间向量的数乘运算
学习目标：了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.
学习重点：共线、共面定理及其应用．
一个质量为m千克的物体以V千米/小时的速度匀速运动，它的动量是什么？你会求吗？
学习任务：阅读P86探究到例1完
问题1：平面内任意两个向量 a 与 b 共线的充要条件是什么？对于空间任意两个向量共线的充要条件是什么？
问题2：你能说出直线l的方向向量吗？是唯一的吗？若不唯一，它们之间有什么关系？
问题3：当向量由平面推广到空间后，满足什么条件的向量叫做共面向量？空间任何两个向量共面吗？任意三个向量共面吗？
问题4：空间任意三个向量共面的充要条件是什么？
问题5：在学习平面向量时，利用向量之间的关系如何判断平面内的三点共线呢？你能类比得出利用向量之间的关系，判断空间四点共面的方法吗？
问题6：回答P88思考.
必做题
P89 练习1～3
选做题
1、设 OP = xOA+ yOB,则P、A、B三点共线的条件是 。
2、已知空间一点O和不共线的三点A，B，C满足向量关系式OP= xOA+yOB+zOC的点P与A，B，C共面的条件是 。
3、已知两个非零向量 a , b 不共线，如果AB= a + b ，AC=2a + 8b，AB=3a - 3b，求证：A、B、C、D四点共面。
归纳反思
1、用已知向量表示所求的向量时，通常把这些向量集中在某个三角形中。
2、证明四点共面的问题常常可转化成证明具有公共顶点的三个向量满足空间向量共面的条件。
空间向量的数量积运算
学习目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.
学习重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．
在前面，我们已经学习了平面向量的数量积运算，类比平面向量，我们能否得到空间两向量的数量积运算呢？
学习任务： 阅读课本P90-P92，回答以下问题
问题１：类比平面向量，你能说出空间向量 ,数量积的定义吗？回答旁边的第一个“？”。
问题2：〈, 〉的范围是什么？〈, -〉有何关系呢？当两个非零向量∥ 时，〈, 〉为多少？
问题3：回答 P90第二个“？”和思考，请同学想一想：数的运算和向量的数量积运算有何不同呢？
问题4：精读例2，试总结它的证明思路，并用这种方法证明：“平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射影垂直”
问题5：精读例3，总结例3的证明思路，你能得出证明线面垂直的方法吗？
问题6：总结如何用向量的方法求：①两条线段的夹角 ②一条线段的长度
必做题 ： A级： 课本P92 练习1、2、3
B级：习题3.1 A组 3、4、5 B组1、2
选做题：
1、下列命题①若· =0，则, 中至少有一个为 0 。 ②若 ≠，且·=· ，则 = ③（·）·= ·（·） ④（3+2）·
（3-2）=9||2-4||2 中正确的为 。
2、已知||=1, ||=1 ，｜3-2|=3 则｜3+2|= 。
3、已知空间四边形OABC，OB=OC, ∠AOB=∠AOC=θ，则OA与BC的夹角是 。
4、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离。
5、如图，在空间四边形ABCD中，AB=2，BC=3,BD=2，CD=3，∠ABD=30°，∠ABC=60°，求AB和CD夹角的余弦值。
归纳总结
通过学习，试总结我们可以利用向量的数量积解决立体几何中的哪些问题？
空间向量的正交分解及其坐标运算
学习目标：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的
规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．
学习重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．
在平面内，平面向量基本定理是什么？在空间呢？
学习任务：阅读课本P92-P96页，完成以下任务
问题1：完成93页探究，请你叙述空间向量基本定理。其中，，应满足什么关系？x, y ,z
满足什么条件？ 可作为基向量吗？为什么？回答P93页“？”
问题2：精读P93页最后一段，并回答边框内问题及P94页“想一想”
问题3：动手做例4，与平面向量进行对比，你有何收获？
问题4：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB｜=3，｜AD｜=4，｜AA'｜=2，
若A（0，0，0），D（0，4，0），请你写出其余点的坐标。
问题5：若=（ a1 , a 2 , a 3）， =（ b1 , b 2 , b 3），请你用向量表示“+,
- ,λ , · ”,并证明-的坐标表示。
问题6：若=（a 1, a 2 , a 3），=（b1 , b2 ,b3），用坐标如何表示“∥ ，⊥ ,
｜｜,cos〈 , 〉,｜AB｜”.
问题7：动手做例5，你能总结出用向量如何求两直线的夹角吗？
问题8：动手做例6，你能总结用向量求证两直线垂直的方法吗？
必做题 A级 ：P 94 练习1、2、3 P97 练习1、2、3
B级：习题3.1 A组 6、7、8、9、10、11 B组：3
选做题
1、在以下三个命题中，真命题的个数有 个。
（1）三个非零向量，，不能构成空间的一个基底， 则，，共面.
（2）若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线.
（3）若，是两个不共线的向量， 而 =λ +μ（λ，μ∈R,且λμ≠0），则
，，构成空间的一个基底。
2、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在棱 CD上，且
CG=CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题.
（1）求证：EF⊥B1C
（2）求EF与C1G所成的角的余弦
（3）求FH的长
归纳反思：你认为建系之后能解决哪些问题？
平面的法向量
学习目标：在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础；?
学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系.
学习重点：利用向量的方法确定点、直线和平面在空间中的位置关系.
在立体几何中，如何利用向量的方法确定点、直线和平面在空间中的位置关系呢？
学习任务：
阅读课本P102-P104，完成以下任务：
问题1 ：回答P102页思考，如何确定点、直线、平面在空间的位置呢？
问题2：给定一点A和一个向量 ，那么，过点A，以向量为法向量的平面是完全确定的。一个平面的法向量唯一吗？若不唯一，它们之间有怎样的位置关系呢？
问题3：已知：AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），求平面ABC的一个法向量。
试总结求平面法向量的一般步骤
问题4：你能用直线的方向向量表示空间两条直线平行，垂直的位置关系吗？你能用平面的法向量表示空间两个平面平行，垂直的位置关系吗？
问题5：精读P104面面平行判定定理的证明过程，并说出证明步骤。
必做题
A级 P104 练习1、2
B级: 用向量方法证明：
1、平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
选做题
1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为3，E为D1C1的一个三等分点，F为AB的中点，求平面EFC的一个法向量。
2、已知l∥α，且l的方向向量为（2，m,1），平面α的法向量为（1，4 ，2）则m= 。
3、若l的方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为（1，4 ，2）且l⊥α，则m= 。
4、设平面α的法向量为（1，2，-2），平面β的法向量为（-2，-4，k），若
α∥β，则k= ；若α⊥β，则k= .
归纳反思
总结用向量方法证明空间中，线线、线面、面面的垂直问题。
利用空间向量求空间距离及空间角
学习目标：能用向量方法进行有关空间距离和空间角的计算；能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题.
学习重点：立体几何中向量法与坐标法的结合.
立体几何中有关距离和夹角的问题，经常用空间向量的数量积解决。
学习任务：阅读P105-P107完，并回答以下问题
问题1：精读例1，按照 “三步曲”完成P106思考1，2
问题2：回答P106思考3（提示，例1 图3.2-3中的点A1在平面AC上，为什么？）
问题3：回忆线线、线面、面面所成角的范围以及二面角的平面角的概念。
问题4：直线l、m的方向向量分别为，，平面α、β的法向量分别为，，
（1）如图1所示若异面直线l和m所成的角为θ，你能用，表示θ吗？
（2）如图2所示若直线l和平面α所成的角为θ你能用、表示θ吗？
（3）如图3所示，若平面α和平面β所成的角为θ，你能用、来表示θ吗？
问题5:精读例2回答分析中的“想一想”
问题6 :回答P107思考
必做题
A级 P107 练习 1、2
B级 P111 习题 3.2 A组 1、5、6、8、10、11、12
选做题
1、设正方体的棱长为1
（1）求点B到面AB1C的距离 （2）求BC到平面AB1D的距离
2、在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°
AC=2 ，BC=3 ，SB=5
（1）求证 SC⊥BC
（2）求SC与AB所成角的余弦值
归纳反思
试总结用向量法求空间角和空间距离的步骤.
