高二数学选修 2-1 §2.1.1 曲线与方程（1）
一、学习任务：
1．理解曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程．
二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练，感受高考等）
自主学习：
（预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处）
问题一：1、 下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l，为什么？
（1）x－y=0 （2）－=0
（3）x2－y2=0 （4）|x|－y=0
2、 （1）判断点M1（3，－4），M2（－2，2）是否在方程 x2+y2=25所表示的曲线上。
（2）点在曲线上，则a=___ ．
（3）曲线上有点，则= ．
（4）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x2+y2=25。
3、已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是，，．中线（为原点）所在直线的方程是吗？为什么？
反思：边的中线的方程是吗？
变式：到x轴距离等于的点所组成的曲线的方程是吗？
4、圆心的坐标为，半径为，求此圆的方程．
反思：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．
问题二：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线与一个二元方程之间，
如果具有以下两个关系：
1．曲线上的点的坐标，都是 的解；
2．以方程的解为坐标的点，都是 的点，
那么，方程叫做这条曲线的方程；
曲线叫做这个方程的曲线．
注意：1( 如果……，那么……；
2( “点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3( 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；
4( 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．
问题三：求曲线的方程：
例1 ： 证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程式是．
（一）直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
1、 已知点M与轴的距离和点M与点F（0，4）的距离相等，求点M的轨迹方程。
变式1：有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到的距离的倍，试求曲线的方程．
变式2：现有一曲线在轴的下方，曲线上的每一点到轴的距离减去这点到点，的距离的差是，求曲线的方程．
2、 曲线上的任意一点到,两点距离的平方和为常数,求曲线的方程．
3、 已知一条直线和它上方的一个点F，点F到的距离是2。一条曲线也在直线的上方，它上面的每一点到F的距离减去到直线的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
（二）相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
1、已知线段AB，B点的坐标为（6，0），A点在曲线y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程。
变式1：已知线段AB，B点的坐标为（6，0），A点在曲线x2+ y2=4上运动，求AB的中点M的轨迹方程。
变式2：已知A点在曲线x2+ y2=4上运动，过点A向x轴引垂足B,求AB的中点M的轨迹方程。
小结：求曲线的方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用表示曲线上的任意一点的坐标；
②写出适合条件的点的集合；
③用坐标表示条件，列出方程；
④将方程化为最简形式；
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
曲线与方程
学习目标：了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
学习重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念
学习任务：阅读课本P34-P35
问题1：为什么“平分第一、三象限的直线方程是x-y=0”？
问题2： 如果曲线c的方程是f(x,y)=0，那么点P0（x0,y0）在曲线c上的充要条件是
f(x0,y0）=0吗？为什么？这个结论与“曲线的方程”，“方程的曲线”的定义
（1）（2）两点有什么联系。
问题3：阅读例1，请你说明此例中“曲线”指什么？“方程”指什么？要证明一个方程是某曲线的方程，如何证明？需注意哪些方面？
必做题：
A级： 练习1，2； B级： A组1
选做题：
1、“点M在曲线y=|x|上”是“点M到坐标轴距离相等”的（ ）
A、充要条件 B、必要不充分条件
C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件
2、“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的（ ）
A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、不充分也不必要条件
3、给出下列命题
①到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是y=
②到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2=y2
③y=x与表示相同曲线的方程；
其中正确的命题序号是 。
归纳反思：
请你借助集合的充要条件的知识，函数图象的知识进一理解“曲线的方程”，“方程的曲线”。
求曲线的方程
学习目标：让学生理解坐标法的作用及意义，掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件建立适当的坐标系求曲线方程。
学习重点：求曲线方程的方法、步骤。
学习任务：
问题1：解析几何借助怎样的方法研究几何图形？
问题2：阅读课本例2，试总结求曲线方程的步骤。
问题3：求曲线方程的五个步骤中，第（2）步要求明确集合 ，也就是明确曲线是什么，这样做有什么好处？
问题4：阅读例3，说明在求曲线的方程的五个步骤中，第（1）步强调要建立“适当”的坐标系，例3是如何利用题中的已知条件，建立适当的坐标系的。
问题5：对于例2，第五步可以省略不写吗？为什么？
必做题
A级 练习 3
B级 习题2.1 A组 2、3、4 B组1、2
选做题
1、在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，a>c>b;且a、c、b成等差数列，
｜AB｜=2，求顶点C的轨迹方程。
2、线段AB的长度是10，它的两个端点分别在x轴y轴上滑动，则AB中点P的轨迹方程是_____________________。
3、A为定点，线段BC在定直线1上滑动，已知|BC|=4，A到1的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程。
归纳反思
总结坐标法求曲线方程的步骤。
高二数学选修1-1 2.1.1 椭圆的标准方程学案（二）
一、学习任务：
1.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．2.会根据条件求椭圆的标准方程3.会根据条件求点的轨迹方程.
二、探究新知：复习椭圆标准方程
图
形
标准方程
焦点坐标
定 义
a、b、c的关系
焦点位置的判断
自学检查：
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
2．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4) C．(±3,0) D．(0，±3)
3．如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是____________
4.已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且
2a＝6，则椭圆的标准方程为_______________．
探究一．求椭圆的标准方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
变式训练：根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(，)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
探究二．求轨迹方程．
2.在圆上任取一点P，过点P作轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？（课本34页）
变式：已知平面内有两定点B(3,0),C(-3,0) 且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
探究三．椭圆定义的应用
3.已知P为椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积S.
巩固训练
1．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是( )A．20 B．12 C．10 D．6
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1
4．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
6.已知，求此椭圆的标准方程.
7. 过椭圆+=1的焦点F(-3,0) 作直线L交椭圆于A,B两点，F是另一个焦点，求ABF的周长
课本第36页练习3.4题
拓展提升
1．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
2．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
三、本节课收获：
高二数学选修1-1 2.1.1 选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程学案
一、学习任务：
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
二、探究新知：
阅读课本的有关内容，并完成下列问题。
问题1：阅读课本“探究”指出圆上的点具有怎样的几何特征？和同学合作画一个椭圆或利用信息技术，指出椭圆上的点的几何特征。你能用自己的语言给椭圆一个定义吗？
问题2：对照课本，明确椭圆的定义及相关概念，思考：在定义椭圆时，对常数加上了一个条件，即常数要大于｜F1F2｜，为什么要这样规定呢?如果常数等于|F1F2|点的轨迹还是椭圆吗？如果常数小于｜F1F2｜，点的轨迹又会是什么图形？（结合信息技术说明）
问题3：用坐标法研究椭圆，首先应求出椭圆的方程，请你想一想应如何根据椭圆的几何特征，建立适当的坐标系。
问题4：化简方程 + =2a
总结化简这类方程的一般方法。
问题5 回答P39思考，想想为什么将 + =1化成 + =1（a>b>0）？
问题6：回答P34（文科）、P40（理科）思考，其中a、b、c满足什么关系；它与勾股定理有什么区别联系？（用信息技术能更清楚地演示这种关系吗？）
问题7：看例1，回答边框“？”
自学检测
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
2．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4) C．(±3,0) D．(0，±3)
3．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝6，则椭圆的标准方程为________．
4．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，求椭圆的方程．
探究一.椭圆的标准方程的推导
1.根据定义推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程
探究二．求椭圆的标准方程
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
变式训练：根据下列条件，求椭圆的标准方程．
坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(，)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
探究三．利用椭圆的定义求轨迹方程．
3.已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
变式训练 已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64内切，而和定圆C2：x2＋(y＋3)2＝4外切．求动圆圆心M的轨迹方程．
探究四．椭圆定义的应用
4.已知P为椭圆＋＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积S.
巩固训练
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是( )
A．20 B．12 C．10 D．6
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1
二、填空题
4．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
拓展提升
1．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
2．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
三、本节课收获：
高二数学选修1-1 2.1.1 椭圆的标准方程学案（二）
一、学习任务：
1.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．2.会根据条件求椭圆的标准方程3.会根据条件求点的轨迹方程.
二、探究新知：复习椭圆标准方程
图
形
标准方程
焦点坐标
定 义
a、b、c的关系
焦点位置的判断
自学检查：
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
2．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4) C．(±3,0) D．(0，±3)
3．如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是____________
4.已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且
2a＝6，则椭圆的标准方程为_______________．
探究一．求椭圆的标准方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
变式训练：根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(，)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
探究二．求轨迹方程．
2.在圆上任取一点P，过点P作轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？（课本34页）
变式：已知平面内有两定点B(3,0),C(-3,0) 且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
探究三．椭圆定义的应用
3.已知P为椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积S.
巩固训练
1．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是( )A．20 B．12 C．10 D．6
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1
4．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
6.已知，求此椭圆的标准方程.
7. 椭圆+=1的焦点F(-3,0) 作直线L交椭圆于A,B两点，F是另一个焦点，求ABF的周长
课本第36页练习3.4题
拓展提升
1．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
2．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
三、本节课收获：
高二数学选修 2-1 §2.2.1《椭圆及其标准方程》习题课
一、学习任务：
1．会求椭圆的离心率；
2．会判断直线与椭圆距离，会求椭圆上的点与直线的最大或最小距离；
3．会求直线与椭圆相交的弦长，以及会用点差法求和中点有关弦的问题；
二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练，感受高考等）
自主学习：
知识点1：离心率问题：
若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？
A. B. C. D.
椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是？
A. B. C. D.
3、若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，求该椭圆的离心率。
4、椭圆的左焦点F1（-c,0）,且A（-a,0）,B（0,b）是椭圆的两个顶点，如果点F1
到直线AB的距离为 ，则该椭圆的离心率是？
5、 如图，F为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，PF⊥x轴，OP//AB，求椭圆的离心率e。
知识点2：直线与圆锥曲线的位置关系
例1：判断直线与椭圆的位置关系？（可参考P47例7）
知识点3：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：
变式：椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）（可参考P47例7）
A.3 B. C. D.
知识点4：弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则==
==
可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。
例1：已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，(1)求线段AB的中点坐标。
(2)求弦AB的长
练习：1、已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，
(1)求线段AB的中点坐标。
(2)求弦AB的长
知识点5：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：
⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；
⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；
⑶.设弦的两个端点分别为，则这两点坐标分别满足曲线方程，又为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。
1、如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
2、已知椭圆方程为，内有一条以点为中点的弦，求所在的直线的方程及的弦长。
3、中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程
思考题：动圆圆心的轨迹问题：（椭圆第一定义）
1、 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程。并说明它是什么曲线。
2、 已知动圆与定圆内切，且过定点A（0，2），求动圆圆心P的轨迹方程。并说明它是什么曲线。
3、P47B组2题： 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程。并说明它是什么曲线。
椭圆第二定义（可参考P47例6）
1、点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
高二数学选修 2-1 §2.2.1《椭圆及其标准方程》导学案
一、学习任务：
1．理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程，和一些几何性质。培养解析法的思想。
2．椭圆的定义和标准方程。
二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练，感受高考等）
自主学习：
（一）、学习情景: 已知两定点F1F2距离为6,求动点M到两定点距离的和为10的轨迹方程.
（二）、 问题导学:
问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆？
问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________
问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。两个定点的距离用______表示。常数用______表示
问题4：椭圆的定义为什么要满足2a >2c呢？
(1)当2a >∣F1F2∣时，轨迹是_____
(2)当2a =∣F1F2∣时，轨迹是_____
(3)当2a <∣F1F2∣时轨迹是. _____
对点训练: 动点P到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（ ）
（A）椭圆 （B）线段F1F2 （C）直线F1F2 （D）不能确定。
问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程
问题6：椭圆的标准方程是：___________________________
问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式为：___________
问题8：如何判断焦点在何轴?
(三)、当堂检查
根据下列方程，分别求出a、b、c
(1)椭圆标准方程为，则 , , ；
(2)椭圆标准方程为，则 , , ；
(3)椭圆标准方程为，则 , , .
书本课后练习
1.如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是_____.
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) ，焦点在x轴上；(2) ，焦点在x轴上.（3）a+b=10，c=
(四)、合作、探究、展示：
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
变式题：1.已知椭圆的焦点在y轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.
变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.
规律方法总结
例2、 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程
例3、如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
三、 本节小结和感悟
思考：1若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是？
2 方程 √x2 + (y+3)2 + √x2 + (y-3)2 = 10表示曲线为 。
椭圆的标准方程（一）
学习目标：掌握椭圆的定义；体会椭圆的标准方程的推导过程并掌握其标准方程；运用椭圆的标准方程形式解决有关问题.
教学重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程。
?2011年9月29号，我国发射了“天宫一号”空间站，它的运行轨迹是什么？你能在生活中找到椭圆的例子吗？
学习任务
阅读课本理P38-P40 (文P32-P34) 的有关内容，并完成下列问题。
问题1：阅读课本“探究”指出圆上的点具有怎样的几何特征？和同学合作画一个椭圆，指出椭圆上的点的几何特征.你能用自己的语言给椭圆一个定义吗？
问题2：对照课本，明确椭圆的定义及相关概念.
思考：在定义椭圆时，对常数加上了一个条件，即常数要大于｜F1F2｜，为什么要这样规定呢?如果常数等于|F1F2|点的轨迹还是椭圆吗？如果常数小于
｜F1F2｜，点的轨迹又会是什么图形？
问题3：用坐标法研究椭圆，首先应求出椭圆的方程，请你想一想应如何根据椭圆的几何特征，建立适当的坐标系.
问题4：化简方程
总结化简这类方程的一般方法.
问题5： 回答理P39 (文P33) 思考，想想为什么将化成 （a>b>0）？
问题6：回答理P40(文P34)思考，其中a、b、c满足什么关系；它与勾股定理有什么区别联系？
问题7：看例1，回答边框“？”
必做题
A级： 理P42(文P36) 1、2、3 B级：理P49(文P42) 1、2
选做题
1、下列说法正确的是（ ）
A、已知F1（-4，0），F2（4，0），到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B、已知F1（-4，0），F2（4，0），到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C、到F1（-4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2两点的距离之和的点是轨迹是椭圆
D、到F1（-4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆
2、椭圆的焦距为____，焦点坐标为_______。
3、判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出a、b、c的值。
①；②；③④4x2+9y2=36
4、若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A.-6＜m＜25 B. ＜m＜25 C. -16＜m＜ D.m＞
5、若椭圆的焦距为2，则m=____________
归纳反思：
高二数学选修1-1 2.1.2 椭圆的简单几何性质——直线与椭圆的位置关系学案
一、学习任务：
1.掌握直线与椭圆的关系．2.掌握中点弦问题和弦长的一般求法3.直线与椭圆的几何性质的综合应用
二、探究新知：
复习1：如何判断点与圆，直线与圆的位置关系？
复习2：如何求直线与圆相交所得的弦长？思考如何求求直线与椭圆相交所得的弦长。
探究一：点与椭圆的位置关系
例1.若点A（，1）在椭圆的内部，则的取值范围是_________________ .
结论：点与椭圆的位置关系：设M(a,b), 椭圆标准方程为：
当__________点在椭圆内；当________点在椭圆上；当__________点在椭圆外。
探究二：椭圆与直线的位置关系
例2.判断直线与椭圆的位置关系.
变式1.已知直线：，椭圆，则m为 时与椭圆相切；
m为 时与椭圆相交；m为 时，与椭圆相离。
结论：椭圆与直线的位置关系：将直线方程（或）代入椭圆方程：
，整理得到关于x（或y）的一个一元二次方程（或）
当_______直线与椭圆相交；当________直线与椭圆相切；当__________直线与椭圆相离。
探究三：中点弦问题
例3：中心在原点,一个焦点为的椭圆截直线所得的弦的中点的横坐标为.求此椭圆的方程.
变式2：求以点（2，1）为中点的椭圆的弦所在直线方程
探究四：弦长公式：
例4.(1)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
(2)过点的直线l与椭圆相交于A、B两点，且|AB|，求该直线的方程。
结论：若直线：与椭圆相交于A，B两点，弦长｜AB｜＝？（弦长公式）
推导弦长公式：
弦长公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
或＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。椭圆的通径为：__________ .
巩固训练：
1. 直线过椭圆的左焦点F1和 一个顶点B，该椭圆的离心率为______________.
2、直线y=x与椭圆相交于A,B两点，则|AB|＝（ ）
A、2 B、 C、 D、
3．已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程为 （ ）
A． B． C． D．
4. 若直线和椭圆有公共点，求实数的取值范围。
拓展延伸：
1.若直线与椭圆相交于A,B两点，当变化时，的最大值是（ ）
2
2.已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由。
三、本节课收获：
高二数学选修1-1 §2.1.2椭圆的简单几何性质学案
一、学习任务：
理解并掌握椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点.
二、探究新知：
阅读课本第37页至第41页完成下列问题：
研究椭圆(a＞b＞0)的几何性质
1．范围：椭圆位于直线x＝____和y＝____围成的矩形里．则 ______ ≤ x ≤_______，______≤ y ≤________
2．对称性：椭圆关于_______、_______、_______都是对称的．
3．顶点：上述椭圆的四个顶点坐标分别是_________、_________、___________、_____________
4．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e= __ ，e满足_______________。
当e越大时，椭圆越______，当e越小时，椭圆越______。
1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率：
(1) (2) 9x2＋y2＝81
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于； (2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．
3、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若⊿ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、
自学检测:
1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( ) A. B. C. D.
2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
3.已知点（3，2）在椭圆上，则（ ）
A、点（-3，-2）不在椭圆上 B、点（3，-2）不在椭圆上
C、点（3，-2）在椭圆上 D、无法判断点（-3，-2）、（3，-2）、（3，-2）是否在椭圆上
4．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是_________________．
5．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_________．
巩固训练
1、一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
2、设椭圆的短轴为B1B2，F1为椭圆的左焦点，则∠B1F1B2等于（ ）
A、 B、 C、 D、
3、椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2 B．5,4 C．9,1 D．5,1
4．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6．若椭圆的离心率为，则k=_____________________。
课本第41页2.3.4.5 第42页A组6题
拓展提升 三、本节课收获：
方程
(a＞b＞0)
(a＞b＞0)
图像
a、b、c
?
焦点
范围
对称性
顶点
长、短轴长
离心率
1.如图，设与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹方程．（课本41例6）
结论:
_____________________________________
_____________________________________
2．椭圆上一点P到左准线的距离为2.5，则P到右焦点的距离是____________________。
椭圆的简单几何性质（一）
学习目标：掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题.
学习重点：椭圆的简单几何性质.
很久以前，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在意大利西西里岛的一个山洞里，囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被发现，起初囚犯们认为出了内奸，但始终未能发现告密者。后来他们觉察到囚禁他们的山洞形古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了。原来，这个囚洞的部面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在一个焦点附近，狱卒在另一个焦点附近偷听，无论囚犯们怎样压低嗓门，他们的声音照样被狱卒听得一清二楚，这实际上是应用了椭圆的性质，椭圆的几何性质在实际中有着多方面的应用。
学习任务：阅读课本理P43-P46(文P37-P40)页例4完
问题1：请画出与的图形，观察图形，你能得出椭圆的哪些性质.
问题2：回答理43页(文37页)观察，与理44页(文38页)探究，你能通过代数运算解释上述几何性质吗？
问题3：你画出的1中的两个图形有什么不同，请试着从a、b、c的观点来说明扁平程度.并回答理46页(文40页)探究.
问题4：请你回想椭圆方程的两种标准方程，并填写下表
标准方程
?
?
图形
范围
?
?
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
?
?
必做题：
A级： 48页1、2、3、4、5
B级： 49页 习题2.2 A组 3、4、5、6
选做题：
1、已知点（3，2）在椭圆 ，则（ ）
A、点（-3，-2）不在椭圆上
B、点（3，-2）不在椭圆上
C、点（-3，2）在椭圆上
D、无法判断（-3，-2），（3，-2）（-3，2）是否在椭圆上
2、椭圆的一个焦点将长轴分成3：2两段，则椭圆的离心率是 。
3、椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则椭圆的离心率是 。
4、已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26， cos ∠OFA = ，求椭圆的标准方程。
三、归纳提升
椭圆的几何性质有哪些？
椭圆的简单几何性质（二）
学习目标：熟悉椭圆的几何性质；利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；了解椭圆在科学研究中的应用．
学习重点：椭圆的几何性质应用
回忆一下直线与圆的位置关系，猜想直线和椭圆有几种位置关系？
学习任务：阅读课本理P46-P48(文P40-P41)回答下列问题：
问题1：认真阅读例5，你还有其它的解法吗？
问题2：①与直线Ax+By+C1=0平行的直线如何来设呢？
②两直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0之间的距离公式是什么呢？
问题3：直线与椭圆的位置关系有几种？从代数的角度如何来理解它们的位置关系？
问题4：直线1： y=x+1与椭圆C：9x2+16y2=144相交于A、B两点，求｜AB｜的值 ，你能在不求出A、B两点坐标情况下，求出|AB|的值吗？
问题5：
问题6：若椭圆C： + =1的弦被点（4，2）平分，求此弦所在的直线的斜率是多少？充分体会中点坐标的重要作用。
必做题：
A级 P48 6、7 P49 8、9、10
B级 P50 B组 3、4
选做题：
1、椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、 或
2、直线y= mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=
3、椭圆3x2+4y2=48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=
4、AB为过椭圆 + =1（a > b > 0）中心的弦，F2（c , 0）是其右焦点，则△ABF2的面积的最大值为 。
5、已知x , y满足 + ≤1，求 y- 3x的最大值与最小值。
6、直线 y= x+1被椭圆x2+2y2=4截得的弦的中点P的坐标为 。
7、椭圆x2+2y2=1中斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程为 。
归纳反思
本节涉及到几种类型的题，试总结。
椭圆的简单几何性质（一）
学习目标：掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题.
学习重点：椭圆的简单几何性质. 利用椭圆几何性质求椭圆标准方程
学习任务：阅读课本理P43-P46(文P37-P40)页例4完
问题1：请画出与的图形，观察图形，你能得出椭圆的哪些性质.
问题2：回答理43页(文37页)观察，与理44页(文38页)探究，你能通过代数运算解释上述几何性质吗？
问题3：你画出的1中的两个图形有什么不同，请试着从a、b、c的观点来说明扁平程度.并回答理46页(文40页)探究.
问题4：请你回想椭圆方程的两种标准方程，并填写下表
标准方程
?
?
图像
范围
?
?
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
?
?
必做题：
A级： 理48页（文41页）1、2、3、4、5
B级： 理49页（文42页） A组 2、3、4、5、6
练一练：1、椭圆的一个焦点将长轴分成3：2两段，则椭圆的离心率是 。
2、椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则椭圆的离心率是 。
归纳提升：椭圆的几何性质有哪些？
椭圆的简单几何性质（二）
学习目标：熟悉椭圆的几何性质；了解椭圆在科学研究中的应用．
学习重点：椭圆的几何性质应用
学习任务：阅读课本理P46-P48(文P40-P41)回答下列问题：
1：认真阅读例5例6，归纳总结此题的思路。
2：理科阅读例7并回答以下问题：
①与直线Ax+By+C1=0平行的直线如何来设呢？
②两直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0之间的距离公式是什么呢？
3：（直线与椭圆的位置关系）
已知椭圆4x2+y2=1及直线y= x+ m，当m为何值时直线与椭圆相切，相交，相离。
4：（中点弦问题）
过椭圆4x2+16y2=64内的一点（2,1）引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程。
5：（弦长问题）
已知斜率为2 的直线经过椭圆4x2+5y2=20的右焦点，与椭圆相交于A,B两点，求弦长AB
6：必做题： （理科）P48 6、7 ； P49 （理科） 8 ； P50 B组 3、4
7：选做题：
1、直线y= mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=
2、椭圆3x2+4y2=48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=
3、若一个椭圆的长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则离心率是 。
4、椭圆x2+2y2=1中斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程为 。
8:归纳反思 ：本节涉及到几种类型的题，试总结。
高二数学选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程学案
一、学习任务：
1.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 2.会根据条件求双曲线的标准方程.
3.会区别双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。
二、探究新知：
问题1、把椭圆的定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹是什么？
我们把平面内与两个 F1、F2的距离的 _______ _ 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线，
这两个 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。
问题2、将定义中的常数设为2a
（1）、当2a＜︱F1F2︱时，轨迹是
（2）、当2a＞︱F1F2︱时，轨迹是
（3）、当2a=︱F1F2︱时，轨迹是
（4）、当2a=0 时，轨迹是__________________________________
（5）、将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么?
例如|MF1|-|MF2|=2a，表示哪支呢？
而|MF2|-|MF1|=2a呢？
1．双曲线的标准方程：
类似于椭圆求标准方程，推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程
1）、以 为 轴，以 为 轴，建立直角坐标系XOY，则F1、F2的坐标分别是F1 、F2 。
2)、设M(x,y)是双曲线上的任意一点,
由双曲线的定义有:= ，（＊）
由两点距离公式有：= = ；
由（＊）式化简得到焦点在x轴上的双曲线的标准方程为： ；
类似的得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程为： .
2．双曲线的标准方程的特点：
（1）标准方程左边的两项用 号连接;
（2）的关系： ，而椭圆标准方程中的关系是： 。
3.焦点的位置:椭圆的标准方程看出椭圆的焦点位置由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在 轴上；项的系数是正的，那么焦点在 轴上。
自学检查
1.(1）、已知： 求：a=_ ,b= ,c=_ ，焦点坐标是 ；
(2)、已知： 求：a=_ ,b=_ ,c=_ ， 焦点坐标是 ；
（3）、已知，则 , , . 焦点坐标是 。
2、已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，则双曲线标准方程是______________________。
3、已知A（2，－3），B（－4，－3），动点P满足|PA|-|PB|=6，则P点轨迹分别是（ ）
A）双曲线 B）两条射线 C）双曲线的一支 D）一条射线
4、设双曲线上的点P到一焦点的距离为15，则P点到另一焦点的距离是（ ）
A）7 B）23 C）5或23 D）7或23
5、双曲线的一个焦点为（2，0），则m=（ ）
A） B）1或3 C） D）
6、若方程=1表示双曲线，则k的取值范围是( )
(A)(, ) (B)(, ) (C)( ,) (D)(-∞,)∪(,+∞)
7、求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1）、焦点在x轴上，； (2）、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5);
巩固训练
1．已知顶点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝3 B．|PF1|＋|PF2|＝6 C．||PF1|－|PF2||＝4 D．||PF1|－|PF2||＝3
2、已知双曲线的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点P 到右焦点的距离为_______ ．
3.设是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离是9，则点P到的距离是__________
4.已知方程表示双曲线,则m的取值范围是_________________
5.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值=____________
6.（1）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
（2）求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程.
拓展延伸：
1.已知双曲线的焦点，点M在双曲线上，且，则到直线 的距离是___________
2.设P为双曲线上的一点，是该双曲线两个焦点，若则的面积是_______________
三、本节课收获：
高二数学选修 2-1 §2.2.1《双曲线及其标准方程》导学案
一、学习任务：
1．理解双曲线的定义，掌握求双曲线的方程，和一些几何性质。培养解析法的思想。
2．双曲线的定义和标准方程。
二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练，感受高考等）
自主学习：
（一）、学习情景: 已知两定点F1F2距离为10,求动点M到两定点距离的差为6的轨迹方程.
（二）、探究点一、——双曲线的定义
问题1：根据课本上双曲线的定义，制作教具，画双曲线？
问题2：写出双曲线上的点满足的关系式________________________________________
问题3：这两个定点叫做双曲线的_______。两个定点的距离用______表示。常数用______表示
问题4：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
双曲线的定义为什么要满足2a<2c呢？
(1)当2a<∣F1F2∣时，轨迹是_____
(2)当2a =∣F1F2∣时，轨迹是_____
(3)当2a >∣F1F2∣时轨迹是. _____
对点训练: 动点P到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离差是8,则动点P 的轨迹为（ ）
（A）双曲线 （B）双曲线的一支（C）以F1，F2 为端点的两条射线（D）不能确定。
问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导双曲线方程的过程
问题6：双曲线的标准方程是：___________________________
问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式为：___________
问题8：如何判断焦点在何轴?
、合作、探究、展示：
探究点二、——双曲线的标准方程
根据下列方程，分别求出a、b、c并且判断焦点在何轴?
(1)双曲线标准方程为，则 , , ；
(2)双曲线标准方程为，则 , , ；
(3)双曲线标准方程为，则 , , .
书本课后练习
练 1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在x轴上， a = 4 ， b = 3 ；（2） 已知双曲线两个焦点为(0,-6 ),(0,6) ，且经过点(2,-5 ) ．
变式：（1）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
（2）求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程.
探究点三、——与双曲线定义有关的应用问题
1、已知双曲线的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点 P到右焦点的距离为_______ ．
2．（ ）
A．2 B．22 C．4或22 D．2或22
3．已知双曲线 ，为过左焦点的直线与双曲线左支的两个交点，为右焦点，则△的周长为
4、 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
（1）； （2）
探究点四、——轨迹问题
例3、点 A, B 的坐标分别是(-5 ,0) ，(5,0)，直线AM ， BM 相交于点M ，且它们斜率之积是，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．
思考：1．双曲线 5 + k = 5 的一个焦点是(,0)，那么实数k 的值为（ ）．
A． -2 5 B．25 C． -1 D．1
2．已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点).
2．已知方程表示双曲线，则m 的取值范围_____________ ．
3．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.
三、 本节小结和感悟
双曲线及其标准方程
一 、学习目标：
1.类比椭圆的定义学习双曲线的定义，掌握双曲线的定义；
2.类比椭圆的标准方程学习双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线标准方程.
二 、学习重点：双曲线的定义及标准方程.
三 、学习任务：
请你与同伴合作用一条拉链，参考理P52（文第45页）的方法动手画一画.
画出的图形是什么？
阅读理P52—P53（文P45—P46），并回答以下问题：
问题1：通过实践，满足条件P={M||MF1|-|MF2|=常数}的点集表示什么图形？
问题2：满足条件P={M|||MF1|-|MF2||=常数}的点集表示什么图形？
问题3：随着常数的变化（与|F1F2|比较大小）图形发生怎样变化？
问题4：类比椭圆的定义，你能根据以上实践给出双曲线的定义吗？
问题5：类似椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建 立双曲线的标准方程吗？
问题6：请动手化简
问题7：回答理P53（文P46）“？”
问题8：完成理P54（文P47）思考
问题9：例2中如何建立适当的坐标系呢？炮弹爆炸点的轨迹是什么？
如何确定P点的准确位置？
问题10：回答理P55（文P48）探究。
高二数学选修1-1 2.2.2双曲线的简单几何性质学案
?
椭圆
双曲线
方程
、 、 的关系
图形
范围
对称性
顶点
焦点坐标
离心率
渐近线
一、学习任务：
1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。
二、探究新知：
类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程
，研究它的几何性质。
①范围：双曲线在不等式 和 所表示的区域内。
②对称性：双曲线关于_______、_______、_________都是对称的．
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为（ ）（ ） ；我们把（ ）（ ）也画在y轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。
④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
⑤渐近线：双曲线的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线 。
想一想1、根据上述五个性质，画出椭圆 与双曲线的图象。
2.整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成下表。
标准方程
（a>0,b>0）
(a>0,b>0)
图 象
范围
对称性
焦点坐标
实、虚轴
顶点
渐近线
离心率
a,b,c关系
对比椭圆与双曲线的几何性质
自学检查
1.（1）的实轴长 虚轴长 顶点坐标 焦点坐标 离心率 渐近线方程
（2）的实轴长为 虚轴长 顶点坐标 焦点坐标 离心率 渐近线方程
（3）的渐近线方程为： 的渐近线方程为：
的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 。你有何发现？
巩固训练
1、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。
2.求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。
3、求离心率为，经过点M（-5，-3）的双曲线标准方程。
拓展提升
1.设与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹方程．（课本52例5）
三、本节课收获：
双曲线的几何性质
学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进
一步体会数形结合的思想.
学习重点：?双曲线的几何性质及其运用.
一、学习情境
类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？
二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完）
问题1: 画出与的图形，观察图形你能得出双曲线的
哪些性质？
问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质.
问题3：请你回想双曲线的两种标准方程，并填写下表：
标准方程
图 象
范围
对称轴
对称中心
实虚轴
顶点
渐近线
离心率
a,b,c关系
必做题
A级 理P61 (文P53) 1、2、3、4
B级 习题理2.3 (文2.2) 3、4
选做题
1、已知椭圆方程和双曲线方程有下列说法：
①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上;
②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3
③它们的焦距都是10
其中说法正确的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3个
2、根据下列条件，求双曲线方程
①与双曲线有公共焦点，且过点（，2）
②与双曲线有共同的渐近线，且过点（，-3）
三、归纳反思
椭 圆
双 曲 线
定义
标准方程
图形
(顶点坐标)
(焦点坐标)
范围
轴
对称轴(对称中心)
离心率及其范围
a,b,c关系
渐近线
椭圆和双曲线几何性质的比较：
高二数学自主探究学案
内容：2.4.1 抛物线及其标准方程 课时：1
我们知道到定点的距离与到定直线的距离之比是定值e的点的轨迹，当o1时，轨迹是双曲线。想一想，当e=1时，轨迹是什么？
学习任务
阅读课本P64-P67的有关内容，并完成下列问题。
问题1 观察教材P64用《几何画板》所画的点M的轨迹，可能发现点M满足的几何条件是什么吗？点M的轨迹是什么曲线？它与双曲线的图象有何本质区别？
问题2 什么叫做抛物线？什么叫做抛物线的焦点、准线？
问题3 若定点F在定直线上，则与定点F和定直线距离相等的点的轨迹是什么？
问题4 类比双曲线与椭圆标准方程可求解过程，如何建立坐标系才能使所得的抛物线的方程形式更简洁
问题5 抛物线的标准方程有几种不同的形式？分别是什么。完成P66探究
问题6 抛物线标准方程中p的几何意义是什么？p的取值范围是什么？p可以取0吗？为什么？
问题7 完成P66思考
必做题
A级 P67 练习 B级 P73 习题2.4 A组 1、2、3、4、5
选做题
1. 以椭圆的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线的标准方程是_________
2. 若抛物线的准线与圆相切，则p的值为_____
3. 动圆c恒的过定点（0，2）并总与直线y=-2相切，则此动圆圆心的轨迹方程为_______
高二数学选修 1-2 §2.3.1《抛物线及其标准方程》学案
一、学习任务：
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程.
二、探究新知：
探究一：抛物线定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.
问题1 画出的曲线是什么形状？
问题2 |DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？
问题3 点D在移动过程中，满足什么条件？
问题 4 在抛物线定义中，条件“不经过点F ”去掉是否可以？
抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)? ? 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的? ，直线l叫做抛物线的_____________
跟踪训练1、若动点P与定点F(1,1)和直线：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
探究二：抛物线的标准方程
问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？
问题2 抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？
问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？
跟踪训练2、已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.
（1）y2＝－6x； （2）3x2＋5y＝0； （3）y＝4x2； （4）y2＝a2x (a≠0).
自学检测：
1.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为( )A． B． C． D．
2.抛物线y＝－x2的准线方程是 ( ) A．x＝ B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2
3.经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8y C．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x
4.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )
A． B． C． D．0
5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）准线方程为2y＋4＝0； （2）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
6.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.
巩固训练：
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为 ( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x C．y2＝－28x D．x2＝28y
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是 ( )
A．a＋ B．a－ C．a＋p D．a－p
3.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是( )
A． B．3 C． D．
4．焦点在y轴上，且过点A(1，－4)的抛物线的标准方程是__________
拓展延伸：
1.若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
2．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是
A．? B． C． ?? D．
3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( ) A．2 B．3 C． D．
4.已知点A(3,2)，点M到的距离比它到y轴的距离大.
(1)求点M的轨迹方程；（2）是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
?
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三、本节课收获：
1．抛物线的定义:
注意不要忽略条件：点F不在直线l上.
2．抛物线标准方程的几种形式
高二数学选修 1-1 2.3.2抛物线的简单几何性质（一）学案
一、学习任务：
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
二、探究新知：
1．抛物线的几何性质
标准方程
图形
范围
对称轴
焦点
准线
顶点
离心率
注意的几何意义：__________________________________________
探究点一、抛物线的几何性质：
1.已知抛物线关于x轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，
变式1：根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
探究点二 抛物线的焦点弦问题
2.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.
（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
变式2： 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.
焦点弦弦长：直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝____________________
巩固训练：
1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2.已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，则=________
4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝_______
5.抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为__________
6．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
7.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
拓展延伸：
1．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
2．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
三、本节课收获：
高二数学选修 1-1 2.3.2抛物线的简单几何性质（二）学案
一、学习任务：
1.掌握直线与抛物线的交点个数；2.会解决直线与抛物线的弦长问题.
二、探新究知：
探究点一.直线与抛物线的位置关系
问题 结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？
例1.已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
变式1：过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程
直线与抛物线的位置关系：直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程?________________
的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有? 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有? 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线? 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴? ，此时直线与抛物线有? 个公共点.
探究点二.直线与抛物线的弦长问题
例2.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程
巩固训练：
1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A． B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4]
2．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为 ( )
A．(1,2) B．(0,0) C． D．(1,4)
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
4．已知直线l：y＝－x＋1和抛物线C：，设直线与抛物线的交点为，求的长。
5．过点的直线与抛物线只有一个公共点，求此直线方程。
6.抛物线上的两点A、B到焦点的距离之和为10，则线段AB中点到y轴的距离为多少？
拓展延伸：
1．设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.已知抛物线与直线相交于A、B两点
（1）求证：（2）当的面积等于时，求的值
三、本节课收获：
1．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
抛物线及其标准方程
学习目标
1. 了解抛物线的定义和标准方程；
2. 利用定义求抛物线的标准方程，焦点，准线；
3. 在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处.
我们知道到定点的距离与到定直线的距离之比是定值e的点的轨迹，当o 当e>1时，轨迹是双曲线。想一想，当e=1时，轨迹是什么？
学习任务
阅读课本P64-P67 （文科54至59页）的有关内容，并完成下列问题。
问题1 什么叫做抛物线？什么叫做抛物线的焦点、准线？
问题2 若定点F在定直线上，则与定点F和定直线距离相等的点的轨迹是什么？
问题3 类比双曲线与椭圆标准方程可求解过程，如何建立坐标系才能使所得的抛物线的方程形式更简洁
问题4 抛物线的标准方程有几种不同的形式？分别是什么。完成P66探究 ，文科（58页）
问题5 抛物线标准方程中p的几何意义是什么？p的取值范围是什么？p可以取0吗？为什么？
学习课本理科66页（文科58页）例一，并完成课后练习题1，2题
课本理科66页（文科58页）例二，并完成课后练习题3题
【小试身手】
1. （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
（3）已知抛物线的准线方程是.求它的标准方程．
（4）焦点到准线的距离是．求它的标准方程．
2．抛物线y=ax2(a<0)的焦点坐标是( )
A.(a, 0) B.(0, a) C.(0, ) D.(0,－)
3．抛物线x2=4y的焦点为F，点A的坐标是(－1, 8)，P是抛物线上一点，|PA|+|PF|则的最小值是( )
A.8 B.9 C. D.10
4. 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
5. 若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
抛物线的几何性质
学习目标
了解抛物线的几何性质；
2.了解抛物线与直线的关系；
3. 通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在解决问题中的应用.
自学探究
问题1.填表
图形
标准方程
焦点
准线
问题2.类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
图形
顶点
对称轴
离心率
完成课后练习题1，3，4。习题2.4A组1至7题。B组3题
牛刀小试：
1.画出抛物线的图形，求出顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、离心率．
2. 已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于两点，试求弦中点的轨迹方程。
3.已知抛物线的方程，AB是过焦点F的一条弦，点
求证：⑴ ⑵ （为直线AB的倾斜角）
抛物线的焦点弦问题
一、学习任务：
1、会利用弦长计算公式解决有关二次曲线的弦长计算问题
2、会利用抛物线定义解决有关抛物线的焦点弦问题
2．学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题.
二、探究新知：
例1、过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交拋物线y2＝4x于A、B两点，求|AB|.
例2、斜率为1的直线l, 经过拋物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求|AB|.
思考：若把上面问题中的拋物线方程y2＝4x改为一般抛物线方程y2＝2px，则|AB|为？有没有什么规律性？
变式：已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.
（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
变式：在上题中，若求的是| AF|和| BF|呢，又该怎样计算？
变式：已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程？
规律总结：已知直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F，且与抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点.则下列四个式子x1+x2 ，x1 x2，y1+y2，y1 y2是否为定值？
