高二数学选修 2-2 1.1 变化率问题
一、学习任务：
1．通过对实际背景的分析，学生自主探究，经历归纳出平均变化率概念的过程，会根据函数解析式或图象求平均变化率；
2.了解平均变化率的意义,从而了解瞬时变化率和导数的实际背景；
3.从归纳平均变化率概念的过程中,感受从特殊到一般的数学思想方法.
二、新知探究：
问题1. 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
【思维导航】
（1）当空气容量V从0增加到1L时，气球的半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？
（2）当空气容量V从1L增加到2L时，气球的半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？
（3）当空气容量V从增加到时，气球的平均膨胀率为多少？
问题2.在高台跳水中，假设运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系,那么：
（1）运动员在0s到0.5s内的平均速度为多少?
（2）运动员在1s到2s内的平均速度为多少?
（3）运动员在s到s内的平均速度为多少?平均速度的意义是什么？
【思考】若上述两个问题中的函数关系用函数表示，那变化率可用什么式子表示?该式子称为函数从到的平均变化率，平均变化率还可以用什么式子表示?表示的涵义是什么的比值?
问题3.借助函数的图象，探究平均变化率=表示怎样的几何意义？
技能提炼
1.已知
（1）求:从到的平均变化率.
（2）求:从到的平均变化率，并求时的平均变化率.
【总结】求函数的平均变化率的步骤为(1) _______ (2) _______
2.已知函数的图象上一点及邻近一点，求
3．经过曲线上A，B两点作割线，求割线的斜率：
（1） （2） （3）
变式反馈
1. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为_______
2.物体按的规律做直线运动，求在4s附近的平均变化率
3.过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
三、本节课收获：
高二数学选修 2-2 §1.1.2-§1.1.2导数的概念及导数的几何意义
一、学习任务
1. 借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义；
2．通过经历从平均速度到瞬时速度的过渡,抽象出导数的概念,认识导数的内涵与意义,体会无限逼近、以直代曲和从特殊到一般的思想.
3．了解割线斜率与切线斜率的关系；
4.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题；
二、新课探究
问题1. 在高台跳水中，假设运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系,计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
（3）能否用平均变化率更加准确地描述运动员某时刻的运动状态?
（4）那如何求运动员在2s时的瞬时速度呢?先观察下表：
运动员在2s附近的平均速度：
时，在这段时间内
时，在这段时间内
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……
……
技能提炼
1.用导数的定义求函数在处的导数.
【总结】你能归纳总结出求函数在处的导数的方法吗？
【思考】由导数定义，我们知道，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.导数就是事物的________变化率,它反映的是函数在点处变化的_____程度.你能举出生活中的关于瞬时变化率的实际问题吗？
变式反馈
1. 1. 在 =1处的导数为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
2.如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为
3.若，则________
问题1. 如右图,当沿着曲线趋近于点时,
(1)割线的变化趋势是什么？
(2)割线的斜率=______.观察上图我们发现：当点沿着曲线无限接近点时,割线等同于哪条线? 这条直线称为曲线在点处的什么线?
(3)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？切线的斜率为多少？
(4)切线的斜率与函数在处的导数的关系是什么？
(5)这里学习的切线和我们之前学过的圆的切线有何不同？
技能提炼
1.已知曲线
（1）求函数在点p（2,4）处的切线方程.
（2）求曲线过点p（2,4）的切线方程.
【思考】(1)在曲线上点处的切线方程为______________________.
(2)求曲线的切线方程，看清到底是在某点处的切线还是过某点的切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有多条.
【总结】从求函数在处导数的过程可以发现：当时,是一个
确定的数,那么,当变化时, 便是关于的一个函数,我们称它为的导函数.
记作:或,即，导函数也简称导数.
1．求函数的导函数，及在（2，7）处的切线方程.
*2.在抛物线上依次取M(1,1)，N(3,9)两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程
高二数学选修 2-2 §1.2.1-几个常用函数的导数
一、学习任务
1．回顾导数的定义，明确根据定义求导数的方法；
2．根据导数的定义，求函数的导数.
二、新课探究
问题1. 导数的定义是什么？
问题2. 你能根据导数的定义得出求函数导数的一般步骤吗？
问题3. 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，导数的物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时变化率.下面我们求几个常用函数的导数.
(1)利用导数的定义求函数的导数，并从几何角度或物理角度解释导数的意义.
(2)利用导数的定义求函数的导数，并从几何角度或物理角度解释导数的意义.
(3)利用导数的定义求函数的导数，并从几何角度或物理角度解释导数的意义.
(4)函数的导数.
(5)函数的导数.
猜一猜：观察以上五个函数的导数,你能猜想出的导数吗? 并试着证明之.
技能提炼
*1.在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数的定义，求他们的导数.并思考:
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?
(2)这三个函数中,哪一个减得最快? 哪一个减得最慢?
(3)函数增(减)的快慢与什么有关?
2. 画出函数的图象,根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
变式反馈
1．f(x)＝，则f′(8)等于_______
2．求曲线在点P（1,2）处的切线方程。
3．求曲线在点处的切线方程。
高二数学选修 2-2§1.2.2-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
一、学习任务
1．知道基本初等函数的导数公式，知道导数的四则运算法则（加、减、乘）；
2．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
二、新课探究问题1.基本初等函数的导数公式有哪些?
试一试:根据导数的公式计算下列函数的导数
（1） （2） （3） （4）
问题2.导数的运算法则有哪些?
技能提炼
1.求下列函数的导数：
（1） （2）+
（3）+ （4）
（5） （6）
【思考】求函数的导数需要注意什么?
2.已知函数的图象在点P处的切线方程为，求实数的值.
变式反馈
1.求下列函数的导数：
(1)y＝xnex (2) (3)y＝exln x (4)y＝(x＋1)2(x－1)
2．已知函数在点P处的切线方程为，求实数=_____
3.若存在过点（1，0）的直线与曲线和都相切，则_______
*4.已知函数
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数在点处的切线方程.
高二数学选修 2-2 §1.2.2-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）
一、学习任务
1．知道导数四则运算法则（除）, 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数；
2．了解复合函数的求导法则,能求简单复合函数的导数.
二、新课探究
问题1.导数的运算法则有哪些？
试一试：求下列函数的导数：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
问题2.你知道函数是由哪两个函数复合的吗？该函数的求导方法是什么？
试一试：你能写出下列函数的复合过程吗？
(1)y＝(2x－3)5 (2)y＝ (3) (4)y＝ln(2x＋5)．
复合函数的求导法则？
1.求下列复合函数的导数
(1)y＝(2x－3)5 (2)y＝ (3) (4)y＝ln(2x＋5)
2.求下列函数的导数
(1) （2）
【反思】求复合函数的关键是什么?
变式：求曲线上的点到直线2x-y+3=0的最短距离
变式反馈
1.函数，且，则=
2.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围三角形面积为
3.求曲线在点处的切线方程。
三、本节课收获：
§1.3.1 函数的单调性与导数
学习目标：探索函数的单调性与导数的关系；会利用导数判断函数的单调性
并求函数的单调区间.
学习重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间.
一、学习情境
画出y=x2的图象，叙述它的单调性，你会用定义证明它的单调性吗？
在图象上取几个点，观察在每个点处切线斜率的变化情况，你能得到什么
启示？
二、学习任务
阅读课本P22-P26
问题一：通过观察P22-P23的图象，总结出导函数的正负与原函数单调性的
关系？
问题二：回答P23的“？”及P24的“思考”
问题三：结合问题一的结论动手做例1，并总结出如何由导函数画出原函数
的大致图象？
问题四：动手做例2，总结求函数单调区间的基本步骤（三步曲）
问题五：观察例3，回答P26“思考 ”
必做题
P26 练习 1、2、3、4
P31 习题A组 1、2
P65复习参考题 A组 4、5、9 B组1
选做题
1、求f(x)=2x2-lnx的单调区间。
2、已知：f(x)=2ax-，x∈(0,1],若f(x)在（0，1］上是增函数，求
a取值范围。
3、已知曲线y=x3-3x2+6x-10,点P（x,y）在该曲线上移动过P点的切线
设为L
（1）求证：此函数在R上单调递增
（2）求L的斜率取值范围
三、归纳反思
总结导函数与原函数单调性关系
§1.3.2函数的极值与导数
学习目标：结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条
件；理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值.
学习重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法.
一、学习情境
观察下图：①说明f(a)，f(b)与a、b附近的函数值有什么关系？
②a、b两点的导数值是多少？
③在a、b两点附近导数值的符号变化有
什么规律？
二、学习任务
阅读课本P26-P29
问题1：通过P27 探究，你能总结出极值点和极值的定义吗？
问题2：动手做例4，你能总结出求函数极值的基本步骤吗？
问题3：极大值一定大于极小值吗？你能举例说明吗？
问题4：f'(a)=0是a为极值点的什么条件？并举例说明。
问题5：你知道函数y=f(x)在x=a处取极值的充要条件是什么吗？
必做题
A级：P29练习1、2
B级：习题1.3 A组 3、4、5
选做题
1、已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，求c的值。
2、设函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1，求a、b、
c的值，并求出相应的极值。
3、直线y=a与函数y=f(x)=x3-3x的图象有三个不同的交点，求a的取值范
围。
三、归纳提升
总结出极值点的判定方法及求极值的基本步骤。
§1.3函数的最大（小）值与导数
学习目标：明确极值与最值的区别与联系；掌握可导函数在闭区间上最大（或最小）值存在
的充分条件；掌握用导数方法求函数的最值的方法和步骤.
学习重点：闭区间上连续可导的函数的最值的求解.
一、学习情境
在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近所有点的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近所有的最低点，群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底中的最低者的底部，你能理解这段话的含义吗？
二、学习任务 阅读课本P29～P31
问题1：（1）观察P29 、P30的三幅图,按要求完成表格.
y=f(x)在[a,b]上
极大值点
极大值
极小值点
极小值
最大值
最小值
图1.3-13
图1.3-14
图1.3-15
（2）根据上述表格归纳最值与极值的区别与联系：
(最值就是极值吗？
(从个数上看，函数在某个区间内的最值是唯一的，极值不一定唯一.（对不对？）
(最值________（填“能”或“不能”）在区间内部取得，_______（填“能”或“不能”）
在区间端点处取得；极值_______（填“能”或“不能”）在区间内部取得，_______
（填“能”或“不能”）在区间端点处取得.
问题2：阅读例5，总结出求函数在闭区间最值的基本步骤.
问题3：函数在开区间上一定有最值吗？为什么？
必做题 A级: P31 练习; B级: P31 A组 6题, B组, P65 6、8.
选做题 1、求函数的最大值和最小值.
2、函数f(x)=ax2+2ax+1在［-3，2］上有最大值4，求实数a值.
3、设函数为奇函数，其图象在点处的切线
与直线垂直，导函数的最小值为-12.
(1) 求a,b,c的值；(2)求函数的单调区间，并求函数在[-1,3]上的最值.
三、归纳提升
总结： ①函数极值与最值的区别; ②求函数在闭区间上最值的基本步骤
§1.4生活中的优化问题举例
学习目标：会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际
问题中的作用.
学习重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
一、学习情境
在人们的生产、生活中，经常碰到“用料最省”、“利润最大”，“效率最高”等社会热点问题，解决这些问题都归结为函数的最大（小）值问题，都要用到导数这个工具，由此可见，数学与我们的生活有着密切的联系.
二、学习任务 问题课本P34-P36
问题1：动手做例1，写出与课本不同的解法.
问题2：动手做例2，与例1比较体会导数应用的广泛性.
问题3：阅读例3， ① 你能根据所给的知识背景列出函数关系式吗？
② 你能再写出两种与课本不同的求解方法吗？
必做题 A级 习题1.4 1～6； B级 B组 1、2.
选做题
当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？
三、归纳反思
通过三例题总结优化问题的思路.
高二数学选修 2-2 §1.3.1-函数的单调性与导数
一、学习任务
1．了解函数单调性和导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性；
3.会求函数的单调区间。（其中多项式函数不超过三次）
4.通过借助几何直观探索函数的单调性与导数的关系、从而培养数形结合的思想，体会导数作为工具在研究函数单调性时的优越性。
二、新课探究
第一部分 自学探究
问题1. 函数单调性的定义是什么？
*问题2：请填以下空格，探究函数的单调性与导数的关系
y=f(x)=x2－4x+3
单调性
切线的斜率
正负
f′(x)
符号
(2，+∞)
(－∞，2)
我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：
在区间（2，）内，切线的斜率为 ，函数的值随着x的增大而 ，即时，函数在区间（2，）内为 函数；
在区间（，2）内，切线的斜率为 ，函数的值随着x的增大而 ，即0时，函数在区间（，2）内为 函数.
试试：已知导函数f`(x)的下列信息：当10;当x>4或x<1时，；当x=1或x=4时f`(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。
问题3:(合作探究) 请借助函数图象及导数的几何意义回答：为什么f`(x)>0，y=f(x)单增，f`(x)<0，y=f(x)单减？
【技能提炼】
*1.判断下列函数的单调性，并求出其单调区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
反思：求函数单调区间的步骤是：
第二部分 变式反馈
1.函数的单调递增区间是（ ）
A B C D
2.求函数的单调区间
3.已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)内单调递减，求a的取值范围.
三、本节课收获
高二数学选修 2-2 §1.3.2-函数的极值与导数
一、学习任务
1．了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件;
2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）;
3.理解函数极值点与导函数的零点之间的关系.
二、新课探究
第一部分 自学探究
问题1.自学教材P93，观察如图所示，并回答以下问题。
（1）函数在各点处的函数值
与这些点附近的函数值有什么大小关系？
（2）函数在各点处的导数值是多少？
（3）函数在点附近的函数值有什么规律？
问题2．函数极值的定义是怎样的? 包括的类型有哪些?
*1．函数极值的定义
一般地，设函数f(x)在点及附近有定义，如果对附近的所有的点，都有f(x)＜f()，就说f()是 ，叫做 ．如果对附近的所有的点，都有f(x)＞f()，就说 ，叫做 ．极大值与极小值统称为极值．
*2．判别f()是极大、极小值的方法：
若满足f′()＝0，且在的两侧f(x)的导数异号，则是f(x)的极值点，f()是极值，并且如果f′(x)的符号在两侧满足“ ”，则是 ，f()是 ；如果f′(x)在两侧满足“ ”，则是 ，f()是 ．
问题3．你能给出求可导函数极值的步骤吗？
【技能提炼】
*1. 已知函数y=－3＋48x－x3．求函数的极值；
变式：已知函数,能求该函数的极值.
反思：(1)求函数的极值的步骤是什么？ (2)f`(x0)=0的x0处一定是极值吗？请举例说明。
2．设函数在及时取得极值．求，的值；
3.求函数的单调区间和极值。
第二部分 变式反馈
1.函数y=1 +3x－x3有( )
(A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3
(C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3
2．函数f(x)=的极值情况是( )
(A) 当x=1时取极小值2，但无极大值
(B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值
(C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2
(D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值2
3．函数在x＝1处有极值10，则a，b的值是( )
(A)．a＝－11，b＝4 (B)．a＝－4，b＝11
(C)．a＝11，b＝－4 (D)．a＝4，b＝－11
4.函数f（x）在（a，b）上的导数的图像如右图所示，则函数f（x）
在（a，b）上的极大值的个数为（ ）
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
5.已知函数，求的单调区间和极值。
三、本节课收获
高二数学选修 2-2 §1.3.3-函数的最大(小)值与导数
一、学习任务
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念;
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件;
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值（其中多项式函数不超过三次）的思想方法和步骤.
二、新课探究
第一部分 自学探究
问题1.观察下图回答下列问题。
(1)你能找出函数在区间[a,b]上的极大值和极小值么？
(2)你能找出函数在区间[a,b]上的最大值和最小值么？
问题2：函数在闭区间上存在最值的条件是什么？
问题3.“最值”与“极值”的区别和联系？
问题4：利用导数求函数的最值步骤：
一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:
【技能提炼】
1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。
2．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
第二部分 变式反馈
1. 求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______
2. 求下列函数的最值：
（1）函数的最小值是（ ）
A 0 B C D
（2）函数的最大值是__________，最小值是_____________。
3.求函数在区间上的最大值与最小值.
三、本节课收获
第一章1.5.3 定积分的概念
：
学习目标
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
*2.借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.了解定积分的几何意义．
4.能在解题的过程中运用定积分的性质。
自学探究
问题1.前面我们研究了曲边梯形面积和变速直线运动路程的问题，它们的面积表达式、路程表达式的共同特征是什么？
阅读教材相关内容，完成下面问题
问题2.给出定积分的概念
问题3.用定积分符号表示前面两节中曲边梯形面积和变速直线运动路程，你能说说定积分的几何意义么？
技能提炼
1.利用定积分的概念计算的值。
2.根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积么？
3.定积分的性质：
变式反馈
*1.(2012·济宁高二检测)下列值等于1的是( )
(A) (B)
(C) (D)
*2.若f(x)是[-a,a]上的连续偶函数，则=( )
(A) (B)0
(C) (D)
*3.设f(x)=则的值是( )
(A) (B)
(C) (D)
*4.(易错题)已知和式S=(p＞0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可用定积分表示为( )
(A) (B)
(C) (D)
5.利用定积分的概念计算的值，并解释其几何意义。
6.求的值。
