高二数学选修 2-2 §2.1.1-合情推理1
一、学习任务
1．通过实例了解归纳推理的含义；
2．能利用归纳进行简单的推理；
3．体会归纳推理在数学发现中的作用．
二、新课探究
*问题1：阅读教材,对于哥德巴赫猜想你还知道一些什么请和大家分享一下？
问题2：你认为归纳推理的定义中哪些词语是关键词，你可以解释一下吗？
问题3：你觉得归纳推理的特点是什么？
技能提炼
蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.，由此你可以得到什么结论？怎么得到的？
*2.三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，由此你可以得到什么结论？怎么得到的？
3、
【总结】归纳推理的步骤：
变式反馈
1、由此你可以得到什么结论？怎么得到的？
*2、设函数观察：
根据以上事实，由归纳推理可得：当 。
第二章第一节 合情推理2 导学精要
一、学习任务
1．结合已学过的实例和生活中的实例，了解类比推理的含义；
2．能利用类比进行简单的推理．
二、新课探究
1、请你可以为大家出个归纳推理的题目？
2、从鲁班发明锯子的故事你认为他的思路想法是怎样的？你还知道鲁班的其他故事吗？
3、你由类比推理的定义可以分析出定义中的关键词并解释一下吗？
【技能提炼】
*1、将侧棱互相垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的直角面和斜面，过三棱锥的顶点及斜面两边的中点的截面均称为斜面的中面。直角三角形具有性质:“斜边的中线等于斜边的一半”，仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：
*2、若等差数列{an}的公差为d，前n项和为sn，则数列为等差数列，公差为，类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为 。
【思考】你认为两类事物的类比可以从哪些角度进行呢？
【总结】类比推理的步骤和归纳推理的联系区别：
变式反馈
1、试根据等式的性质类比猜想不等式的性质。
等式的性质： 不等式的性质
(1) a=b(a+c=b+c; （1）
(2) a=b( ac=bc; （2）
(3) a=b(a2=b2; （3）
*2、已知点是函数的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立。运用类比思想方法可知。若点是函数的图像上的不同两点，则类似地有 。
*3、设P是边长为a的正三角形ABC内一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3，则a；类比到空间，设P是棱长a为的正四面体ABCD内一点，则P点到四个面的距离之和= 。
4、一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，你认为它一定对吗？你可以举出一个例子吗？
高二数学选修 2-2 §2.1.2-演绎推理
一、学习任务
1．结合数学和生活的实例了解演绎推理的含义；
2．能正确地运用演绎推理进行简单的推理；
３．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
二、新课探究
自学探究 我们已经学习过的合情推理包括归纳推理和类比推理，这两种推理的特点就是从特殊出发得到新结论，但是结论不一定正确 ，那么如何推理能保证结论一定正确呢？
阅读课本P78-P81完成下列问题
问题一：通过引例，总结出演绎推理的概念。
问题二：演绎推理的一般模式是什么？它包括什么？并完成P81练习1
问题三：动手做例5、例6和边上“？”，体会演绎推理作用。
问题四：演绎推理的特点是什么？
问题五：如何用集合的观点理解“三段论”？
问题六：完成P80与P81思考？
【技能提炼】
*1、用三段论的形式写出下列演绎推理。
矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等。
是有理数
是周期函数
（4）函数的图象是一条抛物线
*2、请你举出一些用三段论的例子？
【思考】你认为演绎推理要注意些什么？
【总结】运用演绎推理的步骤：
变式反馈
1、请看下面的推理
因为指数函数是增函数，—大前提
而是指数函数， ——小前提
所以是增函数． ——结论
(1)、上面的推理形式正确吗？
(2)、推理的结论正确吗？为什么？
(3)、请你为小组出一个类似的推理过程？
*2、证明函数(x).是奇函数，并指出大、小前提和结论
必做题
P81 练习 2、3
P83 A组 6
选做题
1、在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥ BA，用三段论证明：ED=AF。
2、用三段论证明：通项公式an=a1+（n-1）d（a1，d为常数）的数列｛an｝是等差数 列。
3、证明函数f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数。
归纳反思
①总结演绎推理概念，明确其特点
高二数学选修 2-2 §2.2.1-综合法
一、学习任务
1．理解综合法的思维过程及其特点；
2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。
二、新课探究
自学探究（阅读教材相关内容，完成下面问题.）
1.综合法的定义
从命题的 出发，利用 、 、及 ，通过 ，一步一步地接近要证明的 ，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为________________.
2.用综合法证明不等式的逻辑关系是：
???…?
3.综合法的特点
(1)从“已知”看“可知”．逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理．实际上是寻找要证结论成立的必要条件．(2)用综合法证明不等式，要求证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，能够表达推理的思维轨迹．
精讲互动：
例1. 已知a,b>0,求证
例2 设，求证：
例3.求证：是函数的一个周期。
例4.已知：x,y,z为互不相等的实数，且求证：
1. 已知a、b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
2.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
综合法的特点：
①综合法的证题过程是从“已知”看“可知”，再由“已知（包括上一步的结果）”看“可知”，……，最后推导出“未知”的“由因导果”的过程；
②由于已知条件有不同组合，每个组合又有不同的中间结果出现，这些中间结果不是对解题都有用，因此如何找到有效的推理“路线”是运用综合法的难点，换言之：运用综合法解题有一定的盲目性。
③运用综合法解题，步骤严谨，逐层递进，条理清晰，宜于表达，是我们在解题中的主要的表达方式。
高二数学选修 2-2 §2.2.2-分析法
一、学习任务
1. 结合已学过的实例，了解直接证明的方法——分析法，了解分析法的思考过程与特点。
理解分析法的思维过程和特点；
运用分析法证（解）题时，规范书写证明过程.
二、新课探究
自学探究（阅读教材相关内容，完成下面问题.）
自主学习
1．分析法的定义
从 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的 ，直到归结为这个命题的 ，或者归结为 、 、 等，把这样的思维方法称为分析法．
2．分析法的框图表示
3．分析法有何特点
(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件．
(2)若命题表示为“若A则D”则用分析法的思考顺序可表示为：要证D成立，只需证明C成立；要证C成立，只需证明B成立；……，最后得到一个明显成立的条件A或定理、公理等.
4.综合法与分析法有什么区别？
综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件，是由因索果；而分析法是从待求证的结论出发，逐步靠拢已知．每步寻找的是充分条件，是执果索因．
精讲互动：
例1．证明：在则是锐角．
例2.求证：.
例3.已知：是不相等的正数.求证：.
例3.求证：函数在区间上是增加的.
达标训练：
1．求证
２．已知，求证：（且）．
3.求证：
本节课收获
1.用分析法证明不等式
(1)当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更行之有效．另外对于恒等式的证明也同样可以运用．
(2)用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略
高二数学选修 2-2 §2.2.2-反证法
一、学习任务
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2.使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
二、新课探究
复习旧知
1.直接证明的两种基本证法：________________________
2.这两种基本证法的推证过程和特点是什么？
3.在实际解题时，两种方法如何运用？
预习新知
4.反正法是_____________的一种基本方法。
5.课本P89页思考，你能解释这种现象吗？
6.一般地，假设原命题________（即在原命题的条件之下，结论不成立），经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了____________________，这样的证明方法叫反证法。
7.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为____________
8.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______
矛盾，或与___________________________________矛盾等。
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
采用反证法证明：
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，（假设）
所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次． （延着假设进行推理）
但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．（与已知相矛盾）
这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上.（由矛盾说明原结论正确）
1.变式：（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？
2.课本例2、求证：是无理数
（1）___________________________是有理数，________________________是无理数。
（2）有理数可写成形如_______________________________________的形式。
（3）两个正整数互质可理解为____________________
（4）奇数通常表示为或，则偶数可表示为____________
(5)奇数的平方是________（奇数还是偶数？），而偶数的平方是_________（奇数还是偶数？）
（6）本题如何证明呢？写出证明过程
【展示提升】
已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。
2.不可能成等差数列
3.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
4.已知x>0,y>0，x+y>2，求证： 中至少有一个小于2。
※ 学习小结
1. 反证法的步骤_________________________________________，
_________________________________________，
_________________________________________.
2. 哪些命题适宜用反证法加以证明？_____________________________________________
3.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_________________________________________矛盾，或者_________________矛盾等。
【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.
A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于
2. 实数不全为0等价于为（ ）.
A．均不为0 B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0 D．中至少有一个不为0
3.设都是正数，则三个数（ ）.
A．都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
三、本节课收获：反思总结：
高二数学选修 2-2 §2.2.3-数学归纳法
一、学习任务
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、新课探究
情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的.
情境二：平面内三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，于是得出：凸边形内角和是 .
情境三：数列的通项公式为可以求得于是猜想出数列的通项公式为.
情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔，怎么证明它们是白色的呢？
结论：情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法，情景四是完全归纳法，结论可靠但要一一核对,工作量大.
提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要
学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.
（二）实验演示，探索解决问题的方法
?1．演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒
下，必须具备哪些条件呢
第一块骨牌必须倒下.
两块连续的骨牌，当前一块倒下一定导致后一块倒下.
可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第 块倒下时，相邻的第 块也倒下.
这样，只要第1块倒下，其他所有的就能够相继倒下.无论多少块，只要①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
演示小节：数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.
2． 数学归纳法原理
证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1） （归纳奠基） 当取第一个值（）时命题成立；
（2） （归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础.
（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.”）
例1 用数学归纳法证明：如果 是一个等差数列，那么 对于一切 都成立.
证明: (1)当 时,左边 右边结论成立
(2)假设当 时结论成立， 即
则当
当时，结论也成立.
由(1)和(2)知,等式对于任何都成立.
例2 已知数列其通项公式为试猜想该数列的前项和公式并用数学归纳法证明你的结论.
解： （1）
(2) 猜想问题转化为证明
证明:（1） 当时,左边=1,右边=1,等式是成立的.
(2) 假设当时等式成立，即有
则当,有
因此，当时，等式也成立
由(1)和(2)知,等式对于任何都成立.
等式类型的１、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=。
２、 用数学归纳法证明
３、用数学归纳法证明：。
不等式类型的
１、用数学归纳法证明
２、若n为大于1的自然数，求证
证明 (1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即
３、用数学归纳法证明(n∈N,n≥2)
说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。
变题: 用数学归纳法证明 (n∈N+)
４、已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。
随堂测试：
1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A n=1 B n=2 C n=3 D n=41．
2．用数学归纳法证明第二步证明
从“k到k+1”，左端增加的项数是( )
A. B C D
３、 观察下列式子 …则可归纳出____
(n∈N*)
