高二数学选修 2-2 §1.5.1-复数的几何意义
一、学习任务
1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想；
2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。
3.体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
二、新课探究
自学探究
阅读教材第104、105页的有关内容，并完成下列问题：
1、复数相等的充要条件表明，任何一个复数a+bi都可以由一个有序实数对（a,b）唯 一确定，而有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？
2、我们知道平面直角坐标系中的A与以原点O为起点位、A为终点的向量OA是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？
3、我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离，任何一个向量都有模，它表示向量的长度，相应地，你可以给出复数的模的概念吗？它又有什么几何意义呢？
4、满足| z |=5（z∈R）的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？满足3<| z |<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？
5、P105 练习
技能提炼
在复平面内描出复数1+4i, 7-2i, 6, 2i, -2+3i 分别对应的点，
并分别画出复数所对应的向量。
2.若复数表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z的模。
3 .在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，.试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.
变式反馈
1.在复平面内画出所对应的向量.
2.若复数，求z的模。
3.如果P是复平面内表示复数的点，分别指出下列条件下点P的位置：
（1） （2）
（3） （4）
4.实数m取什么值时，复平面内表示复数的点
（1）位于第四象限？ （2）位于直线上？
第三章第一节 数系的扩充与复数的概念
学习目标
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。
2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。
自学探究
问题1. 在实数集中方程x2-1=0是什么？ 方程x2+1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能
设想一种方法，使这个方程有解吗？
问题2.复数的概念是什么？
问题3.若复数a+bi=c+di，则实数a、b、c、d满足什么条件？
问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。
练习题：
完成课本104页1，2，3
（二）1.实数m取何值时，复数z=m+1+(m-1)i是实数？虚数？纯虚数？
2.已知是虚数单位，复数Z=(m2-4)+(m+2)i，当取何实数时，Z是：（1）实数 （2）纯虚数
3. 如果为实数,求实数的值。
4.若，则的值是？
5.已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程x2-4x+3=0的两根，试求：的值。
[思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？
第三章第二节 复数的几何意义
学习目标
1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想；
2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。
自学探究
问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？
问题2.复数Z= （ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？
问题3.怎样求一个复数的模？
练习题：
（一）完成课本105页1，2，3；106页A组全做
（二） 1.若复数，求z的模。
2.若复数表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z的模。
3.在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，. 试
判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.
第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义
1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义；
2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。
自学探究
问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？
复数加法的几何意义呢？
问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。
问题3.若复数z1+z2=z3,你能否用z2和z3表示出z1 ？请画图说明。
你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？
练习题：
（一）完成课本109页1，2
（二）计算 （1） （2）5i-(-2+3i)+(4-7i)
2 . 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，，，试求：
（1）表示的复数； （2）表示的复数； （3）B点对应的复数.
3.ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是，求点D对应的复数.
4. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第三章第四节 复数代数形式的乘除运算
学习目标
1. 理解共轭复数的概念；
2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。
自学探究
问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=?
问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。
问题3.复数与3-4i有何关系？的共轭复数是什么？的共轭复数是什么？
思考：若是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？
（2）是一个怎样的数？有何特征？
问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i）Z =4+3i中的复数Z =？
你能得出复数除法运算法则吗？
练习题：
（一）完成课本111页1，2，3；112页A组1至6题;116页A组全做，B组1，2题。
（二）1. 复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2.如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3. 若，则的值为
4. 计算
（1）； （2）
5. 若复数满足，则的值为
第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课）
1. 设，，则在复平面内对应的点（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 等于（ ）
A． B． C． D．2
3. 复数的值是（ ）
A． B． C． D．
4.复数的实部是 ，虚部是
的值是
.在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
7.复数的虚部为
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2
8.已知
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i
9.复数的值是_________.
10.设为实数，且，则 。
11.若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
12.已知，求及.
13.若，且为纯虚数，求实数的值.
14.已知，复数，当为何值时，
（1）？
（2）是纯虚数？
（3）对应的点位于复平面第二象限？
（4）对应的点在直线上？
高二数学选修 2-2 §3.1.1-数系的扩充与复数的概念
一、学习任务
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。
2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。
二、新课探究
自学探究（阅读教材相关内容，完成下面问题.）
于复数的认可，在19世纪可没那么简单，第一次认真讨论 这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹诺，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辨量”，几乎过了100年，笛卡儿才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数，但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用imaginary（想象的，假想的）的缩写i来表示它的单位，后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他也感到它的作用，1830年，高斯详细论述了用平面直角坐标系的复平面上的点表示复数a+bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了一个漫长坎坷的过程，可最终使人们接受它的还是它的几何表示，用点表示复数后，人们才觉得复数的存在。
自学探究
问题1. 在实数集中方程x2-1=0是什么？ 方程x2+1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
问题2.复数的概念是什么？
问题3.若复数a+bi=c+di，则实数a、b、c、d满足什么条件？
问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。
试一试：指出下列复数哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数
技能提炼
1.实数m取何值时，复数z=m+1+(m-1)i是实数？虚数？纯虚数？
变式：
已知是虚数单位，复数Z=(m2-4)+(m+2)i，当取何实数时，Z是：（1）实数 （2）纯虚数
[思考]：你能得出判断一个数是实数、纯虚数的方法吗？
2.如果(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值。
变式反馈
指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2.如果为实数,求实数的值。
3.若，则的值是？
4.已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程x2-4x+3=0的两根，试求：的值。
高二数学选修 2-2 §3.2.1-复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、学习任务
1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义；
2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。
二、新课探究
自学探究
问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？复数加法的几何意义呢？
试一试：
（1）= （2）=
（3）= （4）=
问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。
问题3.若复数z1+z2=z3,你能否用z2和z3表示出z1 ？请画图说明。
你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？
技能提炼
1 .计算 （1） （2）5i-(-2+3i)+(4-7i)
反思：复数的加减法与实数加减法的区别与联系？
2 . 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，，，试求：
（1）表示的复数； （2）表示的复数； （3）B点对应的复数.
变式练习：
ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是，求点D对应的复数.
变式反馈
1.计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中是原点，求向量，对应的复数。
高二数学选修 2-2 §3.2.2-复数代数形式的乘除运算
一、学习任务
1. 理解共轭复数的概念；
2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。
二、新课探究
自学探究
问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=?
试一试：计算下列各式，并归纳出复数乘法运算法则。
（1）（7-6i）(-3i) (2) (3+4i)(3-4i)
问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。
问题3.复数与3-4i有何关系？的共轭复数是什么？的共轭复数是什么？
思考：若是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？
（2）是一个怎样的数？有何特征？
问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i）Z =4+3i中的复数Z =？
你能得出复数除法运算法则吗？
提炼建构
1 .计算
（1）； （2）；
（3） （4）；
2 .计算
（1）， （2）
变式反馈
1. 复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2.如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3. 若，则的值为
4. 计算
（1）； （2）
（3）； （4）
5. 若复数满足，则的值为
复数代数形式的乘除运算
教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算，难点突破：
知识点复习(预习时完成)
复数代数形式的加法法则：
复数代数形式的减法法则：
复数的加法法则满足的运算律：
复数的加减法的几何意义：
二、探索新知 (预习时完成)
1、计算：（1） （2）
类比多项式的乘法，复数的乘法应怎样计算？两个复数乘积的结果是什么？
2、复数的乘法法则：
例1、计算: (1) (2)
(3) (4)
乘法运算律(预习时完成)
复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni
则z1·z2=(a+bi)(c+di)= = =
而z2·z1=(c+di)(a+bi)= = =
∴
对任意z1 , z2 , z3 ∈C. 有
z1·z2= (交换律)
(z1·z2)·z3= (结合律)
z1(z2+z3)= (分配律)
练习：(1) (1+i)2 (2)(3+4i)(3-4i)(可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算)
3、共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作:
练习：说出下列复数的共轭复数
思考:若z1 , z2是共轭复数，那么
(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（画图）
(2)z1·z2是一个怎样的数？
(3)类比，试写出复数的除法法则。
4、复数的除法法则
(其中叫做实数化因式)
例2. 计算(1+2i) ÷(3-4i)
练习：计算(1)， (2)
(3) (1-2i)(3+4i)(-2+i) (4)
(5) (6)
5、高考典例：
1.(2010全国)复数( )
A．i B.-I C.12-13i D.12+13i
2.(2010安徽)( )
A. B. C. D.
三、作业：
1．计算（1） （2） （3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。
3．已知，为的共轭复数，若，求.
小结：本节课学到了什么？
