§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）（导学案）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）
复习1 从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？
复习2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？
二、新课导学
※ 学习探究：探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分____类方法?
第一类方法用 ，有___ 种方法;
第二类方法用 ，有___ 种方法;
∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法.
新知：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由 个部分组成，
第一部分是 ，有____种编法，
第二部分是 ，有 种编法；
要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，
不同的号码一共有 个.
新知：分步计数原理－乘法原理：
完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同方法。
试试：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？
※ 典型例题
例1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?
变式：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有种.这种算法对吗？
小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.
例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？
小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
※ 动手试试
练1. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.
⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?
三、总结提升
※ 学习小结
1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？
2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？
知识拓展
集合A中有n个元素，则集合A的子集的个数有个.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有 种不同的选法.
2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.
3.乘积展开后，共有 项.
4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.
5. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.
课后作业
1. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地
有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
2. 如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？
§1.1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）
学习目标
1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；
2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；
3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材 ~ P10，找出疑惑之处）
复习1：什么是分类加法计数原理？什么是分步乘法计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？
复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.
⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※ 学习探究：探究任务一：两个原理的应用
问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z, 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？
新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.
试试：
积展开后共有多少项？
反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.
※ 典型例题
例1 核糖核酸（RNA）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是A,C,G,U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关.假设有一类RNA分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
⑴ 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
⑵ 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.
例2 计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？
变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
※ 动手试试
练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法
2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.
※ 知识拓展
乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有 种不同的选法.
2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有 个.
3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成 个不同的分数，可以构成 个不同的真分数.
4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个.
5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是 .
课后作业
1. 设，，则在直角坐标系中满足条件的点共有 个；
2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.
3. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .
4. 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有 种.
5. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.
6. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为 .
《计数原理》复习
学习目标
1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P38~ P41，找出疑惑之处）
复习1：加法原理的使用条件是 和 ；乘法原理的使用条件是 和 .
复习2：排列中的元素满足的两个条件是____________和_______________；组合中元素只需要满足条件________________，与元素的顺序___关.
复习3：＝ _____________________________________
展开式中第项的二项式系数是 ，通项公式是 ，
二项式系数的性质有三个是 ， 和 ____ .
二、基础知识
1.乘积展开后，共有_________项；
2. 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是
3..安排6名歌手演出顺序，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是
_____
4.. 有5人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，不同分法的种数是
5.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是__________
6. 正十二边形的对角线的条数是
7.的展开式中，系数最大的项是第 _ __ 项.
8.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有 个；
9. 平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有 个交点；
10. 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有 种排法；
11. 已知＝21，那么n＝ ；
12在的展开式中，各项系数的和是___________
13.（07北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 ( )
A. B. C. D.
14.（07重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）
15.100件产品中有97件合格品，3件次品，从中任意抽取5件进行检查，问：
抽取5件都是合格品的抽法有多少种？
抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
抽出的5件至少有2 件是次品的抽法有多少种？
16. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数
⑴ 能够组成多少个六位奇数？
⑵ 能够组成多少个大于201345的正整数？
17.求的展开式中的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
学后反思：___________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
学习重点：理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，从甲地到乙地共有多少条不同的路线？
学习任务： 阅读课本P2～P10
问题1：你如何理解分类加法计数原理中“每一类”的含义吗？
你又是如何理解分步剩法计数原理中“每一步”的含义的？
问题2：回答P3、P5探究
问题3：分别指出例1～例4中要完成的“一件事”分别是什么呢？
问题4：例5中要完成的“一件事”是什么？你还能给出不同的解法呢？
问题5：通过例7，为什么每个汉字至少要用2个字节表示吗？
问题6：分别指出例8，例9中要完成的“一件事”分别是什么？
问题7：你能从自己的生活经历中举出用两个计数原理的例子吗？
必做题
A级 P6 1～3 P10 1～4
B级 P12 习题1.1 A组 B组
选做题
1、从1，2，3，4四个数字中，每次取出两个数字组成一个两位数。
（1）如果数字不允许重复使用，能得到 个不同的两位数。
（2）如果数字允许重复使用，能得到 个不同的两位数。
2、有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项。
（1）学生甲参加了这个项目，但只获得一个奖项，则学生甲获奖的不同情况有 种.
（2）有6名学生参加了这三个项目，若一个学生可获多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有几种。
3、用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？
4、一位同学从城中的A处沿街道走到B处（如图），路程最近的走法有多少种跜 ？
5、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方
式共有多少种？
归纳提升
你能归纳一下用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决计数问题的方法吗？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
学习重点：理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，从甲地到乙地共有多少条不同的路线？
学习任务：阅读课本P2～P10
问题1：你如何理解分类加法计数原理中“每一类”的含义吗？
你又是如何理解分步剩法计数原理中“每一步”的含义的？
问题2：回答P3、P5探究
问题3：分别指出例1～例4中要完成的“一件事”分别是什么呢？
问题4：例5中要完成的“一件事”是什么？你还能给出不同的解法呢？
问题5：通过例7，为什么每个汉字至少要用2个字节表示吗？
问题6：分别指出例8，例9中要完成的“一件事”分别是什么？
问题7：你能从自己的生活经历中举出用两个计数原理的例子吗？
必做题
A级 P6 1～3 P10 1～4
B级 P12 习题1.1 A组 B组
选做题
1、从1，2，3，4四个数字中，每次取出两个数字组成一个两位数。
（1）如果数字不允许重复使用，能得到 个不同的两位数。
（2）如果数字允许重复使用，能得到 个不同的两位数。
2、有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项。
（1）学生甲参加了这个项目，但只获得一个奖项，则学生甲获奖的不同情况有 种.
（2）有6名学生参加了这三个项目，若一个学生可获多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有几种。
3、用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？
4、一位同学从城中的A处沿街道走到B处（如图），路程最近的走法有多少种跜 ？
5、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方
式共有多少种？
归纳提升
你能归纳一下用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决计数问题的方法吗？
§1.2.1. 排列（2）
学习目标
1熟练掌握排列数公式；
2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P18~ P20，找出疑惑之处）
复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同
复习2：排列数公式：
＝ （）
全排列数： ＝ ＝ .
复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是
二、新课导学
※ 学习探究：
探究任务一：排列数公式应用的条件
问题1：
⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
新知：排列数公式只能用在从n个不同元素中取出m个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.
探究任务二：解决排列问题的基本方法
问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.
※ 典型例题
例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？
（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？
（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？
变式：：某小组6个人排队照相留念．
(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？
(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？
(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？
(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法.
例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.
（1）没有重复数字的四位偶数？
（2）比1325大的没有重复数字四位数？
变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，
⑴ 能组成多少个没有重复数字的四位奇数？
⑵ 能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？
※ 动手试试
练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？
练2. 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.
2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.
※ 知识拓展
有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？
（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；
（2）7个人排成一排，其中甲、乙两人之间必须间隔2人.
学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有 块.
2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有 种.
3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是 .
4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有 种不同的方法.
5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有 种.
课后作业
1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？
2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？
§1.2.1. 排列（一）（导学案）
学习目标
1. 理解排列、排列数的概念；
2. 了解排列数公式的推导.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）
复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：排列
问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？
新知1：排列的定义
一般地，从n个 元素中取出m（ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.
试试： 写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.
反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？
探究任务二：排列数及其排列数公式
新知2 排列数的定义
从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
试试： 从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
问题：
⑴ 从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？
⑵ 从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？
⑶ 从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是多少？
新知3 排列数公式
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数
新知4 全排列
从n个不同元素中 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
※ 典型例题
例1计算：⑴; ⑵ ; ⑶ .
变式：计算下列各式：
⑴; ⑵
⑶ ; ⑷ .
例2若，则 ， ．
变式:乘积用排列数符号表示 ．（）
例3 求证：
变式 求证：
小结：排列数可以用阶乘表示为=
※ 动手试试
练1. 填写下表：
n
2
3
4
5
6
7
n！
练2. 从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 排列数的定义
2. 排列数公式及其全排列公式.
※ 知识拓展
有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
解：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S（D）=9！/9.
学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 计算： ;
.
2.. 计算： ；
3. 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；
4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；
5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.
课后作业
1. 求证：
2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？
3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
§1.2.2. 组合（1）(导学案)
学习目标
1. 正确理解组合与组合数的概念；
2. 弄清组合与排列之间的关系；
3. 会做组合数的简单运算；.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P21~ P23，找出疑惑之处）
复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 .
复习2：排列数的定义：
从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示
复习3：排列数公式：= = （）
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合的概念
问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
新知：一般地，从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
试试：试写出集合的所有含有2个元素的子集.
反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？
探究任务二．组合数的概念：
从个 元素中取出个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示．
探究任务三 组合数公式
＝ ＝
我们规定：
※ 典型例题
例1 甲、乙、丙、丁4个人，
（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况；
（2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？
变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况.
小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.
例2 计算：（1）； （2）
变式：求证：
※ 动手试试
练1.计算：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ .
练2. 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.
练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确理解组合和组合数的概念
2.组合数公式：
或者：
※ 知识拓展
. 1772年，旺德蒙德以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。而欧拉则於1771年以 及於1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直 沿用至今.
学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．
2. 设集合，已知，且中含有3个元素，则集合有 个.
3. 计算：= .
4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有个不同的积；任取两个不同的数相除，有个不同的商，则：= .
5. 写出从中每次取3个元素且包含字母，不包含字母的所有组合
课后作业
1.计算：
⑴ ； ⑵ ；
2. 圆上有10个点：
⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？
⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？
§1.2.2 组合（2）（导学案）
学习目标
1. 掌握组合数的两个性质；
2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；
学习过程
一、课前准备
（预习教材P24~ P25，找出疑惑之处）
复习1：从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示.
复习2： 组合数公式：
＝ ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合数的性质
问题1：高二（6）班有42个同学
⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？
⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？
⑶ 上面两个问题有何关系？
新知1：组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数，即：
试试：计算：
反思：⑴若，一定有？
⑵若，一定有吗？
问题2 从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类是不含有．含有的组合是从这 个元素中取出 个元素与组成的，共有 个；不含有的组合是从这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？
新知2 组合数性质2 ＝+
※ 典型例题
例1（1）计算：；
变式1：计算
例2 求证：＝++
变式2：证明：
小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.
例3解不等式.
练3 ：解不等式：
※ 动手试试
练1.若，求的值
练2. 解方程：
（1）
（2）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 组合数的性质1：
2. 组合数性质2：＝+
※ 知识拓展
⑴ 计算
⑵ 计算
学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ＝
2. 若，则
3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
4. 若，则 ；
5. 化简： .
课后作业
1. 计算：
⑴ ; ⑵
2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
3. 若，求的值
§1.2.2 组合（3）
学习目标
1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；
2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：⑴ 从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示；从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
⑵ ＝
＝ ＝
与关系公式是
复习2：
组合数的性质1： ．
组合数的性质2： ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：排列组合的应用
问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？
⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？
新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.
试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？
反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？
※ 典型例题
例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
⑴ 有多少种不同的抽法？
⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件：
⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种？
⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？
⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？
⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种？
小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .
例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：
⑴ 分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；
⑵ 分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；
⑶ 平均分成三堆.
变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
例3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？
变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法?
※ 动手试试
练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,
（1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?
（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?
（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?
（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?
（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确区分排列组合问题
2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.
※ 知识拓展
根据某个福利彩票方案，在1至37这37个数字中，选取7个数字，如果选出的7个数字与开出的7个数字一样既得一等奖.问多少注彩票可有一个一等奖？如果要将一等奖的机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数字？
学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 凸五边形对角线有 条；
2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有 个；
3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是 ；
4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；
5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？
课后作业
1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？
2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.
⑴ 如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？
⑵ 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？
⑶ 如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？
⑷ 如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
排列组合
知识梳理：
1．两个概念
(1)排列：从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)，按照 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)组合：从n个不同元素中取出m个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．两个公式
(1)排列数公式：A＝ ＝ . 规定0！＝_____ .
(2)组合数公式：C＝ ＝ . 规定C＝ _____.
3．组合数的两个性质：(1)C＝ ； (2)C＝ .
题型一、排列组合计算问题
１、可表示为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2、计算
3、下列各式正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．
Ｄ． Ｅ． F．
计算
计算
题型二 有限制条件的排列问题
【例1】 3男3女共6个同学排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少种排法?
(2)女生与男生相间，有多少种排法?
(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法?(变式1：4男3女，变式2：3男4女）
(4)3名男生不排在一起，有多少种排法?
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法?
题型三 有限制条件的组合问题
【例2】 要从12人中选出5人去参加一项活动.
(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法?
(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法?
(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法?
(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法?
(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法?
题型四 隔板问题：
1、7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？
2、10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？
题型五 二限问题：
1、用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的五位数？
3、用6000~9000之间有多少个没有重复数字的5的倍数？
3、从Ａ、Ｂ、C、D、Ｅ、Ｆ、Ｇ这7个歌手中选出4个表演独唱，规定每个歌手最多只能出场一次，而且第一个节目不能排A、B，第二个节目不能排A、B、Ｃ、Ｄ问有几种排法？
4、用3000~8000之间有多少个没有重复数字的奇数？
题型六 分组分配问题
例2 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
拓展延伸
1、把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.
(1)43 251是这个数列的第几项? (2)这个数列的第97项是多少?
2、四面体的顶点和各棱中点共有10个点.
(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法?
(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法?
3、 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同
一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．
4、在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的亮灯方式增加舞台效果，每次点亮时，总是选择9只灯亮、6只灯关，且关掉的灯都不相邻，两端的灯不能关，则有几种不同的亮灯方式（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
1．解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：
(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘．
(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径．
即：①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法； ③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法；
⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法； ⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法；
⑨至少(至多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法； ?局部与整体问题排除法； ?复杂问题转化法．
2．计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行的，分步是否按事件发生的过程进行的．
3．画示意图是寻找解题途径的有效手段.
排列 学案
学习目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；
能用排列数公式计算。
学习重点：排列、排列数的概念。
六位同学要站成一排照相，一共有多少种不同的站法？你会用怎样的方法解决这个问题呢？这类问题在我们的生活中是常常遇到的，除了用计数原理解决外，我们有没有更加简练的方法解决它们呢？这正是我们这学时的主要任务。
学习任务：阅读课本P14-P20，完成下列问题
1.运用列举法计数，我们要做到“不重不漏”，可以培养有序、全面地思考问题的习惯。你能通过“树状图”用列举法解决教材中的问题1和问题2吗？运动基本计数原理计数，体现了我们的抽象思维能力，你能利用基本计数原理来解决教材中的问题1和问题2吗？此时，在问题1和问题2中要完成的“一件事”分别是什么？它们有什么共同特点？
2.什么是“从n个不同元素中取出m个元素的一个排列”？它具有怎样的特征？你如何理解排列定义中“按照一定的顺序”的含义呢？试举例说明。
3.你能用分步乘法原理计算从n个不同元素中取出m个元素的排列数吗？教材中导出排列数公式用的是什么方法？在推导时，为什么第m个位置共有n - m +1种填法？“n的阶乘”的含义和表示是什么？你能否推导出排列数的阶乘公式？请你概括一下这两个公式的特点，并进行记忆。
必做题
A级 P20 练习
B级 P27 习题1、3、4、5、6、7
选做题
1.（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投1封，共有 种不同的投法。
（2）将2封信随意投入4个邮箱，共有 种不同的投法。
2.已知=89，求n值.
3.求证： + = .
4. 由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个
（1）三位数？
（2）没有重复数字的三位数？
（3）没有重复数字的末位是5的三位数？
5. 用0，1，2，3，4，5这6个数字
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
6. 4个男同学，3个女同学站成一排。
（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？
（4）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
（5）甲、乙、丙三人按自左向右顺序排，有多少种不同排法？
（6）若排成两排，前排三人，后排两人，有多少排法？
（7）若男生个子都不同，则男生按高矮顺序排有多少种排法？
§1.3.1 二项式定理
一、学习目标
1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用； 2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程
二、新知探索
引入：二项式定理研究的是的展开式
（一）探究 、的展开式
问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？
合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？
问题3：的展开式又是什么呢？
结论：= C a4+ C a3b+ C a2 b2+ C ab3+ Cb4
（二）猜想、证明“二项式定理”
问题4：的展开式又是什么呢？
合作探究2: (1) 将展开有多少项？
（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？
（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？
（4）如何确定“a”、“b”的系数？
二项式定理：
=_____________________________________________________________()
(三)归纳小结：二项式定理的公式特征
（1）项数：_________项；
（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到____；字母b按升幂排列，次数由___递增到___；
（3）二项式系数：下标为___，上标由___递增至___；
（4）通项:Tk+1= ____________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为_______；
（5）公式所表示的定理叫___________，右边的多项式叫做的二项展开式。
例1 求的展开式
①的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求的展开式中含的系数。
四、当堂检测
1.写出（p+q）7的展开式；
2.求（2a+3b）6的展开式的第3项____________________；
3.写出的展开式的第r+1项________________________-；
4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是 （ ）
（A） (B) (C) (D)
五、课后作业
1．在的展开式中，的系数为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ） A．10 B．11 C．12 D．13
3．展开式中的系数是__________________________
4. 的展开式中常数项为________________________
5. 的展开式中，含项的系数是___________________
6. 若的展开式中前的系数是9900，求实数a的值
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(导学案)
一、预习目标
借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。
二、预习内容
复习1、写出二项式定理的公式：
____________________________________________________________________________;
⑴ 公式中叫做
二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在展开式中，共有 项，的次数规律是 ，的次数规律是 ______
复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.
【问题探究1】杨辉三角的来历及规律
问题1：把（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本的表格。
问题2：阅读课本：的“杨辉三角”，想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
蕴含规律：1、__________________________________________________________________
2、__________________________________________________________________
3、__________________________________________________________________
【问题探究2】从函数角度分析二项式系数：
问题3：展开式的二项式系数为_____________________________，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，令f(r)= ，定义域为______________________
问题4：当n=6时，作出函数f（r）的图象如下，其图象是七个孤立的点。你能作出当 n=7时函数f（r）的图象吗？
问题5：当n=7时，函数f（r）的图像是对称的吗？对称轴在哪儿？
【继续探究】通过图象归纳二项式系数的重要性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是__________
试试：
① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ .
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是____ 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：
(1)、在（a+b）10的展开式中，系数最大的项是（ ）
（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项
(2)、在（a—b）10的展开式中，系数最大的项是（ ）
（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项
(3)、在（a+b）11的展开式中，系数最大的项是（ ）
（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项
(4)、在（a—b）11的展开式中，系数最大的项是（ ）
（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项
⑶ 各二项式系数的和：
在展开式中，若，则可得到
即
例1 证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
必做题：课本练习1-3
选做题：
1. 计算=
2.若，则 _________，
_______ ; ________ .
学后反思：___________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
1.3.1 二项式定理（第一课时）
学习目标：熟悉二项式展开式的特点，准确熟练地写出二项式的展开式
自学探究：阅读课本第29页至31页
反复仔细阅读课本第29至30页，用分步乘法计数原理解释二项式定理
写出的展开式，总结其特点：
= ，
此二项式的展开式共有 项，比二项式的次数
各项中 与 的次数和等于
字母按 排列，从第一项开始，次数由 逐项减 直到
字母按 排列，从第一项开始，次数由 逐项增加 直到
二项式系数是 ，二项式系数与展开式中对应的系数一定相等吗？二项
式系数一定为 ，而项的系数有时为 ，
例如= =
各项二项式系数分别是 ，各项系数分别是
二项展开式的通项公式 （其中),
它是展开式的第 项，展开式的通项公式是 ，应用二项式定
理时，其中的和能否随便交换位置？
完成例1
完成第31页1、2、3、4，第37页1、2、3
完成第37页B组2（公式逆用）
学后反思：在二项式的展开中需注意什么？
1. 3. 1 二项式定理（第二课时）
学习目标：巩固二项式定理，会用通项公式求展开式中的特定项
知识链接：
1.（1）分数指数幂与根式的互化： = （,）
（2） 指数的运算性质：
2.展开式中的通项公式
自学探究：完成下列例题与练习
例 求以下各项
通项
第2项
中间项
项， 并写出该项的系数和二项式系数
常数项
有理项
练习(一）第31页2、3、4，第37页4、5、6
练习（二）求展开式中项及其系数
二项式定理
学习目标：能利用计数原理证明二项式定理；理解并掌握二项式定理，并能简单应用.
学习重点：探究并归纳用计数原理分析的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定理．
二项式定理研究的是的展开式，如何利用两个计数原理得到，，的展开式？你能由此猜想一下的展开式是什么？
学习任务：阅读课本P29～P35.
问题1. 用乘法法则展开，合并同类项之前展开式有多少项？合并同类项后会有几项？其
中的系数是多少？用两个计数原理分析。
问题2. 回答P30探究。
问题3. 的展开式按照a的降幂排列，共有多少项？其中，含有的项是第几项？这一项的项数是多少？利用计数原理分析。
问题4. 通过教材例1和例2学习，熟悉二项式定理二项式系数，二项展开式的通项中a，b，n，
k的具体含义。
问题5. 回答P32探究。
问题6. 如果把的展开式的二项式系数看成函数的话，它是一个定义域在自然数内的离散函数，请通过“杨辉三角”计算n = 6时的二项式系数，并画出
的图象，由图象得出函数值怎样的分布特点？试着由此总结二项式
系数的性质。
问题7. 仔细阅读例3，体会“赋值法”的应用。
必做题
A级 P31 1～4 P35 1～3
B级 习题1.3 A组 B组.
选做题
的展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第4项的系数
是 .
2. 求的展开式中的系数.
3. 对于二项展开式，下列结论中成立的是（ ）
A.中间一项的二项式系数最大
B.中间两项的二项式系数相等且最大
C.中间两项的二项式系数相等且最小
D.中间两项的二项式系数互为相反数
4.（1）的展开式中的系数是 .
（2）的展开式的常数项是 .
5. 的展开式中的系数是（ ）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
6. 在的展开式中，有理项的个数是多少？
7. 求的展开式中的常数项.
8.（1） = .
（2）= .
9. 求的展开式中的系数.
10. 已知.
（1）求的值.
（2）求的值.
11.（1）等于（ ）
A. B. C. D.
（2）已知，则等于（ ）
A.63 B.64 C.31 D.32
12. 若的展开式中第6项系数最大，则其中的常数项为（ ）
A.210 B.10 C.462 D.252
13. 若，则
（1） = .
（2） = .
（3） = .
14. 已知，求的值.
15. 已知的展开式中第10项的系数最大，求n的值.
