§2.1.1离散型随机变量（导学案）
一、教学目标 1.复习古典概型、几何概型有关知识。 2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.
二、复习引入： 1. 在一定条件下_______________________的事件，叫做随机事件，试验的每一个可能的结果称为基本事件。 2.一次试验中 的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。 互斥事件的概率加法公式 。 3. 一次试验中 的两个事件叫做互为对立事件， 事件A的对立事件记作 ，对立事件的概率公式 4. 古典概型的两个特征：（１） .（２） .
5. 概率的古典定义：P（A）= 。 6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。 三、预习自测： 1.在随机试验中，试验可能出现的结果 ，并且X是随着试验的结果的不同而 的，这样的变量X叫做一个 。常用 表示。 2.如果随机变量X的所有可能的取值 ，则称X为 。 四、典例解析： 例1 写出下列各随机变量可能取得值： （1）抛掷一枚骰子得到的点数。 （2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。 （3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。 （4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。 （5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值
例2 随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。 变式训练 一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。 例3 △ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE中的概率。
五、当堂检测 1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（ ）
(A)两次出现的点数之和； (B)两次掷出的最大点数； (C)第一次减去第二次的点数差； (D)抛掷的次数。
2.小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各一张。他决定随机抽出两张，作为晚餐费用。用X表示这两张人民币金额之和。X的可能取值 。
3.2008年8月的某天,福娃在国家射击馆进行手枪慢射决赛，她对准移动靶进行射击。你觉得她可能出现的射击结果有 ，若用X表示命中的环数，则X可能取的值有 。
4.在一场比赛中樱木花道在三分线外出手，你觉得他得分的可能性有 种，若用X表示得分情况，则X可能取的值有 。
5.在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,设含有的次品数为X：X=4表示事件____ ___；X=0表示事件__ ；X<3表示事件_____ ；事件“抽出3件以上次品数”用_______表示.
6.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的是__ ；X=4表示 .
7.某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X表示一次试验的成功次数，则P（X=0）= 。
8.10件产品中有6件合格品，4件次品，从中任取3件，取得次品的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。
学后反思：___________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
§2.1.2离散型随机变量的分布列
（第一课时）
一、学习目标 1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；
2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．
3. 理解两点分布的意义.
二、预习自测：
问题一：（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？
（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？
（3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？
思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一种情况吗？随机变量是如何定义的？
问题二：
下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值？
（1）某足球队在5次点球中射进的球数；
（2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差；
（3）某城市1天之内的温度；
（4）从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；
（5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数；
（6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的等级。
三、学习过程
1．离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示。如果对于随机变量可能取到的值，可以一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量X可能取的值为，X取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列。X
…
…
P
…
…
离散型随机变量的概率分布列还可以用条形图表示，
如图所示。离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：① ；
②
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。
（2）两点分布:像下表这样的分布列叫做两点分布列。如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称为 。
四、典例解析：
例1在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。
变式训练： 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球个数”，即求随机变量X的分布列。
例2 掷一枚骰子，所掷出的点数为随机变量X：
（1）求X的分布列；（2）求“点数大于4”的概率；（3）求“点数不超过5”的概率。
变式训练： 盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒中任取4个球，若X表示从盒中取出的4个球中包含的黑球数，求X的分布列.
结论：
例3已知随机变量X的概率分布如下：
X
-1
-0.5
0
1.8
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
a
求: （1）a； （2）P（X<0）；（3）P（-0.5≤X<3）；（4）P（X<-2）； （5）P（X>1）；（6）P（X<5）
变式训练： 若随机变量变量X的概率分布如下：试求出a，并写出X的分布列。
X
0
1
P
注意：
学后反思：___________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
第二课时
【学习目标】
认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；会求出某些离散型随机变量的概率分布。
【预习自测】
复习1：写出下列各随机变量可能的取值.
1）、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数 的取值
2）、接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数 的取值．
复习2：1）篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的分布列。
2）抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列
【学习过程】
例1、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.
问题：什么样的称为超几何分布：（记住并理解）
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件P（X=k）发生的概率为
, 即
X
0
1
…
P
…
其中，且．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
变式训练：袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。
例2.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率
变式训练：从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张的概率
【当堂检测】
1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q等于 ( )
ξ
－1
0
1
P
0.5
1－2q
q2
A．1 B．1± C．1－ D．1＋
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于 ( )
A B C D
3、袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中任取个3球，求取出的红球数ξ的分布列。
4、某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下:
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率.
5.学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率
学后反思：___________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
离散型随机变量及其分布列
学习目标：理解取有限值的离散型随机变量及其分布列；理解两点分布，超几何分布及其
导出过程，并能进行简单应用。
二、学习重点：两点分布，超几何分布的概率模型及应用
学习难点：超几何分布的应用
学习任务：阅读P46-P48
问题1：随机变量与相应的随机试验结果发生的概率之间是什么关系？关于随机变量的概率，
你又有哪些表示方法？试举例。
问题2：什么是离散型随机变量X的概率分布列？它有几种表达离散型随机变量的概率分布列
具有怎样的性质？
问题3：通过阅读课本P47例1，你能否说明两点？分布具有怎样的特点呢？试举例。
问题4：例2中，相应的概率值用组合的表示而不是将具体数值算出来，你认为这样做有什么
好处？关于例2的第2个问题还有其他方法吗？如果将问题改为“至少取2件次品”
和“至少取奇数件次品”，你能解决吗？
问题5：由例2得到超几何分布概率模型，在这个过程中用到了怎样的思想方法？你对超几何
分布中的条件m=min｛M,n｝且n∈N*，M∈N*能否去掉是如何理解的？为什么？你能说
出几个符合超几何分布的随机现象吗？试一试。
问题6：例3是不放回摸球游戏中的概率问题，你认为解决这个问题的关键是什么呢？
问题7：P49 思考
必做题
A级 练习1～4 B级 习题2.1 A 4、5、6 B 1、2
选做题
1、从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示“取到白球的个数”，
即x= ，求随机变量x的概率分布。
同时掷两枚质量均匀的骰子，观察朝一面出现的点数，求两枚骰子出现的最大点数x的
概率分布，并求x大于2小于5的概率P（2袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球
得3分，设所得分为随机变量ξ，求P（ξ ≤6）。
若M件中产品包含m件产品，从中任意取出3件，设x表示取出的次品数。列出x的分
布列。
离散型随机变量
学习目标：在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，
认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
学习重点：认识离散型随机变量的分布列能完全描述由这个离散型随机变量所刻画的随机
现象
学习难点：随机变量的含义
三、学习任务：阅读课要P44-P45，回答以下问题
问题1：什么是互斥事件？什么是对立事件？
如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）= ，如果事件A与事件B对立，则
P（A∪B）= 。
问题2：什么是古典概型？对于古典概型，任何事件的概率为P（A）= 。
问题3：回答P44第一个思考，并试想任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？试举出一
些例子。
问题4：回答P44的“？”号，你认为用怎样的数字更好一些？
问题5：随机变量的定义是如何描述的？怎样表示？并回答P44“思考”。
问题6：什么是离散型随机变量？回答P45“思考”。
必做题 A级 P45 练习1 B级 P49 A组1、2、3
选做题
1、下列随机变量是否是离散型随机变量，简述其理由（ ）
A、掷10枚硬币出现的正确个数与反面个数之和 B、某机场每天正常情况下起飞的飞机数
C、某公司办公室每天接到电话的次数 D、高=（9）班某学生的身高
E、某人连续不断地射击，首次命中目标需要的射击数Y
F、某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺拉差Y
2、将一枚骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A、两次出现的点数之和 B、两次掷的最大点数
C、第一次减去第二次点数的差 D、两次掷出的点数
3、在5把钥匙串成一串，其中有1把是能开锁的，依次尝试开锁。
（1）若打不开，则不放回再试另一把直到打开为止，则试验次数ξ的取值范围是 。
（2）若打不开，则放回再试一把，如此重复下去，直到打开为止，则试验次数ξ的取值范
围是 。
归纳提升 离散型随机变量具有怎样的特点？在分析问题时，我们该如何判断一个随机变量
是离散型的还是连续型的呢？
§2.2.1条件概率导学案
一、教学目标 1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义；
2、掌握一些简单的条件概率的计算。
二、自学引入：阅读教材51—53页
问题：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问： （1）三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？ （2）若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？ （3）在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？
引入概念：
1.对于任何两个事件A和B，在 的概率叫做条件概率，记作 。读作_____________________________
2.由事件A和B 所构成的事件D，称为事件A与B的交（或积），记作__________ （或 ）。
3. 条件概率计算公式：
4.条件概率的性质：
（1）范围： ；
（3）可列可加性：如果B和C是两个互斥事件,则= 。
三、典例解析：
例 1一盒子装5只产品，其中3只一等品，2只二等品从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，设事件A={第一次取到一等品}，事件B={第二次取到一等品}，试求条件概率P（B|A）。
变式训练 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?
例2. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 变式训练、一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
四、当堂检测
1.抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。
2、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取两次，每次抽一张，已知第一次抽到A，求第二次也抽到A的概率。
3、100件产品中有5件次品，不放回的抽取两次，每次抽一件，已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出的是正品的概率。
4.在一个盒子中有大小一样的15个球，其中10个红球，5个白球。甲，乙两人依次各摸出1个球。 （1）求甲得红球，乙得白球的概率 （2）已知甲得红球，则乙得白球的概率
学后反思：_________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
§2.2.2事件的相互独立性
学习目标：1.理解两个事件相互独立的概念。2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
新课讲授：阅读课本54-55
问题探究：问题1.甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
事件：从甲坛子里摸出1个球，得到白球； 事件：从乙坛子里摸出1个球，得到白球
问题1中事件、是否互斥？（ ）可以同时发生吗？（ ）
问题1中事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率有无影响？（ ）
问题2.在大小均匀的5个球中有3个红球，2个白球，每次取一个，有放回地取两次，求（1）第一次取到红球的概率（2）在已知第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率。
知识梳理：
1．相互独立事件的概念
（1）设A、B是两个事件，如果___________，则称事件A与事件B相互独立。
注：事件A（或B）的发生与事件B（或A）发生的概率 影响。
（3）一般地，如果事件相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
2．相互独立事件的性质：
（1）若事件A与事件B独立，那么_____，_____，___________。
（2）如果事件A与事件B相互独立，那么_______与_______，______与_______，_______与______也都相互独立。
例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．
变式训练1.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，（1）先摸出1个白球不放回，求再摸出一个白球的概率；（21）先摸出1个白球后放回，求再摸出一个白球的概率
例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？
思考：互斥事件，对立事件，相互独立事件的区别。
当堂检测：
1．两人打靶，甲击中的概率是0.8，乙击中的概率是为0.7，若两人同时射击同一目标，则他们都中靶的概率是 （ ）
A、0.56 B、0.48 C、0.75 D、0.6
2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回的摸球，用A表示“第一次摸得白球”，
用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是 （ ）
A、互斥事件 B、相互独立事件 C、对立事件 D、不相互独立事件
3．某射手射击一次，击中目标的概率是0.8，他重复射击三次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，那么他第一、二次未击中，第三次击中的概率___________。
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 .则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是____________
5.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白).从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是
6.甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6。
计算（1）两人都击中目标的概率；(2) 其中恰有1人击中目标的概率（3）至少有一人击中目标的概率.
7.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：（1）至少有一人面试合格的概率；（2）没人签约的概率
【课后反思】
1.今天你的收获是什么？ _________________
________________
2.你有哪些方面需要努力？ _________________
_________________
2.2.3独立重复试验与二项分布
【学习目标】
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.
【学习过程】复习回顾 课题引入
1、相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立.
2、相互独立事件同时发生的概率：
一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，.
思考：掷一枚图钉，针尖向上的概率为，则针尖向下的概率为
问题（1）:第1次、第2次、第3次…第次针尖向上的概率是多少?
问题（2）：用 表示第次掷得针尖朝上的事件，这次试验相互独立么？
问题（3）：若连续抛掷3次，3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？
问题（4）：每种情况的概率分别是多少？
问题（5）：这3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？
问题（6）：连续掷次，恰有次针尖向上的概率是多少？
根据上述问题，你能得出哪些结论？
二、自主探究 得出结论
1、独立重复试验的定义：在 重复做次的试验称为次独立重复试验.
特点：（1）在同样条件下重复地进行的一种试验；
（2）各次试验之间相互独立，互相之间没有影响；
（3）每一次试验只有两种结果，即某事要么发生，要么不发生，并且任意一次试验中发
生的概率都是一样的.
2、独立重复试验的概率公式：
在次独立重复试验中，事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 ,
此时称随机变量服从 ，记作 ，并称为 .
思考：对比这个公式与表示二项式定理的公式，你能看出它们之间的联系吗？
令，得到随机变量的概率分布如下：
0
1
…
…
…
…
恰好是二项展开式
中的各项的值.
合作交流，解决问题
例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
变式训练： 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5（相互独立），求：
至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率是小于0.3?
【当堂检测】
1.已知随机变量,求P(X=3)
2.种植某种树苗，成活率为0.9，现在种植这种树苗5棵，试求：
(1)全部成活的概率为( )；(2)全部死亡的概率为( )；(3)至少成活4棵的概率（ ）.
3．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）
4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
5.某机器正常工作的概率是 ,5天内有4天正常工作的概率是 。
6.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布．
【课后反思】
1.今天你的收获是什么？ ________________
_______________
2.你有哪些方面需要努力？ ________________
条件概率
知识链接
问题1：掷一个骰子，掷出的点数为3的概率.为___________
问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，这个奇数是3的概率__________
问题3:问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？
自主学习
阅读教材51-53页的相关内容，完成下列问题
1．设A、B是事件，用P(B|A)表示已知_____发生的条件下____发生的条件概率，简称为条件概率.
2．P(B|A)=
练习巩固
已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于【 】A. B.C. D.
完成课本54页练习1,2
在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为 ( )
A. B. C. D.
5. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，在第一次失败的条件下,第二次成功的概率是 ________
6．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是__________
7.抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A. B. C. D.
8．两台车床加工同一种零件共100个，结果如下表
设A＝｛从100个零件中任取一个是正品｝，B＝｛从100个零件中任取一个是第一台车床加工的｝，求P(A|B)和
正品数
次品数
总计
第一台车床加工数
35
5
40
第二台车床加工数
50
10
60
总 计
85
15
100
9．由人口统计资料发现，某城市居民从出生算起活到70岁以上的概率为0.7，活到80岁以上的概率是0.4，若已知某人现在70岁，试问他能活到80岁的概率是多少？
事件的相互独立性
复习引入
(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？
事件：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件：乙掷一枚硬币，正面朝上
(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
事件：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；
事件：从乙坛子里摸出1个球，得到白球
问题(1)、(2)中事件、是否互斥？ 可以同时发生吗？
问题(1)、(2)中事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率有无影响？
自主学习
阅读课本54页—55页，完成下列问题
1．相互独立事件的定义：
设A, B为两个事件，如果 , 则称事件A与事件B相互独立。
即事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件
若与是相互独立事件，则 也相互独立
【问题1】互斥事件和相互独立事件有何区别？
【问题2】.如果与是相互独立事件，则有P(A)P(B)吗？
2．相互独立事件同时发生的概率：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积
练习与巩固
1.下列事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的点是点”；
（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；
（3）在一个口袋内有白球、黑球，则“从中任意取个球得到白球”与“从中任意取个得到黑球”
2. 甲打靶的命中率为，乙的命中率为，若两人同时射击一个目标，则都未中的概率为（ ）．A． B． C． D．
3．有一道题，三人独自解决的概率分别为，三人同时独自解这题，则只有一人解出的概率为 ( ) ．A． B． C． D．
4．同上题，这道题被解出的概率是（ ）．A． B． C D．
5．已知与是相互独立事件，且，，则 ．
5．完成课本55页2，3
6．某同学参加科普知识竞赛，需回答个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得分、分、分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为，且各题答对与否相互之间没有影响．
（1）求这名同学得分的概率；
（2）求这名同学至少得分的概率
2.2独立重复试验与二项分布
学习目标：
1. 结合实例理解n次独立重复试验的意义，并会判断一个事件是不是n次独立重复试验。
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决简单问题。
3. 体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。
自学探究
1.思考掷一枚图钉，针尖向上的概率为，则针尖向下的概率为
第1次、第2次、第3次…第次针尖向上的概率是 ，即若用
表示第次掷得针尖朝上的事件，则P()= .这次试验相互独立么？
（2）若连续抛掷3次，3次中恰有1次针尖向上有几种情况？每种情况的概率分别是多少？
这3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？
（4）连续掷次，恰有次针尖向上的概率是多少？
2.知识梳理
(1)独立重复试验的定义：在 重复做次的试验称为次独立重复试验.
特点：①
②
③每一次试验只有 种结果，即某事要么 ，要么 并且任意一次试验中发生的概率都 .
独立重复试验的概率公式：在次独立重复试验中，事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 , 此时称随机变量服从 ，记作 ，并称为
练习巩固：1.在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率。假如每个投保人能活到65岁的概率为
0.6。试问三个投保人当中：（1）全部都活到65岁的概率；
（2）有2个活到65岁的概率；
（3）有1个活到65岁的概率；
（4）都活不到65岁的概率；
（5）至少2个活到65岁的概率；
（6）至少1个活到65岁的概率；
（7）设只有甲活到65岁的概率；
（8）设能活到65岁的投保人的人数为随机变量为X,写出X的分布列
2.第58页1，2，3
技能提炼
1．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
3.一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列。
4.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列。
5．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 ．
6. 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5（相互独立），求：2）至少几人同时上网的概率是小于0.3?
§2.3.1离散型随机变量的均值
学习目标
1．理解并会用数学期望来解决实际问题； 2．掌握几种分布的期望．
学习过程
一、复习
复习1：甲箱子里装个白球，个黑球，乙箱子里装个白球，个黑球，从这两个箱子里分别摸出个球，设其中白球的个数为，求随机变量的分布列．
复习2：某企业正常用水的概率为，设天内用水正常的天数为，求随机变量的分布列．
二、新课导学
探究：某商场要将单价分别为元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
新知1：均值或数学期望：
若离散型随机变量的分布列为：
…
…
…
…
则称 为随机变量的均值或数学期望．
它反映了离散型随机变量取值的 ．它与随机变量本身有相同的单位．
试一试：已知随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
求．
新知2：离散型随机变量期望的性质：
若，其中为常数，则也是随机变量，且 ．
特别的，（1）时， ；（2）当时， ．
（3）当时， ．
注意：随机变量的均值与样本的平均值的：
区别：随机变量的均值是 ，而样本的平均值是 ；
联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越 总体均值．
三. 典型例题
例1在篮球比赛中，罚球命中次得分，不中得分．如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球次的得分的均值是多少？
练习1：抛掷1枚硬币 ，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分的均值．
新知3：几种分布的期望
①若服从两点分布，则 ；②若～，则 ．
例2．一次单元测验由个选择题构成，每个选择题有个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得分，不选或选错不得分，满分分．学生甲选对任意一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求甲学生和乙学生在这次测验中的成绩的均值 ．
思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定会是分吗？他的均值为分的含义是什么？
例3．根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失元，遇到小洪水时要损失元．为保护设备，有以下种方案：方案1：运走设备，搬运费为元方案2：建保护围墙，建设费为元，但围墙只能防小洪水 ．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．
思考：根据上述结论，人们一定采取方案2吗？
练习.课本64页 练习 4、5题
四、巩固练习
1．随机变量X的分布列如下表，则E(X)=_____.
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
2. 若随机变量X服从二项分布B(4, ),则E(X)的值为____________
3．已知，且 ，则( ) A． B． C． D．
4.设随机变量的分布列为，，则的值为 ( ) ．
A． B． C． D．
5．若随机变量～，且，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列为：
P
则= ； ；= ．
7.在一次语文测试中，有道题是把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的得分为X.
（1）求X的分布列;（2）求该同学得分不少于6分的概率；（3）求X的均值.
2.3离散型随机变量的均值
学习目标
通过实例,理解离散型随机变量均值(数学期望)概念,能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些实际问题，体会离散型随机变量的均值在实际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴趣。
会求两点分布、二项分布的均值。
自学探究（阅读课本60页到63页，完成下列任务)
问题1. 完成课本第60页的两个思考
问题2.完成下列问题：
(1)若离散型随机变量的分布列为：
…
…
…
…
则称 为离散型随机变量的的均值或数学期望。
(2)设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，请写出E(Y)的表达式。
(3)当随机变量服从两点分布时，其均值该怎样计算？
(4)当随机变量服从参数为的二项分布时，其均值又如何计算呢？
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
练习巩固：第64页
技能提炼
随机变量ξ的分布列是：
(1)求E(ξ) (2)若η=2ξ+1，求E(η)
2. 随机变量ξ的分布列如下，则E(ξ)=7.5,则a= b= .
ξ
4
7
9
10
P
0.3
a
b
0.2
3．已知，且 ，则( ) ．A． B． C． D．
X
－2
－1
0
1
2
3
P
m
n
4.已知随机变量X的分布列为
其中m，n∈[0,1)，且EX＝，则m，n的值分别为 ( )
A.， B.， C.， D.，
4.某运动员投篮命中率为P=0.6.
求一次投篮时命中次数ξ的数学期望； （2）求重复5次投篮时，命中次数X的数学期望。
5.投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．
(1) 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2) 记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．
6．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片。
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列和数学期望。
7．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别。公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。若4杯都选对，则月工资为3500元；若4杯选对3杯，则月工资为2800元，否则月工资为2100元。用X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力。
（1）求的分布列； （2）求此员工月工资的期望。
2.3离散型随机变量的方差
学习目标：1.理解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2. 了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用
上述公式计算有关随机变量的方差 。
3. 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
自学探究：阅读课本，完成下列任务
问题1.完成64页的探究，65页的两个思考
问题2.（1）离散型随机变量的方差公式：________________
（2）样本的方差公式是：________________
（3）随机变量的方差与样本的方差有何区别与联系？
问题3.两点分布的方差公式：________________（你能证明吗？）
、
二项分布的方差公式：________________（你能证明吗？）
、
问题4． 方差的性质:________________（你能证明吗？）
练习巩固：68页1，2
技能提炼
1.已知X～Β(100,0.5),则Ex=___, Dx=____, E(2x-1)=____, D(2x-1)=____
2.设X是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又EX＝15，DX＝，则n与p的值为( )
A．60， B．60， C．50， D．50，
3.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个独立的随机变量X、Y,已知甲、乙两名射手在每次射击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环分别为0.3，0.3,0.2.
求X、Y的分布列；
求X、Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术。
3.有A,B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中，分别表示A,B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A,B两种钢筋哪一种质量较好。
4．甲、乙两个运动员射击命中环数X、Y的分布列如下：
环数k
8
9
10
P(X=k)
0.3
0.2
0.5
P(Y=k)
0.2
0.4
0.4
其中射击比较稳定的运动员是（ ） A．甲 B.乙 C.一样 D.无法比较
5.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类。这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，。现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
(1) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2) 记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的均值与方差.
6. 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
7. A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1和DY2；
（2）将X（0≤X≤100）万元投资A项目，100-X万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX）
§2.4 正态分布 (导学案)
学习目标：
通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
新知概念：
自主学习：阅读教材P70到P74，完成下列问题
1．正态分布概率密度函数：
，（σ＞0）
其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的_______；σ是正态分布的__________.
2. 一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
则称 X 的分布为正态分布 ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为_________________。
3、正态曲线的性质．
(1)曲线在轴的______，与轴不相交． (2)曲线关于直线＝____对称．
(3)当＝____时，曲线位于最高点． (4)曲线与x轴间的面积为____.
(5)当＜μ时，曲线上升(增函数)；当＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以____轴为渐近线，向它无限靠近．
（6）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿着轴平移.
(7)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“______”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“______”，总体分布越集中；
4.3σ原则
P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝ P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝
P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）＝
典型例题：
题型一、对正态曲线和正态分布概率密度函数的理解
例1、下列函数是正态密度函数的是 （ ）
变式1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１） （２）
题型二、有关正态分布的概率计算
例2、在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即～N（90，100）.
（1）试求考试成绩位于区间（70，110）上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？
变式2：:某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布N（70.），如果规定低于60分为不及格，求：（1）成绩不及格的人数占多少？（2）成绩在80~90内的学生占多少？
巩固训练：
1.已知～N(0,)且P（-2≤≤0）=0.4，则P(＞2)的值为 （ ）
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
2．正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平 （ ）
A．越大 B．越小 C．越大 D．越小
3．若正态分布密度函数，下列判断正确的是 （ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值
C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值
4．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是 （ ）
A．0．6826 B．0．3174 C．0．9544 D．0．9974
5.已知随机变量服从正态分布N（2，）,P(≤4)=0.84,则P（＜0）等于 （ ）
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
6.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg）任选一袋这种大米质量在9.8~10.2kg的概率是多少？
7.设X～N（1，22），试求（1）（-1＜≤3);(2) (3＜≤5);(3) (≥5).
