高二数学（理）自主探究学案
内容：回归分析（一） 课时：1
回忆两个变量的相关关系与函数关系有什么不同，并判断下列关系哪些是函数关系，哪些是相关关系？
（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；
（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她）的学号之间的关系。
一、学习任务
阅读必修3P84-P89及课本选修2-3P80-P82例1完
问题1、什么是两个变量间的相关关系？
问题2、什么是线性相关关系？什么是正相关，什么是负相关？
问题3、相关关系可分为哪几类？
问题4、什么叫回归直线？
问题5、怎样求回归直线方程y=bx+a中未知参数b和a的估计值 b 和 a ？回归直线过样本点的中心（x , y ）对吗？
问题6、结合以上知识动手做选修2-3例1，并总结线性回归分析的基本步骤。
必做题
（1）学习情景中问题。
（2）已知一组观测值（xi,yi）i=1, 2…, n 作出散点图和确定具有线性相关关系，若对于 y = bx+a ，求得b =0.8， x = 12.5 ，y =17.6 ，则回归直线方程为 。
（3）（2007.广东高考）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据。
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
①请画出上表数据的散点图。
②请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=b x +a。
③已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 ？
（参考数据：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
归纳小结
通过本节的习，你觉得我们新学的“回归分析”和我们在《数学3》中学习的“回归直线”有什么区别和联系？
高二数学（理）自主探究学案
内容：回归分析（二） 课时：1
回顾例1，观察散点图，样本点散布在一条直线附近，而不是直线上，你是如何理解这一事实？用一次函数y=bx+a描述身高与体重之间关系准确吗？
一、学习任务
阅读课本P82-P86例2上
问题一：思考线性回归模型y=bx+a+e与一次函数模型y=bx+a之间的差异。
问题二：e是用bx+a预报真实值y的随机误差，是一个不可观测的量，残差e 与随机误差e之间是什么关系？
问题三：在残差图中，如何发现原始数据中的可疑数据？残差点怎样分布就说明选用的模型比较合适？
问题四：在线性回归模型中，R2刻画的是什么？R2越大，说明什么？R2越小呢？
问题五：归纳总结建立回归模型的基本步骤。
必做题
A级 P89 练习1、2、3 B级 习题3.1 1
选做题
1、关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元），有下表统计资料。
xi /年
2
3
4
5
6
yi /万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由上可知，y与x有线性相关关系。
（1）求线性回归方程。
（2）作出残差图并求R2，判断该回归模型的拟合效果。
（3）当x=10时，预报所支出的维修费。
归纳小结
本节课我们学习了残差与残差分析，你能写出残差的计算公式吗？残差分析能帮助我们解决什么问题
回归分析的基本思想及初步应用（一）
前情回顾：相关关系：当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，
但它仍按某种规律在一定的范围内变化。变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的相关关系。
按程度分类： ⑴完全相关：两个变量之间的关系，一个变量的数量变化由另一个变量的数量变化所惟一确定，
即函数关系。
⑵不完全相关：两个变量之间的关系介于不相关和完全相关之间。
⑶不相关：如果两个变量彼此的数量变化互相独立，没有关系。
按方向分类： ⑴正相关：两个变量的变化趋势相同，从散点图可以看出各点散布的位置是从左下角到右上角的
区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大。
⑵负相关：两个变量的变化趋势相反，从散点图可以看出各点散布的位置是从左上角到右下角的
区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小。
两个变量的相关关系与函数关系有什么不同，并判断下列关系哪些是函数关系，哪些是相关关系？
（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系； （2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系； （4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她）的学号之间的关系。
二、学习任务：阅读课本P80-P82例1完
问题1、怎样求回归直线方程y=bx+a中未知参数b和a的估计值 和？回归直线过样本点的中心（,）对吗？
问题2、结合以上知识动手做例1，并总结线性回归分析的基本步骤。
从某大学中随机选取8名女大学生，其身高/cm和体重/kg数据如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
165
165
157
170
175
165
155
170
体重
48
57
50
54
64
61
43
59
问题：画出散点图,求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选 自变量x， 为因变量y.
(1)做散点图:
从散点图可以看出 和 有比较好的
相关关系.
(2) = =
所以 ,
于是得到回归直线的方程为:
(3)身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为:
问题：身高为172cm的女大学生,体重一定是上述预报值吗?
必做题：
已知一组观测值（xi,yi）i=1, 2…, n 作出散点图和确定具有线性相关关系，若对于 y = bx+a ，求得=0.8，
= 12.5 ，=17.6 ，则回归直线方程为__________________。
2.已知：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准
煤的几组对应数据。
编号i
i=1
i=2
i=3
i=4
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
则求得 ， .
3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组
对应数据
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
①请画出上表数据的散点图。
②请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+。
③已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨
甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 ？
数学成绩(x)
88
76
75
64
62
物理成绩(y)
78
65
70
62
60
4.某班5名学生的数学和物理成绩如下表:
①画散点图;
②求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程;
③该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩;
回归分析的基本思想及初步应用（二）
学习情境：回顾例1，观察散点图，样本点散布在一条直线附近，而不是直线上，你是如何理解这一事实？
用一次函数y=bx+a描述身高与体重之间关系准确吗？
学习任务：
（一）阅读课本P82-P86，完成下列任务
思考线性回归模型y=bx+a+e 与一次函数模型y=bx+a之间的差异。
e是用bx+a预报真实值y的随机误差，是一个不可观测的量，残差e 与 随机误差e之间是什么关系？
残差分析：通过 来判断拟合效果.通常借助 图实现.
残差图：横坐标表示 ，纵坐标表示 .
在残差图中，如何发现原始数据中的可疑数据？残差点怎样分布就说明选用的模型比较合适？
在线性回归模型中，R2刻画的是什么？R2越大，说明什么？R2越小呢？
归纳总结建立回归模型的基本步骤。
（二）习题训练
1、关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元），有下表统计资料。
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由上可知，y与x有线性相关关系。
（1）求线性回归方程。（2）作出残差图并求R2，判断该回归模型的拟合效果。
（3）当x=10时，预报所支出的维修费。
2、关于与y有如下数据，为了对、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，，
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
试比较哪一个模型拟合的效果更好?
3、假定小麦基本苗数x与成熟期有效苗穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
（1）画散点图；
（2）求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数；
（3）求，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几.
(参考数据：， ）
3.2独立性检验的基本思想及其初步应用（导学案）
学习目标：
1．了解分类变量，会根据列联表和等高条形图计算和分析两个分类变量是否相关。
2．通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想及方法步骤。
3．体会反证法原理与独立性检验原理的区别和联系。
阅读课本完成以下几个问题：
1．与列联表相关的概念：
①分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的 ，像这样的变量称为分类变量。
②列联表：列出的两个分类变量的 ，称为列联表。
2．从吸烟与患肺癌列联表中，可以得到什么结论？是如何得出的？
3．等高条形图：与表格相比，等高条形图更能直观地反映出两个分类变量间是否 ，常用它来展示列联表数据的 。
4．通过数据和图形分析得到的直观判断有何不足之处？那种方法能对 “两个分类变量是否有关系”给出较精确的判断？
5．独立性检验：
（1）在2×2列联表中，随机变量K2的计算公式为 ，其中n= 。利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为 。当K2的观测值越大时，两个变量之间的关系越 ，否则，关系越 。
（2）如何判断K2的观测值的大小？
（3）临界值的判断规则是怎样的？P（K2≥）的含义是什么？
（4） 独立性检验的基本思想：
① 独立性检验的必要性（为什么不能只凭列联表的数据和图形下结论？）
② 反证法原理与独立性检验原理的比较：
反证法原理
独立性检验原理
③ 师生共同总结“探究”的解决步骤：
第一步：提出假设检验问题
H：吸烟与患肺癌没有关系 H：吸烟与患肺癌有关系（H：原假设 H：备择假设）
第二步：选择检验的指标
说明：它越小，原假设“H：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.
第三步：查表得出结论 临界值表
P(K2≥)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
利用独立性检验两个分类变量是否相关的方法基本步骤：
①制列联表 ②画等高条形图。
③分析判断两个分类变量是否有关系。 ④求观测值k，在题目条件要求下检验结论正确与否。
注意：适合范围。
例1. 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：
不健康
健 康
总计
不优秀
41
626
667
优 秀
37
296
333
总 计
78
922
1000
请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？
※ 当堂检测
1. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 （ ）
A. 若k=6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病.
B. 从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺病.
C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误.
D. 以上三种说法都不对.
2. 下面是一个列联表则表中a ,b的值分别是（ ）
A. 94,96 B. 52,50 C. 52,54 D. 54,52
不健康
健 康
总计
不优秀
a
21
73
优 秀
2
25
27
总 计
b
46
100
3.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:则认为喜欢玩游戏与认为作业量多少有关系的把握大约为( )
A. 99% B. 95% C. 90% D.无充分依据
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
13
10
23
不喜欢玩电脑游戏
7
20
27
总数
20
30
50
4. 在列联表中,统计量= .
认为作业多
认为作业不多
总计
玩游戏
18
9
27
不玩游戏
8
15
23
总 计
26
24
50
