坐标系与参数方程
．已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = ______.
．在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于_________.
．在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则
．设曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为__________
．在平面直角坐标系中,若右顶点,则常数________.
．已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.
．平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线C的参数方程为
(为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
.在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为(I)求与交点的极坐标;
(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为,求的值.
．在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.
(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.
．已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
§1.1平面直角坐标系与伸缩变
【自主学习】
复习回顾：
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何研究曲线与方程间的关系？
学习过程：阅读课本P2~P7解决下列问题
一．平面直角坐标系的建立
某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上）
问题1:用什么方法描述发生的位置？
思考1：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？
问题2：还可以怎样描述点P的位置？
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。（阅读课本P4）
探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？
小结：选择适当坐标系的一些规则：
如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点
如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴
使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
坐标压缩变换：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
思考2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
思考3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
【达标检测 】
1.求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：
（1，2）； （2） （-2，-1）
2．点经过伸缩变换后的点的坐标是（-2，6），则 ， ；
3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）
A. B. C. D.
4．将直线变成直线的伸缩变换是 .
5．为了得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形：
（1）；
（2）.
练习：教材P8 习题1.1 第4,5,6
§1.2极坐标系
【自主学习】
复习回顾：
1、回顾自己在为人指路时常用的方法
2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子
学习过程：阅读课本P8~P10解决下列问题
一、极坐标系的概念
1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题
答1）：
答2）：
2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为 ，并以某个方向作为参照 。
3极坐标系的概念：
1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
2)如图：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为；
以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为；
有序实数对()叫做点M的极坐标,记为；
注：一般地,不做特殊说明时,我们认为
4例题
例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，
并标出点D(2，) ，E(4，) ， F(3.5，)
所在的位置。
例2．在右图中，点A，B，C，D，E分别表示教学楼，体育馆，
图书馆，实验楼，办公楼的位置。建立适当的极坐标系，
写出各点的极坐标。
5思考1）：在极坐标系中，（4，），（4，），（4，），（4，）表示的点有什么关系？你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？
思考2）：如果规定，，那么平面内的点与极坐标极是一一对应的吗？
平面直角坐标系
极坐标
定位方式
点与坐标
外在形式
本质
6极坐标系与直角坐标系的区别
二、极坐标与平面直角坐标的互化
1引入：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何
建立这两个坐标系呢？
2极坐标与平面直角坐标的互化：
1）互化前提： 与 重合， 与 重合；
取 的单位长度
2）互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是 ，极坐标是那么两者之间的关系：
--------（1） ________ 坐标化为 ______ 坐标
-----（2） ___________ 坐标化为 ____ 坐标
3例题：
例3.将点M的极坐标（5，）化成直角坐标。
例4.将点M的直角坐标（，-1）化成极坐标。
【达标检测 】
课本P12 习题1.3.4.5
1．极坐标系中，点A的极坐标是，则 （1）点A关于极轴对称的点是_______.
(2) 点A关于极点对称的点的极坐标是___.
(3) 点A关于直线的对称点的极坐标是________.(规定:
2．在极坐标中，若等边?ABC的两个顶点是、，那么顶点C的坐标可能是（ ）
3已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的角为________.
课堂小结
极坐标系和点的极坐标：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。
平面直角坐标与极坐标的区别：在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。 3.极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。
4.极坐标与直角坐标的互化
互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
互化公式，。
§1.3.1 圆的极坐标方程（一）
【自主学习】
一、复习回顾：
1、圆的标准方程：
2、圆的一般方程 ：
3、直线的一般方程：
4、直角坐标与极坐标互化公式：
二、学习过程：阅读课本P12~P13解决下列问题
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
1、引例．如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标
为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，
的极坐标((,()满足的条件吗？
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的( )，这条曲线称为这个( )的曲线。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
变式练习：求下列圆的极坐标方程
(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(２)中心在(a,(/2)，半径为a；
(３)中心在Ｃ(a,)，半径为a
例2．（1）化在直角坐标方程为极坐标方程，
（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。
三、当堂检测：
1.以极坐标系中的点(1,)为圆心，1为半径的圆的方程是 ( )
2.极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？
四、课堂小结：
§1.3.1 圆的极坐标方程（二）
限定45分钟完成，先阅读教材，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
一、学习过程：
阅读教材P13-P14
探究1、直线经过极点，从极轴到直线的角是，如何用极坐标方程表示直线
思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？
探究2、如何表示过点，且垂直于极轴的直线的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点，平行于极轴的直线的极坐标方程呢？
二、知识应用：
例1、已知点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程。
例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程
（1） （2） （3）
练习、判断直线 与圆的位置关系。
三、当堂检测
1、在直角坐标系中，过点，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ）
A B C D
2、与方程表示同一曲线的是 （ ）
A B C D
3、在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是
4、在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线方程是
5、在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
6、已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离。
7、在极坐标系中，由三条直线围成图形的面积。
2.1.1参数方程的概念
【知识链接】
满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？
【学习过程】
（一）、引入：在生产实践、军事技术、工程建设中有许多通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子．特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来．
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
（提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？）
问题1：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？
（1）在水平方向上做 运动，其水平位移S= .
（2）在竖直方向上做 运动,其竖直下落高度H= 。
问题2：在上述运动中水平位移S和竖直下落高度H中是否有一个相同的变量，是什么？
问题3：你能否建立适当的坐标系用含有t的式子表示出物资的位置？
问题4：通过对上述问题的分析,飞行员在离救援点的水平距离多远时投放物资，可以使其准确落在指定地点？
（二）、参数方程的定义：
在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变量t的函数（1），且对t每一个允许值，由（1）所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，则（1）就叫做这条曲线的参数方程，t称作参变数，简称参数。
注：1）相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的．为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程．
2）参数是联系变量x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
（三）、例题：
例1.已知曲线C的参数方程
（1）判断点,与曲线C的位置关系；（2）已知点在曲线C上，求的值
【达标检测】
1.. 曲线 与x轴的交点坐标是( )
A．（1，4） B. C. (1,-3) D.
2. 方程 所表示的曲线上一点的坐标是（ ）
A.（2，7） B. C. D.（1，0）
3.已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该曲线上. 求常数a.
练习：课本P26 习题2.1 1题、2题
2.1.2参数方程
一、知识链接:
1、圆的标准方程： 2、 圆的一般方程 ：
3、直线的一般方程： 4、sin2A+cos2A=
二、学习过程:
1．参数方程：
问题1：参数方程的概念及一般形式：
问题2：普通方程的概念：
2. 求曲线的参数方程:
问题3:圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为_________________________
圆心为（a,b）,半径为r的圆的参数方程为_________________________
例1：如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹参数方程。
3．参数方程和普通方程的互化:
方法：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数的关系，把它代入普通方程中，求出另一个变数与参数的关系，那么就得到了曲线的参数方程。
注意：(1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程,一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形式.
(2)在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.
例2：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1） （2）（3）
例3：求椭圆的参数方程：
（1）设为参数; (2)设为参数.
三、当堂检测：
1.已知曲线C的参数方程为（t为参数）过点（3，2）
（1）求的值。
（2）已知点P(1,b)在曲线上,求b的值。
2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .
练习：课本P26 习题2.1 4题、5题
课时小结：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数
（2）三角法：利用三角恒等式消去参数
（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围。
2.2圆锥曲线的参数方程
【知识链接】
将下列参数方程化成普通方程
1、 2、
【学习过程】
（一）椭圆的参数方程
1、焦点在轴: 2、焦点在轴:
（二）双曲线的参数方程
1双曲线的参数方程___________________________
注：（1）的范围____________________ （2）的几何意义___________________________
2双曲线的参数方程___________________________
(三)抛物线的参数方程
抛物线的参数方程___________________________
(四)典型例题
例1．参数方程与普通方程互化
1把下列普通方程化为参数方程.
(1) (2)
2把下列参数方程化为普通方程
(1) (2)
练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为
______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_________。
例2、在椭圆上求一点P，使P到直线l：的距离最小.
【达标检测】
( )
2.3直线的参数方程
【知识链接】
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
【学习过程】
问题1、已知一条直线过点,倾斜角,求这条直线方程。
问题2、在直线上，任取一个点，求坐标。
问题3、试用直线的倾斜角表示直线的方向单位向量。
问题4、设，则与具有什么位置关系？用能否表示出这种关系。
问题5、通过坐标运算，用，，把在直线上任取一点的坐标表示出来
即过定点倾斜角为的直线的参数方程：
问题6、在直线的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？
问题7、
问题8参数的取值范围是什么？分别代表什么含义？
练习:
1、直线(为参数)的倾斜角是( )
A, B, C, D,
2、求直线的一个参数方程。
3、若点是极坐标方程为的直线与参数方程为（为参数）的曲线的交点，则点的坐标为 .
问题9直线与曲线交于两点,对应的参数分别为,
(1)曲线的弦的长是多少?
(2)线段的中点对应的参数的值是多少?
.
例1：已知直线与抛物线交与两点，求线段的长度和点到的距离之积.
【达标训练】
2、直线L经过点 、倾斜角为 （1）求直线的参数方程；
（2）求直线和直线 的交点到点 的距离；
（3）求直线和圆的两个交点到点 的距离的和与积.
3、经过点M（2,1）作直线L，交椭圆于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的中点，求直线L的方程。
