3.3.1 二次函数y=ax2的图像与性质同步练习（含答案）

第三章 二次函数
3 二次函数y=ax2的图像与性质
第1课时
课前预习
1.二次函数y=±x2的图象的作法和性质
(1)用描点法作二次函数的图象的步骤是： 、 、 。
(2)性质：
①y=x2的图象是一条 ；
②开口 ，且关于 轴对称;
③对称轴与抛物线的交点是抛物线的 ，顶点坐标是 ，它是图象的 点；
④当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小。
2.y=-x2的图象与y=x2的图象的联系
y=-x2的图象与y=x2的图象关于 对称。
课内探究
知识点 二次函数y=±x2的性质及应用
【例】如图所示,一座抛物线形的拱桥,其形状可以用y=-x2来描述。
(1)当水面到桥拱顶部的距离为2米时,水面的宽为多少米？
(2)当水面宽为4米时,水面到桥拱顶部的距离为多少米？
【思路分析】分析题目已知条件,(1)中是求当时,对应的两x值差的绝对值;(2)中是求当x=±2时,y的值是多少。
【自主解答】

交流分享
二次函数y=x2的应用的两种类型:已知纵坐标求横坐标,方法是用开平方法解方程;已知横坐标求纵坐标,方法是代入求值。
巩固练习
抛物线y=x2,y=-x2共有的性质是( )
A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的减小而减小
课堂训练
一、选择题
1.在同一直角坐标系中,函数y=-x与y=-x2的图象有可能是( )


2.下列函数的图象关于y轴成轴对称的函数是（ ）
A.y=2x B.y=-3x-1 C.y= D.y=x2
3.抛物线y=-x2的对称轴为( )
A.x轴 B.y轴 C.直线y=x D.以上都不对
4.抛物线y=x2与y轴交点的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
5.在抛物线y=-x2上,当y<0时,x的取值范围应为（ ）
A.X>0 B.x<0 C.x≠0 D.x≥0
二、填空题
6.二次函数y=(m+1)x2的图象过点(-2,4),则m= ,这个二次函数的关系式是
.
7.函数y=x2的顶点坐标是 ,若点(a,9)在其图象上,则a的值是 .
8.当-1≤x≤3时,二次函数y=-x2的最小值是 .
9.已知二次函数y=x2的图象如图所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2则AB的长度为 .

三、解答题
10.如图所示,直线y=3x+4与抛物线y=x2相交于A,B两点,请写出点A,B的坐标,并求出△AOB的面积。
四、拓展探究题
11.如图所示,有一城门洞呈抛物线形,拱高为4 m(最高点到地面的距离),把它放在直角坐标系中,其关系式为y=-x2.
(1)求城门洞最宽处AB的长。
(2)现在有一高2.6m,宽2.2m的小型运货问它能否安全通过此城门?请说明理由。

课后提高
已知正方形的边长为x cm，面积为y m2,下图中的图象能够表示y与x之间的函数关系的是（ ）

2.若y=x2的图象经过点(m,n),则它一定经过的点是( )
A.(-m,n) B.(m,-n) C.(-m,-n) D.(m,n)
3.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=-x2的图象上,则( )
A. y14.如图所示,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直,若小正方形的边长为x,且0
5.如图所示,边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O,AD∥x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且经过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是 。


6.作二次函数y=-x2的图象,并解答下列问题：
(1)若A(1,y1),B(2,y2)是抛物线y=-x2上两点,则y1 y2(填“>”“<”或“=”)。
(2)当x 时,y随x的增大而增大,当x=0时,y取最 值，这个值是 。
(3)若点C(m,-4)在抛物线y=-x2上,求m的值。
参考答案及解析
课前预习
1.(1)列表 描点 连线
(2) ①抛物线 ②向上 y ③顶点（0，0） 最低 ④ >0 <0
2.x轴
课内探究
【例】（1）由题意，得y=-2，即-x2=-2，解得x=±
2
，∴水面的宽度为2
2
米。
（2）当水面宽为4米时，x=±2,此时y=-x2=-4, ∴ 此时水面到桥拱顶部的距离为4米。
巩固练习 B
基础训练
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C
6. 0 y=x2
7. (0,0) ±3
8.-9 9. 4
10.解：（1）由题意，得
??=3??+4
y=
??
2

,解得
??
1
=4
??
1
=16
或
??
2
=?1
??
2
=1
。
∴点A，B的坐标分别为（4，16），（-1，1）。
直线y=3x+4与y轴相交于点C（0，4），
∴S△ACO=
1
2
????×4=
1
2
×4×4=8。S△BOC=
1
2
×CO×1=
1
2
×4×1=2，
∴S△ABO= S△ACO+ S△BOC=8+2=10.
11.解：（1）∵点O到AB的距离为4 m，∴A，B两点的纵坐标都是-4，∴-4=-x2，解得X=±2，
∴A点的坐标为（-2，-4），B点的坐标为（2，-4），∴AB=4 m，即城门洞最宽处AB的长为4 m。
（2）如图所示，设小货车行驶到城门正中间，用矩形CDEF表示小货车的横截面，则ED，FC均垂直于AB，点E，F到AB的距离均为2.6 m。F点的横坐标为1.1，设CF所在直线交抛物线与点G，则点G横坐标为1.1，∴G点纵坐标为-1.21，∵点G到AB的距离为4-1.21=2.79>2.6，∴小货车能完全通过此城门。
课后提高
1.C 2.A 3.A 4.D 5. 2
6.解：画图略。
（1）> (2) <0 大 0
（3）∵点（m,-4）在抛物线y=-x2上，∴-m2=-4, ∴m=±2。
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