3.4.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质同步练习（含答案）

第三章 二次函数
4 二次函数的图像与性质
第1课时 二次函数与的图像与性质
课前预习
1.二次函数的图像与性质
（1）一般地，二次函数的图像是 ，它与抛物线的形状
，只是位置 ；二次函数的图像对称轴是 ，
顶点坐标是 。
（2）二次函数（a≠0）图像的性质
a值
a>0
a<0
开口方向


对称轴


顶点坐标


最大(小)值
当x=0时，
y最小=
当x=0时，
y最大=
函数的增减性
当x>0时，y的值随x值的增大而 ；当x<0时，y的值随x的值最大而
当x>0时，y的值随x值的增大而 ；当x<0时，y的值随x值的增大而
图像位置
K>0
K<0
K>0
K<0
2.二次函数的图像与性质
（1）二次函数的图像是 ，它与抛物线的形状___________，只是位置_______________；二次函数的图像的对称轴是直线____________，顶点坐标是________________。
（2）二次函数图像的性质
a值
a>0
a>0
开口方向
__________________
______________________
对称轴
直线_______________
直线___________________
顶点坐标
_______________________
_______________________
最大（小）值
当x=h时，y最小=__________
当x=h时，y最大 = —————————
函数的增减性
当x>h时，y的值随x值的增大而 ，当x________。
当x>h时，y的值随x值的增大而_________，当x_____________。
图像位置
h>0
h<0
h>0
h<0
课内探究
知识点一 二次函数的图像与性质
【典例1】试在同一平面直角坐标系内作出二次函数，和的图像，然后依据图像回答下列问题：
抛物线与和有什么关系？
试比较这三个图像的相同点与不同点。
思路分析：本题需借助图像来直观地得到相应的结论。
【自主解答】
经验交流
对于抛物线与而言，当时，它们的形状相同。反之，如果两条抛物线的形状完全相同，则必有。
巩固练习
1.关于二次函数的图像的说法正确的是（ ）
A.顶点坐标为（2，1） B.对称轴为直线=1 C.最低点坐标为（0，1） D.开口向下
知识点二 二次函数的图像与性质
【典例2】在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=12x2，y=12(x+2)2和y=12(x?2)2的图像，然后回答下列问题：
（1）抛物线y=12x2，y=12(x+2)2和y=12(x?2)2有什么关系？
（2）试比较这三个图像的相同点与不同点。
思路分析：先画出二次函数的图像，再根据图像分析。
【自主解答】
经验交流
抛物线的左右平移只改变顶点的横坐标，纵坐标保持不变；上下平移只改变顶点的纵坐标，横坐标保持不变。
巩固练习
2.已知：抛物线y=?14(x+1)2。
（1）写出抛物线的对称轴。
（2）完成下表：
X
…
-7
-3
1
3
…
y
…
-9
-1
（3）如图所示，在下面的坐标系中描点画出抛物线的图像。
基础训练
一、选择题
1.函数y=?x2+1的图像大致为（ ）
2.抛物线y=3x2，y=?3x2，y=13x2+3共有的性质是（ ）
A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.顶点坐标都是（0，0） D.在对称轴右侧，y随x的增大而增大
二、填空题
3.二次函数y=ax2+c(c≠0)中，若当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于__________。
4.若将抛物线y=x2?2向上平移一个单位后，得到一新的抛物线，那么新抛物线的表达式是___________________________。
三、解答题
5.已知A（3，m）在抛物线y=12(x?1)2上。
（1）求点A关于x轴的对称点A’的坐标。
（2）若抛物线的顶点为B，求△AA’B的面积。
四、拓展探究题
6.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图像过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，试求ac的值。
课后提高
1.抛物线y=x2+4与y轴的交点坐标为（ ）
A.（4，0） B.（-4，0） C.（0，-4） D.（0，4）
2.在抛物线y=?x2+1上的一个点上（ ）
A.（0，1） B.（0，0） C.（0，-1） D.（1，1）
3.顶点为（0，5），且开口方向向上，形状与函数y=?12x2的图像相同的抛物线是（ ）
A.y=12x2+5 B .y=?12x2?5 C.y=12(x+5)2 D.y=?12(x+5)2
4.在同一直角坐标系中，函数y=ax2+b与y=ax+b(ab≠0)度图像可能是（ ）
5.如图所示，两条抛物线y=?12x2+1,y=?12x2?1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）
A.8 B.6 C.10 D.4
6.二次函数y=?12x2+4的开口向______，对称轴是__________，顶点坐标是___________。
7.已知抛物线y=?(x+2)2,当x_________时，y随x的增大而增大；当x_________时，y随x的增大而减小。
8.下列函数图像开口方向与对称轴都相同的抛物线是____________。（填序号）
①；②；③；④；⑤。
9.抛物线的开口___________，当x__________时，y随x的增大而减小，当x_________时，y随x的增大而增大。它可以看作抛物线向___________平移__________个单位得到的。
10.已知抛物线过A（-3，y1）,B(-7,y2),C(4,y3)三点，把y1,y2,y3 按从小到大的顺序排列为______________________。
11.画出二次函数的图像，根据图像回答下列问题。
（1）写出抛物线的对称轴和顶点坐标。
（2）当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？
（3）当x取何值时，函数有最大（小）值，最大（小）值是多少？
12.对于二次函数，请回答下列问题：
（1）把函数的图像作怎样的移动，就能得到函数的图像？
（2）写出函数的图像的顶点坐标和对称轴。
13.分别求出符合下列条件的抛物线的表达式；
（1）过点（1，0）和点（0，1）。
（2）与的开口大小相同，方向相反，且过点（-3，2）。
（3）与抛物线的顶点坐标相同，且过点（1，2）
参考答案及解析
课前预习
1.（1） 抛物线 相同 不同 y轴（或直线x=0） (0,k)
（2）向上 向下 y轴 y轴 （0，k） （0，k） k k 增大 减小
减小 增大
2.（1）抛物线 相同 不同 x=h （h，0）
（2）向上 向下 x=h x=h （h，0） （h，0） 0 0
增大 减小 减小 增大
课内探究
【典例1】根据函数的对称性列出下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
Y= -2x2
…
-8
-2
0
-2
-8
…
Y= -2x2+2
…
-6
0
2
0
-6
…
Y= -2x2-2
…
-10
-4
-2
-4
-10
…

描点、连线，即可得到如图所示的图像
（1）由图像可知，抛物线Y= -2x2+2是由抛物线Y= -2x2向上平移2个单位得到的；抛物线Y= -2x2-2是由抛物线Y= -2x2向下平移2个单位得到的。
（2）相同点：形状相同（即开口方向和开口大小相同），对称轴相同。
不同点：顶点坐标不同。
【典例2】根据函数的对称性列出下表。
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
0
2
…
…
0
2
8
…
…
8
2
0
…
描点、连线，得到如图所示的图像。
由图像可知，抛物线是由抛物线向右平移2个单位得到的；抛物线是由抛物线向左平移2个单位得到的。
相同点：开口方向和大小相同。
不同点：对称轴和顶点坐标不同。
巩固练习
C
解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-1。
（2）填表如下：
x
…
-7
-5
-3
-1
1
3
5
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
（3）画图略。
基础训练
1.B 2.B 3.C 4.
5.解：（1）由题意得：，∴m=2。∴点A的坐标为（3，2），∴点A’的坐标为（3，-2）。
（2）如图所示，点B的坐标为（1，0）。设AA’交x轴于点C，则点C的坐标为（3，0），
∴BC=OC-OB=2，AA’=2-（-2）=4.
∴S△AA’B=。
6.解把x=0代入得y=c，即A点坐标为（0，c）。又由正方形的对角线相等且相互垂直平分知B，C两点的坐标分别为，。将B点坐标代入二次函数得，又c≠0，整理得ac=-2。
课后提高
1.D 2.A 3.A 4.D 5.A
6.下 y轴 7.<-2 >-2
8.①③⑤ 9.向下 >3 <3 右 3
10. y111.解：画图略。
（1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1）
（2）当x<0时，y的值随x值的增大而增大。
（3）当x=0时，函数有最大值，最大值为1。
12.解：（1）函数的图像向右平移3个单位，就得到函数的图像。
（2）函数的图像的顶点坐标是（3，0），对称轴是直线x=3。
13.解：（1）将点（1，0）（0，1）的坐标代入，得解得
∴抛物线的表达式为。
（2）由题意，得，则。将点（-3，2）的坐标代入，得，解得c=-1.∴抛物线的表达式为。
（3）抛物线的顶点坐标为（0，-1）。
将点（0，-1）（1，2）的坐标代入，得解得
∴抛物线的表达式为。