新湘教版 数学 八年级上 2.6 用尺规作三角形 教学设计
课题
2.6 用尺规作三角形
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.了解尺规作图.
2.掌握尺规的基本作图:画一个角等于已知角..
3.了解尺规作图的步骤,会写已知、求作和作法.
4.尺规作图的简单应用,会解尺规作图题.
重点
画图,写出作图的主要作法.
难点
写出作图的主要作法,应用尺规进行作图.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们,在前面的学习中,我们了解了利用尺规来作基本图形.
问题1:什么是尺规作图?
答案:用无刻度的直尺和圆规作图,称为尺规作图.
问题2:你会用尺规作哪些基本图形呢?动手试一试.
答案:作一条线段等于已知线段,作线段的垂直平分线,……
问题3:前面几节课中,你都学习了哪些方法来证明两个三角形全等?
答案:SAS;ASA;AAS;SSS.
引入:根据三角形全等的判定条件,已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边,都可以确定唯一的一个三角形,从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形.
学生根据老师的提问回答问题,然后思考明确本节课的主要学习内容.
通过回顾尺规作图及基本作图,熟悉尺规作图的相关内容,为本节课的教学做好铺垫。
新知讲解
下面,让我们一起利用尺规进行作图:
例1:已知三角形的三边求作三角形
已知:线段a,b,c.
求作:△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c.
/
作法:(1)作线段BC=a,
(2)以C为圆心, b 为半径画弧,
(3)以B为圆心, C 为半径画弧两弧相交于点A,
(4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形
/
归纳:尺规作图的要求:
(1)作法要有依据;
(2)作图要保留痕迹;
(3)要写出结论.
例2:已知底边及底边上的高线求作等腰三角形
已知:线段a,h.
求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
/
//
例3:作一个角的平分线.
已知:∠AOB,
求作:∠AOB 的平分线.
/
作法:(1)以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半
径画弧,交∠AOB的两边于D、E两点;
(2)分别以D、E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;
(3)作射线OC.
∴OC就是所求作的∠ AOB的平分线.
/
追问:为什么OC是∠AOB的角平分线?
答案:连接CD,CE,利用SSS可证△OCD≌△OCE,
即可得出∠AOC= ∠BOC,
所以OC是∠AOB的角平分线
例4:作一个角等于已知角.
如图,已知∠AOB,求作一个角,使它等于∠AOB.
/
作法:(1) 作射线O'A'
(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,
(3)以点O'为圆心,以OC(或OD)的长为半径画弧,交O'A'于点C',
(4)以点C'为圆心,以CD长为半径画弧,交前弧于点D',
(5)过点D' 作射线O'B',则∠A'O'B’为所求作的角.
/
练习1:已知两边及其夹角作三角形.
已知:如图,已知∠α 和线段 a,c.
求作△ABC, 使∠B=∠α, BC=a, BA=c.
/
作法:(1)作∠MBN=∠α
(2)在射线BM,BN上分别截取BC=α,BA=c;
(3)连接AC,则ΔABC 为所求的三角形。
/
追问1:将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较,它们全等吗?为什么?
答案:两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
追问2:还有别的办法画出这个三角形吗?
练习2:已知两角及其夹边作三角形.
已知:如图,已知∠α 、 ∠β和线段 a.
求作△ABC, 使∠ABC=∠α, ∠ACB=∠β, BC=a.
/
作法:(1)作线段BC=ɑ;
(2)在BC的同旁,作∠DBC=∠α,∠ECB=∠β, BD与CE 相交于点A,
则ΔABC为所求作的三角形.
/
归纳:根据三角形全等的判定条件,已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边,都可以确定唯一的一个三角形,从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形.
学生认真观察老师的演示,模仿画图,并认真听老师讲解尺规作图的要求.
学生先独立思考,然后和老师一起作图
认真观察老师的操作过程,然后独立作图,并思考作图原理,然后班内交流.
学生积极思考,然后观察老师的操作过程后独立作图,并思考作图原理,最后班内交流.
学生独立完成这两道练习题,小组交流后班内汇报.
通过演示,让学生掌握利用三边的方法画三角形及尺规作图的要求.
体会按要求作出图形的解题方法
掌握角平分线的画法.
掌握基本作图:作一个角等于已知角
体会利用全等三角形的判定方法作三角形.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.以下列线段为边能作三角形的是 ( )
A.2厘米、3厘米、5厘米
B.4厘米、4厘米、9厘米
C.1厘米、2厘米、 3厘米
D.2厘米、3厘米、4厘米
答案:D
2.利用尺规不可作的直角三角形是( )
A.已知斜边及一条直角边
B.已知两条直角边
C.已知两锐角
D.已知一锐角及一直角边
答案: C
3.如图,小丽做《轻松练习》中的试题时,不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分,她想在一张白纸上作一个完全一样的三角形,然后粘贴在上面,她作图的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
/
答案: C
4.如图,在△ABC中,AB=BC,点D在AB的延长线上.
(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法);
①作∠CBD的平分线BM;
②作边BC上的中线AE,并延长AE交BM于点F.
(2)由(1)得:BF与边AC的位置关系是________
/
答案:(1)
/
(2)BF//AC
学生自主完成课堂练习,做完之后班级内交流.
借助练习,检测学生的知识掌握程度,同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题:
如图,已知线段a和锐角∠α,求作一个Rt△ABC,使∠ACB=90°,∠B=∠α,BC=a.
/
解:如图所示,
①作∠MCN=90°.
②在射线CM上截取CB=a.
③以B为顶点,BC为一边,在CM的上侧作∠CBA=∠α,交CN于A,
则△ABC就是所求作的三角形.
/
在师的引导下完成问题.
进一步体会利用尺规作图来解决实际问题.
课堂总结
在课堂的最后,我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点:
本节课我们学到了什么?
1.已知三边作三角形.
2.已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
3.作一个角等于已知角及一个角的平分线.
4.已知两边及其夹角作三角形.
5.已知两角及其夹边作三角形.
跟着老师回忆知识,并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第93页习题2.6A组第1、2、3、4题
能力作业
教材第93页习题2.6B组第5、6题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书,让学生知道本节课的重点。
/
2.6 用尺规作三角形
班级:___________姓名:___________得分:__________
(满分:100分,考试时间:40分钟)
一.选择题(共5小题,每题8分)
1.尺规作图的画图工具是( )
A.刻度尺、圆规 B三角板和量角器 C.直尺和量角器 D.没有刻度的直尺和圆规
2.用尺规作图,下列条件中可能作出两个三角形的是( )
A.已知两边和夹角 B.已知两边及其一边的对角
C.已知两角和夹边 D.已知三条边
3.如图,小王做试题时,不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分,他想在一张白纸上作一个完全一样的三角形,然后粘贴在上面,他作图的依据是( )
A. B. C. D.
/ /
第3题图 第5题图
4.用尺规作一个直角三角形,使其两条直角边分别等于已知线段时,实际上就是已知的条件是( )
A.三角形的两条边和它们的夹角 B.三角形的三边
C.三角形的两个角和它们的夹边 D.三角形的三个角
5.如图,以为边作,使,那么下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.或
二.填空题(共4小题,每题5分)
6.已知,现将绕点逆时针旋转,使点落在射线上,求作.
作法:在上截,以点为圆心、为半径作弧,以点为圆心、为半径作弧,两弧在射线右侧交于点,则即为所求.
//
请用文字语言描述上述操作的作图原理:__________.
7.利用尺规作三角形,有三种基本类型:
(1)已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是“____”;
(2)已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“____”;
(3)已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“____”.
8.已知,分别以射线、为始边,在的外部作, ,则与的位置关系是__________.
9.已知△ABC中,AB=BC≠AC,作与△ABC只有一条公共边,且与△ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出___________个.
三.解答题(共3小题,第10题10分,第11、12题各15分)
10.尺规作图:已知∠α,
求作:∠A,使∠A=∠α( 不写作法,保留痕迹 )
/
11.作出下列三角形
(1)????????中,????=5cm,????=3cm,∠??=30°;
(2)????????中,∠??=30°,????边上的高?=4cm,????=7cm.
12.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:四边形ABCD.
/
求作:点P,使????//????,且点P到点A和点B的距离相等.
结论:
试题解析
/
3.C
【解析】图中的三角形已知一条边以及两个角,则他作图的依据是ASA.
故选C.
4.A
【解析】由已知条件可判定已知条件为两边和它们的夹角作三角形.
故选:A.
5.D
【解析】如图:有两种可能:
①
/
②
/
∠AOC=3∠AOB不一定,故A选项错误;
∠AOC=∠AOB不一定,故B选项错误;
∠AOC可能等于∠BOC,故C选项错误;
D选项正确.
故选D.
6.三边分别相等的两个三角形全等
【解析】∵在△ABC和△A'BC'中,
,
∴△ABC≌△A'BC'(SSS).
故答案为三边分别相等的两个三角形全等.
7. SAS ASA SSS
【解析】根据SAS—两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;ASA—两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;SSS—三边分别相等的两个三角形全等.
故答案:(1)SAS、 (2)ASA 、(3)SSS.
8.互相垂直或重合
【解析】①/
∵∠AOB=22.5°,∴∠AOC=22.5°,∠BOD=45°,∴∠COD=90°,此时OC⊥OD;
②/
∵∠AOB=22.5°,∴∠AOC=22.5°,∠BOD=45°,∴∠BOC=45°,此时OC与OD重合.
故答案为互相垂直或重合.
9.7
【解析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等,以腰为公共边时有6个,以底为公共边时有一个,答案可得.
解:以AB为公共边有三个,以CB为公共边有三个,以AC为公共边有一个,如图,
/
所以一共能作出7个.
故答案为:7.
10.见解析
【解析】首先画射线AK,以点O为圆心,以任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点C,B,再以点A为圆心,以OB的长为半径画弧,交AK于E,以BC的长为半径,以点E为圆心画弧,两弧相交于点F,画射线EF即可得出∠A=∠α.
解:如图∠A即为所求.
/
/
11.见解析
【解析】(1)作????=5cm,∠??=30°,以A为圆心,以3为半径画圆,与∠??另一边交于点??,连接AC,????????即为所求作三角形.
(2)∠??=30°,????边上的高?=4cm,可得:????=2?=8,作∠??=30°,以B为圆心,以8为半径画圆,与∠??一边交于点??,以A为圆心,以7为半径画圆,与∠??另一边交于点??,连接AC,????????即为所求作三角形.
解:(1)????????即为所求作三角形
/
(2)根据题意可得:????=2?=8,
/
12.见解析.
【解析】如图延长AB至Q,根据内错角相等两直线平行作出直线CP,再作出线段AB的垂直平分线FP,两直线的交点即为P点.
解:如图,延长AB至Q,作∠??????=∠??????,再作线段AB的垂直平分线FG,交CE于点P即可.
点P即为所求.
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/
课件23张PPT。用尺规作三角形数学湘教版 八年级上新知导入2、你会用尺规作哪些基本图形呢?动手试一试.作一条线段等于已知线段1、什么是尺规作图?
用无刻度的直尺和圆规作图,称为尺规作图.新知导入2、你会用尺规作哪些基本图形呢?动手试一试.作一条线段等于已知线段作线段的垂直平分线,……1、什么是尺规作图?
用无刻度的直尺和圆规作图,称为尺规作图.新知导入 根据三角形全等的判定条件,已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边,都可以确定唯一的一个三角形,从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形.3、前面几节课中,你都学习了哪些方法来证明两个三角形全等?
SAS ASA AAS SSS.例1:已知三角形的三边求作三角形已知:线段a,b,c.求作:△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c.作法:(1)作线段BC=a, AC(2)以C为圆心, b 为半径画弧, (3)以B为圆心, C 为半径画弧两弧相交于点A,(4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形新知讲解acb新知讲解尺规作图的要求(1)作法要有依据;
(2)作图要保留痕迹;
(3)要写出结论.例2:已知底边及底边上的高线求作等腰三角形已知:线段a,h.求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.作法:(1)作线段BC=a ;(2)作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D; (3)在射线DM(或DN)上截取线段DA,使DA=h;(4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形.新知讲解
求作:∠AOB 的平分线.作法:(2)分别以D、E为圆心,以大于 DE的长
为半径 画弧,在∠AOB内两弧交于点C; (1)以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半
径画弧,交∠AOB的两边于D、E两点;已知:∠AOB,(3)作射线OC.∴OC就是所求作的∠ AOB的平分线。新知讲解例3:作一个角的平分线. 为什么OC是∠AOB的角平分线?连接CD,CE,利用SSS可证△OCD≌△OCE,
即可得出∠AOC= ∠BOC,
所以OC是∠AOB的角平分线例4:作一个角等于已知角.
如图,已知∠AOB,求作一个角,使它等于∠AOB.新知讲解作法:(1) 作射线O'A'
(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,
(3)以点O'为圆心,以OC(或OD)的长为半径画弧,交O'A'于点C',
(4)以点C'为圆心,以CD长为半径画弧,交前弧于点D',
(5)过点D' 作射线O'B',则∠A'O'B’为所求作的角.练习1:已知两边及其夹角作三角形.作法:(1)作∠MBN=∠α
(2)在射线BM,BN上分别截取BC=α,BA=c;
(3)连接AC,则ΔABC 为所求的三角形。如图 , 已知∠α 和线段 a, c.
求作△ABC, 使∠B=∠α, BC=a, BA=c.新知讲解新知讲解 将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较,它们全等吗?为什么?练习1:已知两边及其夹角作三角形.如图 , 已知∠α 和线段 a, c.
求作△ABC, 使∠B=∠α, BC=a, BA=c. 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 还有别的办法画出这个三角形吗?练习2:已知两角及其夹边作三角形.作法:(1)作线段BC=ɑ;
(2)在BC的同旁,作∠DBC=∠α,∠ECB=∠β, BD与CE 相交于点A,
则ΔABC为所求作的三角形.如图 , 已知∠α 、 ∠β和线段 a.
求作△ABC, 使∠ABC=∠α, ∠ACB=∠β, BC=a.新知讲解新知讲解 根据三角形全等的判定条件,已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边,都可以确定唯一的一个三角形,从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形.
归 纳课堂练习1.以下列线段为边能作三角形的是 ( )
A. 2厘米、3厘米、5厘米
B. 4厘米、4厘米、9厘米
C. 1厘米、2厘米、 3厘米
D. 2厘米、3厘米、4厘米D课堂练习2.利用尺规不可作的直角三角形是 ( )
A.已知斜边及一条直角边
B.已知两条直角边
C.已知两锐角
D.已知一锐角及一直角边C课堂练习 3.如图,小丽做《轻松练习》中的试题时,不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分,她想在一张白纸上作一个完全一样的三角形,然后粘贴在上面,她作图的依据是( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AASC课堂练习4.如图,在△ABC中,AB=BC,点D在AB的延长线上.
(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法);
①作∠CBD的平分线BM;
②作边BC上的中线AE,并延长AE交BM于点F.
(2)由(1)得:BF与边AC的位置关系是________BF//AC拓展提高 如图,已知线段a和锐角∠α,求作一个Rt△ABC,使∠ACB=90°,∠B=∠α,BC=a.解:如图所示,
①作∠MCN=90°.
②在射线CM上截取CB=a.
③以B为顶点,BC为一边,
在CM的上侧作∠CBA=∠α,交CN于A,
则△ABC就是所求作的三角形.MNCBA·课堂小结本节课我们学到了什么?1.已知三边作三角形.2.已知底边及底边上的高线作等腰三角形.3.作一个角等于已知角及一个角的平分线.4.已知两边及其夹角作三角形.5.已知两角及其夹边作三角形.板书设计
课题:2.6用尺规作三角形??
学生展示区1.已知三边作三角形.
2.已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
3.角平分线、作一个角等于已知角.
4.已知两边及其夹角作三角形.
5.已知两角及其夹边作三角形.
?
教师板演区基础作业
教材第93页习题2.6A组第1、2、3、4题
能力作业
教材第93页习题2.6B组第5、6题作业布置