新湘教版 数学 八年级上 3.1.1 平方根的意义及其性质 教学设计
课题
3.1.1 平方根的意义及其性质
单元
第三单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.了解平方与开平方的关系；
2.理解平方根和算术平方根的概念与性质；
3.掌握平方根、算术平方根的表示法，并会运用新知解决简单实际问题.
重点
平方根与算数平方根的概念与运算.
难点
对平方根和算数平方根概念与符号的正确理解与区分.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，请完成下面的问题：
问题：直接说出下列各式的结果.
4
答案：（1）4，-4；（2），－；（3）0；（4）±3
学生根据老师的提问回答问题，并体会平方的结果和底数之间的关系.
通过回顾平方的计算，为平方根的探究做好铺垫。
新知讲解
下面，让我们一起探究下面的问题：
思考：某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块。你能算出每块地垫的边长是多少吗？
/
追问1：每块正方形地垫的面积是多少呢？
答案：10.8÷30=0.36(m2)
追问2：正方形地垫的边长是多少呢？
答案：由于0.62=0.36，
因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.
归纳：平方根的概念：如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.
即：若r2=a，则r是a的一个平方根
例如，由于22=4,因此2是4的一个平方根.
应用：因为（-3）2=9,因此_______是9的一个平方根.
答案：-3
想一想：4的平方根除了2以外，还有其他的数吗?
答案：4的平方根有且只有两个：2与-2.
练习1：分别说出9，16，25，49的平方根是多少？
解：9的平方根是±3，
16的平方根是±4，
25的平方根是±5，
49的平方根是±7.
想一想：一个正数有几个平方根？它们之间有什么关系呢？
答案：2个，它们互相反数
即：如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
归纳：我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根
记作：，读作：根号a
这样，正数a平方根可以用表示，读作：正、负根号a
例如，4的平方根是2与-2，即
说一说：零的平方根是多少？负数有平方根吗?
/
归纳：平方根的性质
（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2）0的平方根是0；
（3）负数没有平方根.
思考：平方根与算术平方根的联系与区别：
答案：
联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.
区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.（2）表示法不同：平方根表示为，而算术平方根表示为
想一想：的结果是多少呢？
答案：，
，
思考：对于任意数a，一定等于a 吗?
归纳：
算一算：
答案：0，1，-1，2，-2，3，-3
想一想：你发现了什么呢？
归纳：当a≥0时，，
当a＜0时，
也就是说：
讨论：与有区别吗？
答案：
平方在外面，直接去根号和平方.
平方在里面，要加绝对值，分类来讨论.
探究：填空：
/ /
答案：（1）1，4，9
（2）1，-1，2，-2，3，-3
归纳：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
追问：左右两图中的运算有什么关系？
答案：平方与开平方为互逆运算
例1：分别求下列各数的平方根：36；；1.21.
解：（1）∵62＝36，∴36的平方根是6与-6，即
（2）∵，∴的平方根是与-
即
（3）∵1.12＝1.21，∴1.21的平方根是1.1与-1.1，
即
练习2.分别求64，，6.25的平方根.
解：（1）∵82＝64，∴64的平方根是8与-8，即
（2）∵，∴的平方根是与-
即
（3）∵2.52＝6.25，∴6.25的平方根是2.5与-2.5，
即
例2：分别求下列各数的算术平方根：100；；0.49.
解：（1）∵102＝100，∴
（2）∵，∴
（3）∵0.72＝0.49，∴
练习3.分别求81，，0.16的算术平方根.
解：（1）∵92＝81，∴
（2）∵，∴
（3）∵0.42＝0.16，∴
认真读题，并思考老师所提出的问题，然后回答问题.并认真听老师讲解平方根的概念.
学生回答老师的提问，并听老师讲解算术平方根、平方根的表示方法、读法、平方根的性质及平方根与算术平方根的联系与区别.
学生根据老师的提问完成计算，然后认真观察结果，并将自已的想法在班级内交流.
学生填图，并听老师介绍开平方运算.
学生先审题，然后认真听老师的讲解后，独立完成例题及练习题.
理解平方根的概念.
了解算术平方根、平方根的表示方法，探究平方根的性质.
让学生了解与的联系与区别
了解开平方运算的概念.
掌握求一个数的平方根或算术平方根
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1．下列说法正确的是( )
A．负数没有平方根
B．任何一个数的平方根都比它本身大
C．只有正数才有平方根
D．一个数的平方根不可能与它本身相等
答案：A
2. 9的算术平方根是（ ）.
A.-3 B.3 C.±3 D.81
答案：B
3.判断下列说法是否正确.
（1）是的一个平方根；
（2）是6的算术平方根；
（3）的值是±4；
（4）(-4)2的平方根是-4.
答案：正确；正确；不正确；不正确
4.求下列各式的值.
解：
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
已知实数a满足|2017－a|＋＝a.则a－20172的值是多少？
解：由题意知：a－2018≥0，∴a≥2018，
∴2017－a≤0，
∴a－2017＋＝a，
∴＝2017，
∴a－2018＝20172，
∴a－20172＝2018
在师的引导下完成问题.
体会算术平方根的实际应用
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1、什么是平方根？算术平方根？
答案：如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根.
2、说一说平方根的性质.
答案：（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2）0的平方根是0；
（3）负数没有平方根.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第110页习题3.1A组第1、2、3题
能力作业
教材第111页习题3.1B组第8题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
3.1.1 平方根的意义及其性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．±
2．2的算术平方根是( )
A．±
2
B．
2
C．－
2
D．2
3．下列说法中不正确的是（ ）
A．-是2的平方根 B．是2的平方根
C．2的平方根是 D．2的算术平方根是
4．已知是169的平方根，且，则的值是（ ）
A．11 B．±11 C．±15 D．65或
5．若a是（-4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a＋b的值为（ ）
A．8 B．0 C．8或0 D．4或－4
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．36的平方根是______，81的算术平方根是______．
7．面积为5的正方形的边长是_________.
8．
16
的算术平方根是_____________，
(?9)
2
的平方根是__________________.
9．已知一个正数的两个平方根是和，则=_______， =______.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．求下列各数的平方根．
(1)64; (2)
16
49
11．求下列各数的算术平方根：
⑴ 169 ⑵ 0.0256
⑶1 ⑷ （-2）2
12．求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
试题解析
1．D
【解析】解：∵（±）2=
∴的平方根是±.
故选D.
2．B
【解析】由算术平方根的定义可知：2的算术平方根是
2
.
故选B.
3．C
【解析】解：A．-是2的平方根，正确；
B．是2的平方根，正确；
C．2的平方根是±，故原选项不正确；
D．2的算术平方根是，正确.
故选C.
4．D
【解析】解：∵x是169的平方根，∴x=±13．
当x=13时，2×13+3y=169，解得：y=；
当x=－13时，2×（－13）+3y=169，解得：y=65．
综上所述：y=65或．
故选D．
5．C
【解析】解:∵a是（-4）2的平方根，
∴a=±4，
∵b的一个平方根是2，
∴b=4,
∴a+b=8或0.
故选C.
6． ±6 9．
【解析】∵(±6)2=36,
∴36的平方根是±6;
∵92=81,
∴81的算术平方根是9.
7．
5
；
【解析】因为正方形的面积等于边长乘以边长,即边长的平方,根据正方形面积是5,可得:正方形边长的平方等于5,即边长等于
5
.
解：正方形的边长为x,
根据题意可得:x2=5,
所以x=
5
,
故答案为:
5
.
8． 2 3或-3
【解析】∵
16
=4,
∴
16
的算术平方根是
4
=2;
∵
?9
2
=9,
∴
?9
2
的平方根是±
9
=±3.
9． 1 4
【解析】解：根据题意，得：
a+1+（a﹣3）=0，解得：a=1．
则x=（1+1）2=4．
故答案为：1，4．
10．(1)±8;(2)±
4
7
.
【解析】按照平方根的定义求出两数的平方根即可.
析：（1）∵
8
2
=64，
(?8)
2
=64，
∴64的平方根是±8，即±
64
=±8；
（2）∵
(
4
7
)
2
=
16
49
，
(?
4
7
)
2
=
16
49
，
∴
16
49
的平方根是±
4
7
，即±
16
49
=±
4
7
.
/
12．（1）15；（2）-0.02；（3）；（4）-0.1；（5）0.7；（6）9.
【解析】根据算术平方根的定义可知，因为15的平方等于225，所以225的算术平方根等于15；把化成假分数为，因为的平方等于，所以的平方根等于±；因为0.02的平方等于0.0004，所以0.0004的负的平方根为－0.02；根据二次根式的性质可得； ， =0.2； .
解：（1） =15；
(2) =－0.02；
(3) ；
(4) =－|0.1|=－0.1；
(5) =0.9－0.2=0.7；
(6) .
/
课件27张PPT。平方根的意义及其性质数学湘教版 八年级上新知导入440±３直接说出下列各式的结果.新知讲解 思考：某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块。你能算出每块地垫的边长是多少吗？每块正方形地垫的面积是多少呢？
10.8÷30 = 0.36 (m2)正方形地垫的边长是多少呢？由于 0.62 =0.36，
因此面积为0.36 m2的正方形地垫的边长是0.6 m.新知讲解 如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.平方根的概念若r2=a，则r是a的一个平方根例如，由于22 = 4, 因此2是4的一个平方根.因为（-3）2 = 9, 因此_______是9的一个平方根.-3新知讲解想一想：4的平方根除了2以外，还有其他的数吗?我是你的平方根很高兴认识你 其实，我也是你的平方根因为（-2)2=4，
因此-2 也是4的一个平方根. 4的平方根有且只有两个：2与-2.新知讲解 练习1：分别说出9，16，25，49 的平方根是多少？解：9的平方根是±3 ，
16的平方根是±4 ，
25的平方根是±5 ，
49的平方根是±7.新知讲解想一想：一个正数有几个平方根？它们之间有什么关系呢？2个，它们互为相反数即：如果r 是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根记作：读作：根号a这样，正数a平方根可以用 表示读作：正、负根号a例如，4的平方根是2与-2，即新知讲解说一说：零的平方根是多少？负数有平方根吗? 由于02 = 0,而非零数的平方不等于0,因此零的平方根就是0本身. 我们把0的平方根也叫做0的算术平方根. 在迄今为止我们所认识的数中， 任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.新知讲解平方根的性质（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2） 0的平方根是0；
（3）负数没有平方根.
新知讲解平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
区别： 1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 2.表示法不同：平方根表示为 ，而算术平方根表示为 新知讲解思 考：对于任意数a， 一定等于a 吗?想一想： 的结果是多少呢？ 新知讲解算一算：01-12-23-3 想一想：你发现了什么呢？当a≥0时，当a＜0时，也就是说：a－a｜a｜新知讲解讨论： 与 有区别吗？平方在外面，
直接去根号和平方.平方在里面，
要加绝对值，分类来讨论.新知讲解 填空：求平方
求平方根 左右两图中的运算有什么关系？平方开平方互逆 运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 例1：分别求下列各数的平方根：36； ； 1.21.解：（1）∵62＝36，∴36的平方根是6与-6，即
（2）∵ ，∴ 的平方根是 与
即
（3）∵1.12＝1.21， ∴1.21的平方根是1.1与-1.1，
即新知讲解练习2. 分别求 64， ， 6.25 的平方根.解：（1）∵82＝64，∴64的平方根是8与-8，即
（2）∵ ，∴ 的平方根是 与
即
（3）∵2.52＝6.25， ∴6.25的平方根是2.5与-2.5，
即新知讲解例2：分别求下列各数的算术平方根：100； ；0.49.解：（1）∵102＝100，∴
（2）∵ ，∴
（3）∵0.72＝0.49， ∴正数的算术平方根中有一个算术平方根就是正平方根.新知讲解练习3. 分别求 81， ， 0.16 的算术平方根.解：（1）∵92＝81，∴
（2）∵ ，∴
（3）∵0.42＝0.16， ∴新知讲解课堂练习1．下列说法正确的是( )
A．负数没有平方根
B．任何一个数的平方根都比它本身大
C．只有正数才有平方根
D．一个数的平方根不可能与它本身相等A 2. 9的算术平方根是（ ）.
A.-3 B.3 C. ±3 D.81B课堂练习3. 判断下列说法是否正确.正确（4）(-4)2的平方根是-4.（1） 是 的一个平方根；（2） 是6的算术平方根；（3） 的值是±4； 正确不正确不正确课堂练习4.求下列各式的值.解：拓展提高课堂总结1、什么是平方根？算术平方根？2、说一说平方根的性质.（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2） 0的平方根是0；
（3）负数没有平方根. 如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根.板书设计
课题：3.1.1 平方根的意义及其性质??
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2、算术平方根
3、平方根的性质基础作业
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能力作业
教材第111页习题3.1B 组第8题作业布置
