13.3.2 等边三角形课时作业（2）
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13.3.2等边三角形课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（
如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为( )
A．10 B．8 C．5 D．2.5
如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． m B．4 m C．4 m D．8 m
如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30°，则BD的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是
A. B. C. D.
已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝( )
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
二 、填空题
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝__________.
三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 cm．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若∠A=30°，BD=1，则AD=______________
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
三 、解答题
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
求证：BC=3AD．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，BD=AD，BD=12
求：DC的长．
如图，BE平分∠ABF，DF⊥AB交AB于点D，AC⊥BF交BF于点C，AC，FD相交于点E，若∠F=30°，DE=1，求AC的长．
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。
`
已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE=EC；
（2）若DE=2，求BC的长．
答案解析
一 、选择题
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．
解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），
∴CE=BE=10．
故选A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．
【考点】含30°角的直角三角形
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=AB=12×=6，
故答选A．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确的利用合适的边角关系．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】先根据∠ACB为直角，∠A=30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，
∴∠B=90°﹣∠A=60°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°﹣∠B=30°
∴AB=2BC，BC=2BD，
∴AB=4BD=4．
故选A．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
解：
过C作CM⊥AB于M
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故选B．
【考点】含30度角的直角三角形．轴对称的性质
【分析】由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后解答即可．
解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE．
∵DC=1，
∴BD=2．
故选：B
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
【考点】含30度角的直角三角形；作图—基本作图
【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
【考点】全等三角形的性质和判定,含直角三角形
【分析】过点C作轴，垂直为D，首先证明≌，从而可求得BC的长，然后再求得，接下来，依据在中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
解：，，，
≌．
，，
过点C作轴，垂直为D，则．
，．
．
故选：C．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴BF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴AE=12﹣CE=4x﹣12，
∴AD=2AE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴8x﹣24+x=12，
∴x=4，
∴AD=8x﹣24=32﹣24=8．
故选C．
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质
【分析】首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE=∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BPF=60°，最后在Rt△BPF中，依据含30°角的直角三角的性质求解即可．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BPF的度数是解题的关键．
二 、填空题
【考点】含30°的直角三角形的性质，角平分线的性质
【分析】首先根据三角形内角和得出∠ABC=60°，根据角平分线的性质得出∠CBD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质求出CD的长度.
解：∵∠C=90°，∠A=30°，?
∴∠ABC=60°，?
∵BD是∠ABC的平分线，?
∴∠CBD＝30°，
所以CD＝＝5.
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】先求出三角，再解直角三角形求边．
解：三角形三内角的度数之比为1：2：3，
则最小的角是30度，最大角是直角，
因而最小边是30°的锐角所对的边，等于斜线的一半是4cm．
故填4cm．
【点评】本题主要考查了直角三角形中．30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
【考点】 含30度角的直角三角形．
【分析】求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD是高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=30°，
∵BD=1，
∴BC=2BD=2，
∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∴AD=AB﹣BD=4﹣1=3，
故答案为：3．
【点评】 本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是得出BC=2BD和AB=2BC，难度适中．
【考点】含30度角的直角三角形
【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
三 、解答题
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】已知∠BAC=120°，AB=AC，∠B=∠C=30°，可得AD⊥AC，有CD=2AD，AD=BD．即可得证．
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠B，然后求出∠CAD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AD，然后根据BC=BD+CD代入数据计算即可得解．
解：∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，
∴∠CAD=（90°﹣30°）﹣30°=30°，
∴CD=AD=×12=6，
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC=1，根据直角三角形的性质求出AE，计算即可．
解：∵BE平分∠ABF，DF⊥AB，AC⊥BF，
∴ED=EC=1，
∵∠F=30°，∠ADE=∠FCE=90°，
∴∠A=30°，
∴AE=2DE=2，
∴AC=AE+EC=3．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
【考点】含30°角的直角三角形性质的应用
【分析】过P作PE⊥AB于E，根据题中所给的∠PAE=15°，∠PBE=30°，及船的航行速度可求出p到AB的距离，继而能判断出有无危险．
解：连接AP，且做PD垂直于AB交AB延长线于D点
∵∠PBC=30°
∴∠PBA=150°
又∵∠A=15°
∴∠APB=15°（180-150-15）
∴PB=PA=45×3=45海里
∴PD=22.5海里(30度角所对的边等于斜边一半)
22.5大于20，所以不会触礁。
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；
（2）根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DA=DC，
∵DE⊥AC，
∴AE=EC；
（2）∵∠C=30°，DE⊥AC，
∴DC=2DE=4，
∵AB⊥AD，∠B=30°，
∴BD=2DC=8，
∴BC=12．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（
如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为( )
A．10 B．8 C．5 D．2.5
如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． m B．4 m C．4 m D．8 m
如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30°，则BD的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是
A. B. C. D.
已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝( )
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
二 、填空题
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝__________.
三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 cm．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若∠A=30°，BD=1，则AD=______________
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
三 、解答题
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
求证：BC=3AD．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，BD=AD，BD=12
求：DC的长．
如图，BE平分∠ABF，DF⊥AB交AB于点D，AC⊥BF交BF于点C，AC，FD相交于点E，若∠F=30°，DE=1，求AC的长．
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。
`
已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE=EC；
（2）若DE=2，求BC的长．
答案解析
一 、选择题
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．
解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），
∴CE=BE=10．
故选A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．
【考点】含30°角的直角三角形
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=AB=12×=6，
故答选A．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确的利用合适的边角关系．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】先根据∠ACB为直角，∠A=30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，
∴∠B=90°﹣∠A=60°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°﹣∠B=30°
∴AB=2BC，BC=2BD，
∴AB=4BD=4．
故选A．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
解：
过C作CM⊥AB于M
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故选B．
【考点】含30度角的直角三角形．轴对称的性质
【分析】由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后解答即可．
解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE．
∵DC=1，
∴BD=2．
故选：B
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
【考点】含30度角的直角三角形；作图—基本作图
【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
【考点】全等三角形的性质和判定,含直角三角形
【分析】过点C作轴，垂直为D，首先证明≌，从而可求得BC的长，然后再求得，接下来，依据在中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
解：，，，
≌．
，，
过点C作轴，垂直为D，则．
，．
．
故选：C．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴BF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴AE=12﹣CE=4x﹣12，
∴AD=2AE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴8x﹣24+x=12，
∴x=4，
∴AD=8x﹣24=32﹣24=8．
故选C．
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质
【分析】首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE=∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BPF=60°，最后在Rt△BPF中，依据含30°角的直角三角的性质求解即可．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BPF的度数是解题的关键．
二 、填空题
【考点】含30°的直角三角形的性质，角平分线的性质
【分析】首先根据三角形内角和得出∠ABC=60°，根据角平分线的性质得出∠CBD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质求出CD的长度.
解：∵∠C=90°，∠A=30°，?
∴∠ABC=60°，?
∵BD是∠ABC的平分线，?
∴∠CBD＝30°，
所以CD＝＝5.
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】先求出三角，再解直角三角形求边．
解：三角形三内角的度数之比为1：2：3，
则最小的角是30度，最大角是直角，
因而最小边是30°的锐角所对的边，等于斜线的一半是4cm．
故填4cm．
【点评】本题主要考查了直角三角形中．30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
【考点】 含30度角的直角三角形．
【分析】求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD是高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=30°，
∵BD=1，
∴BC=2BD=2，
∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∴AD=AB﹣BD=4﹣1=3，
故答案为：3．
【点评】 本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是得出BC=2BD和AB=2BC，难度适中．
【考点】含30度角的直角三角形
【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
三 、解答题
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】已知∠BAC=120°，AB=AC，∠B=∠C=30°，可得AD⊥AC，有CD=2AD，AD=BD．即可得证．
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠B，然后求出∠CAD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AD，然后根据BC=BD+CD代入数据计算即可得解．
解：∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，
∴∠CAD=（90°﹣30°）﹣30°=30°，
∴CD=AD=×12=6，
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC=1，根据直角三角形的性质求出AE，计算即可．
解：∵BE平分∠ABF，DF⊥AB，AC⊥BF，
∴ED=EC=1，
∵∠F=30°，∠ADE=∠FCE=90°，
∴∠A=30°，
∴AE=2DE=2，
∴AC=AE+EC=3．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
【考点】含30°角的直角三角形性质的应用
【分析】过P作PE⊥AB于E，根据题中所给的∠PAE=15°，∠PBE=30°，及船的航行速度可求出p到AB的距离，继而能判断出有无危险．
解：连接AP，且做PD垂直于AB交AB延长线于D点
∵∠PBC=30°
∴∠PBA=150°
又∵∠A=15°
∴∠APB=15°（180-150-15）
∴PB=PA=45×3=45海里
∴PD=22.5海里(30度角所对的边等于斜边一半)
22.5大于20，所以不会触礁。
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；
（2）根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DA=DC，
∵DE⊥AC，
∴AE=EC；
（2）∵∠C=30°，DE⊥AC，
∴DC=2DE=4，
∵AB⊥AD，∠B=30°，
∴BD=2DC=8，
∴BC=12．