第5讲 有理数的减法
【知识扫描】
知识点一 有理数减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数。用字母表示：a－b＝a＋(－b)
（1）应用有理数减法法则时，要同时“双变”：
①将运算符号“－”改变为“＋”；
②把减数改变为它的相反数，然后再按加法的法则进行计算
（2）转化成加法后在运用交换律交换加数的位置时，要注意连同前面的符号“－”一起交换
知识点二 有理数的加减混合运算的方法和步骤
1. 运用减法法则，将有理数加减混合运算统一为加法运算；
2. 运用加法交换律、结合律使运算简便；
3. 把同号（同正或同负）的数结合，整数与整数结合，同分母或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个数能凑整的结合。
知识点三 省略加号的和的形式的读法和应用
1. 加减混合运算中的减法统一成加法后变成和的形式，为了书写简单，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写。如“(－20)＋(＋5)－(－4)－(＋2)”可写成“－20＋5＋4－2”
2. 省略括号的和的形式有2种读法：①看成几个有理数的和，如“－20＋5＋4－2”可读作负20、5、4、负2的和；②按运算来读，如“－20＋5＋4－2”也可读作负20加5加4减2.
【典型例题】
考点一 运用减法法则计算
【例1】计算下列各题
（1） （2）
【变式】计算下列各题
（1）－20－(－14)－13 （2）
考点二 有理数的加减混合运算
【例2】计算下列各题
（1）
【变式】计算下列各题
（1）－17＋(－33)－10－(－16) （2）
考点三 有理数加减法在实际生活中的应用
【例3】某公司去年1—3月平均每月亏损1.6万元，4—6月平均每月盈利2万元，7—10月平均每月盈利1.7万元，11—12月平均每月亏损2.2万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？
【解答】解：记盈利额为正数，亏损额为负数，公司去年全年盈亏额（单位：万元）为
(－1.6)×3＋2×3＋1.7×4＋(－2.2)×2＝3.6万元
答：这个公司去年全年盈利3.6万元．
【变式】一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【解答】解：根据题意得
（1）5－3＋10－8－6＋12－10＝0，
故回到了原来的位置；
（2）离开球门的位置最远是12米；
（3）总路程＝|5|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|－6|＋|＋12|＋|－10|＝54米．
考点四 用有理数减法表示数轴上两点间的距离
【例4】在同一数轴上分别表示每组的两个数．
①； ②－2和－3.5； ③2和－2.5； ④3和0
（1）求出每组两个数的对应点的距离；
（2）这个距离与这两个数的差有什么关系？
（3）若用x1、x2分别表示在任意两数，如何用x1、x2表示数轴上这两数的对应点之间的距离．
【解答】解：在数轴上表示出每组的两个数，如图所示．
（1）① ； ② 3.5－2＝1.5；
③ 2＋2.5＝4.5； ④ 3－0＝3．
（2）这个距离是两个数差的绝对值．
（3）数轴上这两数的对应点之间的距离为|x1－x2|．
【变式】已知|a－1|＝5，则a的值为（ ）
A．0 B．－4 C．6或－4 D．－6或4
【解答】解：∵|a－1|＝5，
∴a－1＝±5．
解得a＝6或a＝－4．
故选：C．
考点五 有理数减法法则与绝对值的综合应用
【例5】如果x＜－3，化简|2－|1－x||
【解答】解：∵x＜－3，∴1－x＞0
∴原式＝|2－(1－x)|＝|2－1＋x|＝|1＋x|
∵x＜－3，∴1＋x＜0
∴|1＋x|＝－1－x
∴|2－|1－x||＝－1－x
【变式】有理数a、b在数轴上的位置如图所示：化简|a＋b|－|a－b|
【解答】解：从图上可以看出b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
则|a＋b|－|a－b|＝－(a＋b)－(a－b)＝－a－b－a＋b＝－2a；
第5讲 有理数的减法（随堂练习）
1. 计算－2－5的结果是（ ）
A．－6 B．－7 C．7 D．6
2. 某市今天的最低气温为2℃，据天气预报，两天后有一股强冷空气将影响该市，届时将降温约8℃，两天后该市的最低气温约为（ ）
A．6℃ B．－6℃ C．10℃ D．－10℃
3. 若a是最小的正整数，b是最大的负整数，则－a－b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
4. 若|m|＝5，|n|＝3，且m＋n＜0，则m－n的值是（ ）
A．－8或－2 B．±8或±2 C．－8 或2 D．8或2
5. 2017年汛期，安庆水文站每天都会对外公布长江水位变化情况。7月1日该水文站的水位是14.6m，7月2日下跌了0.4m；7月3日上涨了1.2m；7月4日又下跌了0.3m，则该水文站7月4日的水位高度是（ ）
A．－0.5m B．0.5m C．14.1m D．15.1m
6. 计算－2－(－4)的结果是________
7. 甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、－15m和－10m，那么最高的地方比最低的地方高__________
8. 已知|x|＝4，|y|＝5且x＞y，则x－y的值为_________
9. 计算
（1）27－28＋(－7)－32 （2）
10. 有一架直升飞机从海拔1000米的高原上起飞，第一次上升了1500米，第二次上升了－1200米，第三次上升了1100米，第四次上升了－1700米，求此时这架飞机离海平面多少米？此过程中这架飞机总共飞行了多少米？
第5讲 有理数的减法（课后作业）
1. 比－2还小－3的数是（ ）
A．1 B．－1 C．－5 D．5
2. 在学习“有理数的加法与减法运算”时，我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习，规定初始位置为0，向东行驶为正，向西行驶为负．先向西行驶3m，在向东行驶lm，这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是( )
A．(－3)－(＋1)＝－4 B．(－3)＋(＋1)＝－2
C．(＋3)＋(－1)＝＋2 D．(＋3)＋(＋1)＝＋4
3. 已知|x|＝5，|y|＝2，且|x＋y|＝－x－y，则x－y的值为（ ）
A．±3 B．±3或±7 C．－3或7 D．－3或－7
4. 时代超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为：(500±5)g、(500±10)g、(500±20)g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．10g B．20g C．30g D. 40g
5. 以－273℃为基准，并记作0°K，则有－272℃记作1°K，那么100℃应记作( )
A．－173°K B．173°K C．－373°K D．373°K
6. 计算：|－2|－3＝_________
7. 甲、乙两地的海拔高度分别为20m和－10m，则甲地比乙地高_________m。
8. 绝对值小于5的所有负整数的和为_________
9. 比3的相反数小3的数是_________
10. 已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a＋b－c＝_________
11. 计算
（1） （2）
（3） （4）
12. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4．
求3b＋2a－c的值．
13. 兴华粮食中转站仓库在9月1日至9月10日的时间内运进、运出粮食情况如下（运进记作“＋”，运出记作“－”）：＋1 050吨，－500吨，＋2 300吨，－80吨，－150吨，－320吨，＋600吨，－360吨，＋500吨，－210吨，在9月1日前仓库内没有粮食．
（1）求9月3日仓库内共有粮食多少吨．
（2）求哪一天仓库内的粮食最多，最多是多少．
（3）若每吨粮食的运费（包括运进、运出）10元，从9月1日到9月10日仓库共需付运费多少元
第5讲 有理数的减法
【知识扫描】
知识点一 有理数减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数。用字母表示：a－b＝a＋(－b)
（1）应用有理数减法法则时，要同时“双变”：
①将运算符号“－”改变为“＋”；
②把减数改变为它的相反数，然后再按加法的法则进行计算
（2）转化成加法后在运用交换律交换加数的位置时，要注意连同前面的符号“－”一起交换
知识点二 有理数的加减混合运算的方法和步骤
1. 运用减法法则，将有理数加减混合运算统一为加法运算；
2. 运用加法交换律、结合律使运算简便；
3. 把同号（同正或同负）的数结合，整数与整数结合，同分母或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个数能凑整的结合。
知识点三 省略加号的和的形式的读法和应用
1. 加减混合运算中的减法统一成加法后变成和的形式，为了书写简单，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写。如“(－20)＋(＋5)－(－4)－(＋2)”可写成“－20＋5＋4－2”
2. 省略括号的和的形式有2种读法：①看成几个有理数的和，如“－20＋5＋4－2”可读作负20、5、4、负2的和；②按运算来读，如“－20＋5＋4－2”也可读作负20加5加4减2.
【典型例题】
考点一 运用减法法则计算
【例1】计算下列各题
（1） （2）
【变式】计算下列各题
（1）－20－(－14)－13 （2）
考点二 有理数的加减混合运算
【例2】计算下列各题
（1）
【变式】计算下列各题
（1）－17＋(－33)－10－(－16) （2）
考点三 有理数加减法在实际生活中的应用
【例3】某公司去年1—3月平均每月亏损1.6万元，4—6月平均每月盈利2万元，7—10月平均每月盈利1.7万元，11—12月平均每月亏损2.2万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？
【解答】解：记盈利额为正数，亏损额为负数，公司去年全年盈亏额（单位：万元）为
(－1.6)×3＋2×3＋1.7×4＋(－2.2)×2＝3.6万元
答：这个公司去年全年盈利3.6万元．
【变式】一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【解答】解：根据题意得
（1）5－3＋10－8－6＋12－10＝0，
故回到了原来的位置；
（2）离开球门的位置最远是12米；
（3）总路程＝|5|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|－6|＋|＋12|＋|－10|＝54米．
考点四 用有理数减法表示数轴上两点间的距离
【例4】在同一数轴上分别表示每组的两个数．
①； ②－2和－3.5； ③2和－2.5； ④3和0
（1）求出每组两个数的对应点的距离；
（2）这个距离与这两个数的差有什么关系？
（3）若用x1、x2分别表示在任意两数，如何用x1、x2表示数轴上这两数的对应点之间的距离．
【解答】解：在数轴上表示出每组的两个数，如图所示．
（1）① ； ② 3.5－2＝1.5；
③ 2＋2.5＝4.5； ④ 3－0＝3．
（2）这个距离是两个数差的绝对值．
（3）数轴上这两数的对应点之间的距离为|x1－x2|．
【变式】已知|a－1|＝5，则a的值为（ ）
A．0 B．－4 C．6或－4 D．－6或4
【解答】解：∵|a－1|＝5，
∴a－1＝±5．
解得a＝6或a＝－4．
故选：C．
考点五 有理数减法法则与绝对值的综合应用
【例5】如果x＜－3，化简|2－|1－x||
【解答】解：∵x＜－3，∴1－x＞0
∴原式＝|2－(1－x)|＝|2－1＋x|＝|1＋x|
∵x＜－3，∴1＋x＜0
∴|1＋x|＝－1－x
∴|2－|1－x||＝－1－x
【变式】有理数a、b在数轴上的位置如图所示：化简|a＋b|－|a－b|
【解答】解：从图上可以看出b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
则|a＋b|－|a－b|＝－(a＋b)－(a－b)＝－a－b－a＋b＝－2a；
第5讲 有理数的减法（随堂练习）
1. 计算－2－5的结果是（ ）
A．－6 B．－7 C．7 D．6
【解答】解：－2－5＝－7，故选：B．
2. 某市今天的最低气温为2℃，据天气预报，两天后有一股强冷空气将影响该市，届时将降温约8℃，两天后该市的最低气温约为（ ）
A．6℃ B．－6℃ C．10℃ D．－10℃
【解答】解：2－8＝－6℃．
故选：B．
3. 若a是最小的正整数，b是最大的负整数，则－a－b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，
∴a＝1，b＝－1，
则－a－b的值为：－1－(－1)＝0．
故选：A．
4. 若|m|＝5，|n|＝3，且m＋n＜0，则m－n的值是（ ）
A．－8或－2 B．±8或±2 C．－8 或2 D．8或2
【解答】解：∵|m|＝5，|n|＝3，且m＋n＜0，
∴m＝－5，n＝3；m＝－5，n＝－3，
可得m－n＝－8或－2，
则m－n的值是－8或－2．
故选：A．
5. 2017年汛期，安庆水文站每天都会对外公布长江水位变化情况。7月1日该水文站的水位是14.6m，7月2日下跌了0.4m；7月3日上涨了1.2m；7月4日又下跌了0.3m，则该水文站7月4日的水位高度是（ ）
A．－0.5m B．0.5m C．14.1m D．15.1m
【解答】解：根据题意知该水文站7月4日的水位高度是14.6－0.4＋1.2－0.3＝15.1（m）
故选：D．
6. 计算－2－(－4)的结果是________
【解答】解：－2－(－4)＝－2＋4＝2．
7. 甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、－15m和－10m，那么最高的地方比最低的地方高__________
【解答】解：甲地最高的，乙地最低
20－(－15)
＝20＋15，
＝35（m）．
8. 已知|x|＝4，|y|＝5且x＞y，则x－y的值为_________
【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝5且x＞y
∴y必小于0，y＝－5．
当x＝4或－4时，均大于y．
所以当x＝4时，y＝－5，代入x－y＝4－(－5)＝9．
当x＝－4时，y＝－5，代入x－y＝(－4)＋5＝1．
故答案为：9或1．
9. 计算
（1）27－28＋(－7)－32 （2）
10. 有一架直升飞机从海拔1000米的高原上起飞，第一次上升了1500米，第二次上升了－1200米，第三次上升了1100米，第四次上升了－1700米，求此时这架飞机离海平面多少米？此过程中这架飞机总共飞行了多少米？
【解答】解：1000＋1500＋(－1200)＋1100＋(－1700)
＝(1000＋1500＋1100)＋(－1200－1700)
＝3600＋(－2900)
＝700（米），
1000＋1500＋1200＋1100＋1700＝6500（米）．
答：此时这架飞机离海平面700米，此过程中这架飞机总共飞行了6500米．
第5讲 有理数的减法（课后作业）
1. 比－2还小－3的数是（ ）
A．1 B．－1 C．－5 D．5
【解答】比－2还小－3的数是：－2－(－3)＝－2＋3＝1，故选：A．
2. 在学习“有理数的加法与减法运算”时，我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习，规定初始位置为0，向东行驶为正，向西行驶为负．先向西行驶3m，在向东行驶lm，这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是( )
A．(－3)－(＋1)＝－4 B．(－3)＋(＋1)＝－2
C．(＋3)＋(－1)＝＋2 D．(＋3)＋(＋1)＝＋4
【解答】解：由题意可得：(－3)＋(＋1)＝－2．
故选：B．
3. 已知|x|＝5，|y|＝2，且|x＋y|＝－x－y，则x－y的值为（ ）
A．±3 B．±3或±7 C．－3或7 D．－3或－7
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5、y＝±2，
又|x＋y|＝－x－y，
∴x＋y＜0，
则x＝－5、y＝2或x＝－5、y＝－2，
所以x－y＝－7或－3，
故选：D．
4. 时代超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为：(500±5)g、(500±10)g、(500±20)g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．10g B．20g C．30g D. 40g
【解答】解：由题意知：任意拿出两袋，最重的是520g，最轻的是480g，
所以质量相差520－480＝40（g）．
故选：D．
5. 以－273℃为基准，并记作0°K，则有－272℃记作1°K，那么100℃应记作( )
A．－173°K B．173°K C．－373°K D．373°K
【解答】解：100－(－273)＝373°K．故选：D
6. 计算：|－2|－3＝_________
【解答】解：|－2|－3＝2－3＝－1．
7. 甲、乙两地的海拔高度分别为20m和－10m，则甲地比乙地高_________m。
【解答】解：20－(－10)＝20＋10＝30
8. 绝对值小于5的所有负整数的和为_________
【解答】解：绝对值小于5的所有负整数为－4，－3，－2，－1，
之和为－4－3－2－1＝－10
9. 比3的相反数小3的数是_________
【解答】解：3的相反数是－3，－3－3＝－6
10. 已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a＋b－c＝_________
【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3
∴a＝±1，b＝±2，c＝±3
∵a＞b＞c
∴a＝－1，b＝－2，c＝－3或a＝1，b＝－2，c＝－3，
则a＋b－c＝2或0
11. 计算
（1） （2）
（3） （4）
12. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4．
求3b＋2a－c的值．
【解答】解：∵a、c在原点的左侧，b在原点的右侧，
∴b＞0，c＜0，a＜0，
∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，
∴a＝－1，b＝2，c＝－4，
∴3b＋2a－c＝6－2＋4＝8．
13. 兴华粮食中转站仓库在9月1日至9月10日的时间内运进、运出粮食情况如下（运进记作“＋”，运出记作“－”）：＋1 050吨，－500吨，＋2 300吨，－80吨，－150吨，－320吨，＋600吨，－360吨，＋500吨，－210吨，在9月1日前仓库内没有粮食．
（1）求9月3日仓库内共有粮食多少吨．
（2）求哪一天仓库内的粮食最多，最多是多少．
（3）若每吨粮食的运费（包括运进、运出）10元，从9月1日到9月10日仓库共需付运费多少元
【解答】解：（1）1050－500＋2300＝2850（吨），
答：9月3日仓库内共有粮食2850吨；
（2）9月9日仓库内的粮食最多，
最多是2850－80－150－320＋600－360＋500＝3040（吨），
答：9月9日仓库内的粮食最多，最多是3040吨；
（3）运进1050＋2300＋600＋500＝4450（吨），
运出|－500－80－150－320－210＝1 620（吨），
10×(4450＋1620)＝10×6070＝60700（元），
答：从9月1日到9月10日仓库共需付运费60700元．
