三角函数最值的十种类型及求解策略

三角函数最值的十种类型及求解策略

石阡民族中学：杨华章 电话:18508567888

三角函数最值问题是高中数学的难点之一，学生求解此类问题通常会感到棘手，对知识缺乏灵活的运用，对试题缺乏有效的转化往往困住了学生的思维，下面就三角函数的最值问题类型及求解策略总结如下：

1、 利用有界性求函数的最值

例1 求函数的最值
解：由
当时，，分母达到最大值2，此时函数取最大值1，即.
当时,,分母达到最大值3,此时函数取最小值,
即.

2、 运用公式求函数最值

例2 求函数的值
解：由公式得
当时，函数取得最大值2，即；当时，函数取最小值-2，即=-2.
注：对于公式的推导此出从略。

3、 根据求函数的最值

例3 求函数的最大值（其中）

解：

当且仅当时，由，得，时，等号成立。
又

4、 根据（为常数）利用换元法求函数最值

例4 已知的最值
解：令
又，两式相加得：
，即：，
有最大值，最小值.

5、 利用函数单调性求函数的最值

例5 当时，求函数的最值
解：
，.


6、 根据条件，求函数最值

例6 当时，求函数的最值
解：


由可知，当时，；对于最小值分两种情况讨论：（1）若时，则当时，
，（2）若，则当
时，.

7、 用配方法求函数最值

例7 当时，求函数的最值
解：
当时，即时，；
当时，即时，.

8、 利用万能公式、判别式法求函数最值

例8 求函数的极大值和极小值
解：令，则
去分母得：是实数，
即，
即.
注意：此题的极值有别于最值，没有最大值和最小值，且极小值大于极大值。

9、 利用反函数求函数最值

例9 求函数的最值
解：由解出

解得


10、 利用拆项法求函数最值

例10、求函数的最小值，其中.
解：，
，当且仅当时，取等号，所以当且仅当时，上式取等号，有最小值3.
注意：此题不能直接运用均值不等式，因为中等号成立的条件是但这是不可能的，因此得到最小值是是错误的结论。