空间向量在解决立体几何问题中的应用

空间向量在解决立体几何问题中的应用
贵州石阡民族中学 杨华章 电话：18508567888 邮编：555100
用空间向量有关知识解决立体几何问题，较常规方法具有可操作性强，演算简洁，类型固定，无需作辅助线，解题过程程序化等优点，特别是“无需作辅助线”这一优点，更是受学生青睐。但很多学生对用空间向量解题的知识缺乏本源上的认识、理解，没有从知识点的联系上进行归纳整理，导致解题失策、失法，甚至错误。下面就几个常见的类型谈谈空间向量的应用：
1、 求异面直线所成角
相关知识：如图一，要求异面直线，我们引入向量，如图二，通过求，由与联系从而得出。根据异面直线所成角及向量夹角的概念，应注意两种情况：（1）当＞0时，=。（2）当＜0时，=。








例1 如图三，已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，
∠DAB=，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，求AC与PB所成的角。
解：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，如图四,以A为坐标原点，
AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0，0，0)
B(0,2,0),C(1,1,0),P(0,0,1).故
所以
由此得AC与PB所成的角为
2、 求异面直线的距离
相关知识:用常规方法求异面直线的距离必须要找异面直线的公垂线,寻找公垂线有时会很困难.而用空间向量的解法如下:如图五,设AB、CD为异面直线，向量则异面直线AB与CD的距离为：
其实，异面直线AB与CD的距离就是向量
上的投影长度，要注意，这里无论是向量、、还
是在上的投影长度都等于.
例2 已知正方体的棱长为1,求直线与AC的距离.
解:如图六,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,则各点的坐标为A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),
,则.
设向量,
由令则
所以,故直线与AC的距离为:

点评：本题用常规方法较麻烦，需要作多条辅助线，而用向量方法按程序化进行计算，凸现了很大的优势。此外，向量在上的投影长度都等于，同学们不妨算一算。
3、 求点到平面的距离
相关知识：如图七，已知平面及外一点P，要求P到的距离，我们先求出的法向量，再在内任取一点A，则P到面的距离为：
（即上的投影长度）
例3 如图八所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是
边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，
M、N分别为AB、SB的中点。求点B到面CMN的距离。
解：如图，取AC中点为O，连接OS、OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥BO.在图中建立空间直角坐标系O-xyz.则各点的坐标为B(0, ,0),C(-2,0,0)M(1,,0),N(0,,).
∴.设为平面CMN的一个法向量,
则 取z=1,则.∴.
故点B到平面CMN的距离.
点评:本题也可求向量在法向量上的投影长度即点B到面CMN的距离,答案是一样的,与平面CMN内点的位置无关.此题用其他方法较难.
4、 求直线与平面所成的角
相关知识：要求直线与某平面所成的角，通过求该直线的方向向量与这个平面法向量所成的角进而通过转化求得。同学们要注意理解下列两种情况：








设直线AB与平面所成的角为,面的法向量为,向量与的夹角为,（1）如图九，则=；（2）如图十，则=.不难总结为:当＞0时, =;当＜0时, =.
例4 如图十一,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,
PD⊥底面ABCD,AD=PD, AB=BC,E、F分别
为CD、PB的中点，求AC与平面AEF所成角的大小.
解:以D为坐标原点,DA为长度单位,建立如图十二
所示的空间直角坐标系D-xyz,AD=1,则A(0,1,0),
C(,0,0),E(,0,0),B(,1,0),P(0,0,1).
由于F为PB中点,故F点的坐标为(,,),所以,
(,-1,O),,
(-,-1,1),,
因为且
(-)×()+(-1)×(-)+1×=0,因而,面AEF的法向量为.根据＜0,
所以AC与平面AEF所成的角
5、 求二面角

相关知识:常规方法求二面角的大小,必须要作出二面角的平面角,构造一个三角形,通过解三角形从而求出二面角的大小.这种方法需要作多条辅助线,并且要对二面角的平面角给以证明,还涉及到解三角形,综合性较强,对学生的要求高,此知识点一直为学生的难点.而空间向量知识为解决此问题开辟了新的思路,提供了可操作性极强的程序化方法.同学们要认真理解下图的两种情况:









如上图，设面的法向量为，面的法向量为，面与面所成的二面角为，与的夹角为，不难得出图十三中的情况为,图十四中的情况为.其中.而具体是那种情况,要视二面角究竟是锐角、直角还是钝角及的符号综合考虑予以确定.
例5 如图十五，直三棱柱中，
侧棱
侧面的两条对角线交点为D，
求面与面所成二面角的大小。
解：如图十六，以C为原点，CB为x轴，为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则各点的坐标为C(0,0,0),B(,0,0),,又D为中点,所以D的坐标为(),故
设=为面的法向量,为面的法向量,则有:
.,
令=2，则令，则∴
∴从图形知，所求二面角为钝角，故
面与面所成二面角的大小为或
总之，用空间向量解决立体几何问题为我们开辟了广阔的思路，避免了在空间图形中作多条辅助线的繁琐，特别是空间想象能力较差的同学，更要注意深刻理解和灵活运用上述几种模式化、程序化方法。此外，空间向量还可解决空间中如下几类问题：(1)要证两直线的垂直、平行，只需证明两直线的方向向量数量积为零、平行;(2)要证直线与平面垂直,可证明直线的方向向量与平面的法向量平行;(3)要证明直线与平面平行,可证明直线的方向向量与平面的法向量数量积为零;(4)要证明两个平面平行,只需证明这两个平面的法向量平行;(5)要证明两个平面垂直,可证明这两个平面的法向量的数量积为零.由于这几种类型较简单,这里就不再举例说明.但用空间向量解决立体几何问题的关键是能够建立空间直角坐标系,会熟练求出平面的法向量.如果不能建立坐标系,则考虑用常规方法.同学们在平时学习中,应注意常规方法与向量方法的并用,细心领会各种方法的优劣,尽量作到“一题两法”，再通过大量的训练,在处理空间问题中才能得心应手,立于不败.


二0一五年五月二十八日

图三

A

C

D

B

P

图一



D

C

B

A









图二

z

x

y

图四

A

C

D

B

P





D

C

B

A

图五

z

y

x









D

C

B

A

图六

图七







P

A

图八

o

z

y

x

N

C

M

B

S

A











图十











图九









图十一

F

E

P

C

D

B

A

图十二

z

y

x

F

E

P

C

D

B

A


图十三
















图十四













图十五

D







C

B

A

图十六

y

x

z

D







C

B

A