人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质选择填空基础练习（含答案）

《12.3 角的平分线的性质》选择、填空练习
时间：45分钟 总分：60

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）


A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）

A. 10
B. 7
C. 5
D. 4



如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（　　）
A. B. 2 C. 3 D.
如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　）
A. 2
B.
C.
D.




如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD的长是（　　）
?


A. 1 B. C. D. 2
如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　）
A. BD：CD
B. AD：CD
C. BC：AD
D. BC：AC



如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2=AF2+DE2．
其中正确的是（　　）


A. B. C. D.
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

?①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.



如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）
A. B. C. D.
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（　　）

A.
B.
C.
D.





二、填空题（本大题共12小题，共24分）
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是______．





在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是______．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是______．




如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为______．





如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是______．

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是______．






如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为______．

如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=______°．






在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．






已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为______．
如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为______cm．





如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是______．








答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：如图，

过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
故选：A．
过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
解：作EF⊥BC于F，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE=BC?EF=×5×2=5，
故选：C．
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选：C．
根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
4.【答案】C
【解析】
解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE=CP=1，
∴PE==，
∴OP=2PE=2，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM=OP=．
故选：C．
由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】C
【解析】

?解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE=CD，
由勾股定理得，AB===5，
S△ABC=AB?DE+AC?CD=AC?BC，
即×5?CD+×3?CD=×3×4，
解得CD=．
故选C．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，利用勾股定理列式求出AB，再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：如图

过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴=，
又∵AD是角平分线，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴=，
∴AB：AC=BD：CD．
故选：A．
先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．
此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．
7.【答案】D
【解析】
解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；

∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE2+DF2=AF2+DE2，
∴④正确；

在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；

∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴③正确．
综上，可得
正确的是：②③④．
故选：D．
①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．
③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．
④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE2+DF2=AF2+DE2成立．
（1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．
8.【答案】D
【解析】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD．
∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD，
∴S△DAC：S△ABC=AC?AD：AC?AD=1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D．
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
9.【答案】A
【解析】
解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正确；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S△BFD=BF?DF，S△CDE=CE?DE，DF=DE，
∴；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故错误．
故选A．
由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③．
此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10.【答案】A
【解析】
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故选：A．
过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】
解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，
故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，
在△ABO中，
∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，
故B选项错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=（180°-60°）=60°，
∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，
故C选项正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴D到AB、AC、BC的距离相等，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=（180°-70°）=55°，
故D选项正确．
故选：B．
根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．
本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】
解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC===5，
∴BC边上的高=3×4÷5=，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC=×3h+×4h=×5×，
解得h=，
S△ABD=×3×=BD?，
解得BD=．
故选A．
根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°-30°-90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴BC=AB=3，
∴CD=BC?tan30°=3×=，
∵BD是∠ABC的平分线，
又∵角平线上点到角两边距离相等，
∴点D到AB的距离=CD=，
故答案为：．
求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
14.【答案】4：3
【解析】
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】
解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】
解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF=PE=3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
作PF⊥AD于D，如图，根据菱形的性质得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质得PF=PE=3．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了菱形的性质．
17.【答案】15
【解析】
解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，
故答案为：15．
过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
18.【答案】3
【解析】
解：过点D作DE⊥BC于E，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，
即AD⊥BA，
∴DE=AD，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD==3，
∴DE=AD=3，
∴点D到BC的距离是3．
故答案为：3．
首先过点D作DE⊥BC于E，由在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=AD，又由勾股定理求得AD的长，继而求得答案．
此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
19.【答案】15
【解析】
解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为×3×10=15．
故答案是：15．
要求△ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．
20.【答案】35
【解析】
解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD，
∴OQ是∠AOB的平分线，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ=∠A0B=×70°=35°．
故答案为：35．
根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线，然后根据角平分线的定义解答即可．
本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线是解题的关键．
21.【答案】3
【解析】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC?CD+AB?DE=AC?BC，
即×6?CD+×10?CD=×6×8，
解得CD=3．
故答案为：3．
过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
22.【答案】10
【解析】
解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=10．
故答案为：10．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
23.【答案】4
【解析】
解：∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，
∴点P到BC的距离=PE=4cm．
故答案为4．
BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．
本题考查了角平分线的性质．由已知能够注意到P到BC的距离即为PE长是解决的关键．
24.【答案】4
【解析】
解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=?BC×DF=×4×2=4
故答案为：4．
根据角平分线的性质定理可得DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
25.【答案】4
【解析】
解：∵在Rt△ACD中，∠C=90°，CD=2，AD=4，
∴∠CAD=30°，
∴由勾股定理得：AC==2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，
故答案为：4．
先求出∠CAD=30°，求出∠BAC=60°，∠B=30°，根据勾股定理求出AC，再求出AB=2AC，代入求出即可．
本题考查了含30度角的直角三角形性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC长和求出∠B=30°，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

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