与三角形有关的角
1．填空：
(1)三角形的内角和性质是_______________________________________________.
(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：
已知：△ABC，
求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．
证明：过A点作______∥______，
则∠EAB＝______，∠FAC＝______．
(___________，___________)
∵∠EAF是平角，
∴∠EAB＋______＋______＝180°．(
)
∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．(
)
即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．
2．填空：
(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．
因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．
(2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质
如图，∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD与∠ACB互为______，
即∠ACD＝180°－∠ACB．①
又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，
∴∠A＋∠B＝______．②
由①、②，得∠ACD＝______＋______．
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：
三角形的一个外角等于____________________________________________________.
三角形的一个外角大于____________________________________________________.
3．(1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，
求：∠1＋∠2＋∠3．
(2)结论：三角形的外角和等于______．
4．已知：如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．
5．已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．
6．依据题设，写出结论，想一想，为什么
已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：
(1)∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；
(2)若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．
参考答案
1．(1)三角形的内角和等于180°，(2)性质、平角，说理过程(略)
2．略．
3．∠1＋∠2＋∠3＝360°，360°．
4．∠B＋∠C＝∠E＋∠F．(此图中的结论为常用结论)
5．30°
6．(1)90°，余角，(2)∠A，∠B
1与三角形有关的角
1．填空：
(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．
(2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．
(3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．
(4)如图，直线a∥b，则∠A＝______度．
(5)已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．
(6)已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．
(7)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______
(8)在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．
2．已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．
3．已知：如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．
(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系 说明理由．
4．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．
(1)若∠A＝46°，求∠BOC；
(2)若∠A＝n°，求∠BOC；
(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．
5．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．
(1)若∠A＝46°，求∠BOC；
(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．
6．类比第4、5题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．
7．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2
求∠CAB的度数．
8．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．
9．（1）如图①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①中△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2_+___∠B+∠C（填“>”“<”“＝”），当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝________．
（3）图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x°+y°＝360°－（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°－________＝________，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为________．
10．如图①，线段AB与CD相交于点O，连接AD，CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P，并且AP交CD于点M，CP交AB于点N，试解答下列问题：
（1）在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
（2）在图②中，若∠D＝42°，∠B＝38°，试求∠P的度数；
（3）如果图②中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试探究∠P，∠B，∠D之间是否存在确定的数量关系，并说明理由．
11．如图1所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．
（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系．
（2）如图2所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在（1）中探索得到的结论是否还成立？并说明理由.
12．如图所示，在△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，则∠A1与∠A有怎样的数量关系？继续作∠A2BC的平分线与∠A2CD的平分线可得∠A，如此下去可得∠A4，…，∠An，那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系？并求出当∠A＝64°时，∠A的度数.
参考答案
1．(1)60°．(2)36°，54°，90°．(3)5∶4∶3．(4)39°．(5)110°．
(6)115°．(7)36°．(8)30°，45°，105°．
2．35°．
3．(1)10°；(2)
4．(1)113°，(2)
(3)116°．
5．(1)23°．(2)
证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACE，
∴
∴
6．
7．36°．
8．39°．
由本练习中第4题结论可知：
∠C＋∠CDM＝∠M＋∠MBC，
即
同理，
由①、②得
因此∠C＝39°．
9．（1）解：．
理由如下：在△ADE和△ABC中，
由三角形内角和定理，得，，所以．
（2）＝
280°
解析
由折叠知识及（1）得．当时，，所以．
（3）300°
60°
解析
由（2）得当时，，所以，所以，猜想．
10．思路建立
（1）观察图形根据对顶角相等即可得出结论．（2）要求∠P的度数，题中告诉∠D与∠B的度数，则需将∠P与∠D，∠B联系起来，结合（1）中结论，可得，，再根据角平分线的性质进行整理转化，即可得到，则问题得
解．（3）借助（2）的求解过程可解．
解：（1）．
（详解：∵，，而，∴．∴）
（2）根据（1）可知，，．
∵AP，CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线’
∴，，∴，
而，∴，
∴．
（3）．理由同（2）．
11．思路建立
要探索∠DEF与∠B，∠C之间的大小关系，∠DEF与∠B，∠不在一个三角形中，但∠B，∠在一个三角形中，故考虑由三角形内角和定理及外廣性质，通过∠1（或∠2），∠EDF“搭桥解决”．
解：（1）∵，∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，∴．
∴．
（2）当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，（1）中探索所得的结论仍成立，理由同（1）．
12．思路建立
本题可利用外角的性质和角平分线的性康，使∠A，∠ABC与，∠ABC建立起等量关系，从而确定∠A与的数量关系，利用这一规律求出的度数．
解：．
理由：∵平分∠ABC，∴．
∵平分∠ACD，∴．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
在中，平分，平分，
∴，…，．
当时，．
1
