沪科版数学八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.1 三角形中的边角关系
第3课时 三角形中几条重要线段
基础达标 提升训练
1. 以下说法正确的是( )
A. 钝角三角形只有一条角平分线
B. 三角形的三条角平分线一定在三角形外部交于一点
C. 三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D. 三角形的三条角平分线可能相交于外部一点
2. 三角形的三条高在( )
A. 三角形的内部 B. 三角形的外部
C. 三角形的边上 D. 三角形的内部、外部或边上
3. 下列说法中：①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线，高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线.正确的是( )
A. ③④ B. ③ C. ②③ D. ①④
4. 下列叙述中错误的一项是( )
A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段
B. 三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部
C. 只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形
D. 三角形的三条角平分线都在三角形内部
5. 如图，AE是△ABC的中线，EC=6，DE=2，则BD的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
第5题 第6题
6. 如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是( )
A. 76° B. 81° C. 92° D. 104°
7. 如图，在△ABC中，∠ABC=62°，BD是角平分线，CE是高，BD与CE相交于点O，则∠BOC的度数是( )
A. 118° B. 119° C. 120° D. 121°
第7题 第8题
8. 如图所示，(1)在△ABC中，BC边上的高是 .?
(2)在△AEC中，AE边上的高是 .?
(3)在△FEC中，EC边上的高是 .?
(4)若AB=CD=2 cm，AE=3 cm，则S△AEC= cm2，CE= cm.
9. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，∠ADB= 度.?
第9题 第10题
10. 如图，已知AD，AE分别为△ABC的中线、高线，已知BC=6 cm，AE=4 cm，则S△ABC= ，S△ABD= .?
11. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=15，BD，CE分别是△ABC的高，且BD=8，则CE的长为 .?
第11题 第12题
12. 如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC=9 cm，BC边上中线AD=6 cm，△ABD周长为19 cm，则AB= .?
13. 作出如图所示的钝角△ABC的三条高.
14. 如图，CD是△ABC的中线，AC=4.3 cm，BC=2.5 cm，问：△ADC和△BCD的周长的差是多少?
15. 如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4 cm2，求阴影部分的面积.
16. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB上的中线CD把三角形的周长分为12 cm和15 cm两部分，求三角形各边的长.
17. 如图所示，已知在△ABC中，∠A=60°，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D.求∠BDC的度数.
?拓展探究 综合训练
18. 如图，△ABC是某商业地块示意图，开发商现决定把这块土地平均分为四个商业厂区进行开发，请你帮他们分一分，提供两种分法.要求：画出图形，并简要说明分法.
第一种分法 第二种分法
参考答案
1. C 【解析】任何三角形都有三条角平分线，且一定交于三角形内部一点.
2. D 【解析】三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确.
3. B 【解析】任何一个三角形都有三条高，中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.
4. C 【解析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质只有一条高在三角形内部的三角形可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，选项C错误；其余选项正确，故选C.
5. C 【解析】因为AE是△ABC的中线，所以BE=EC=6. 又因为DE=2，所以BD=BE－DE=6－2=4.
6. A 【解析】因为△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，所以∠ABC=60°，因为BD为∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD=30°，所以∠BDC=180°－∠CBD－∠C=76°，故选A.
7. D 【解析】因为BD是角平分线，∠ABC=62°，所以∠ABD=31°，因为CE是高，所以∠BEC=90°，
所以∠BOE=180°－∠ABD－∠BEC=59°，所以∠BOC=180°－∠BOE=121°，故选D.
8. (1)AB (2)CD (3)FE (4)3 3 【解析】(1)在△ABC中，BC边上的高是AB. (2)在△AEC中，AE边上的高是CD. (3)在△FEC中，EC边上的高是FE. (4)因为AE=3cm，CD=2cm，所以S△AEC=AE·CD=3cm2，因为S△AEC=AB·CE=3cm2，所以CE=3cm.
9. 101 【解析】因为在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，所以∠ABC=180°－50°－72°=58°，因为BD是△ABC的一条角平分线，所以∠ABD=29°，所以∠ADB=180°－50°－29°=101°.
10. 12 cm2 6 cm2 【解析】S△ABC=BC×AE=×6×4=12 cm2，因为AD是△ABC的中线，所以BD=BC=×6=3 cm. 所以S△ABD=BD·AE=×3×4=6 cm2.
11. 12 【解析】AB·CE=AC·BD，把AB=10，AC=15，BD=8代入，得10CE=15×8，所以CE=12.
12. 8 cm 【解析】因为△ABC的周长为27 cm，AC=9 cm，所以AB＋BC=27－9=18(cm)，因为△ABD的周长为19 cm，AD=6 cm，所以AB＋BD=19－6=13(cm). 因为AD是△ABC中BC边上的中线，所以BD=BC，即解得AB=8 cm.
13. 解：如图所示，线段AD，BF，CE即为所求作的高.
14. 解：因为CD是△ACB的中线，所以AD=BD. 又因为△ACD的周长为AC＋CD＋AD，△BCD的周长为BD＋BC＋CD，所以△ACD与△BCD的周长的差是AC＋CD＋AD－(BD＋BC＋CD)=AC＋CD＋AD－BD－BC－CD=AC－BC. 又因为AC=4.3 cm，BC=2.5 cm，所以AC－BC=4.3－2.5=1.8(cm)，所以△ACD与△BCD的周长的差是1.8 cm.
15. 解：因为D是BC的中点，S△ABC=4 cm2，所以S△ABD=S△ACD=2 cm2，因为E是AD的中点，所以S△BDE=S△ABD=1 cm2，S△CDE=S△ACD=1 cm2，所以S△BCE=S△BDE＋S△CDE=2 cm2，因为F是CE的中点，
所以S△BEF=S△BCE=1 cm2，即阴影部分的面积为1 cm2.
16. 解：设AB=AC=2x cm，BC=y cm，(1)或(2)解方程组(1)得解方程组(2)得所以△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=7 cm或AB=AC=8 cm，BC=11 cm.
17. 解：在△BDC中，∠BDC=180°－(∠DBC＋∠DCB). 因为∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，所以∠DBC＋∠DCB=(∠ABC＋∠ACB). 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=180°－60°=120°，所以∠DBC＋∠DCB=×120°=60°，所以∠BDC=180°－(∠DBC＋∠DCB)=180°－60°=120°.
