沪科版数学八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
第3课时 三角形的外角
基础达标 提升训练
1. 下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( )
A B C D
2. 如图所示，平面上直线a，b分别过线段OK的端点，则a，b相交所成的锐角是( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 80°
第2题 第3题
3. 如图，∠A=30°，∠B=45°，∠C=40°，则∠DFE的度数是( )
A. 75° B. 100° C. 115° D. 120°
4. 如图所示，∠A，∠DOE，∠BEC的大小关系是( )
A. ∠A>∠DOE>∠BEC
B. ∠DOE>∠A>∠BEC
C. ∠BEC>∠A>∠DOE
D. ∠DOE>∠BEC>∠A
5. 下列说法中正确的是( )
A. 三角形的一个外角等于两个内角的和
B. 三角形的一个外角大于任一个内角
C. 三角形的外角中一定有钝角
D. 三角形的所有外角可以都是锐角
6. 如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为( )
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
第6题 第7题
7. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A的度数是( )
A. 35° B. 95° C. 85° D. 75°
8. 如图所示，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A的度数是( )
A. 360° B. 300° C. 180° D. 240°
第8题 第10题
9. △ABC的三个外角的度数之比为2∶3∶4，此三角形最小的内角等于 .?
10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= .?
11. 如图所示，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是 .?
第11题 第12题
12. 如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE= .?
13. 如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点.
求证：∠DEC>∠ABC.
14. 如图所示是一个五角星的图案，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
15. 一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°，检查工人量得∠BDC=130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学知识说出其中的道理吗?
16. 如图所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG，求∠F的度数.
17. 如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC.
(1)图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB，BE于D，F两点，求证：∠EFD=∠ADC.
(2)图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB，BE的延长线于D，F两点，试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?
图1 图2
?拓展探究 综合训练
18. (1)如图(1)，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分线，试探究∠BPC与∠A的关系.
(2)如图(2)，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠E与∠A的关系.
图(1) 图(2)
参考答案
1. D
2. B 【解析】a，b相交所成的锐角=100°－70°=30°. 故选B.
3. C 【解析】∵∠BEF是△AEC的一个外角，∴∠BEF=∠A＋∠C=30°＋40°=70°，∵∠DFE是△BEF的一个外角，∴∠DFE=∠B＋∠BEF=70°＋45°=115°，故选C.
4. D 【解析】∵三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，∴∠A<∠BEC，∠DOE>∠BEC，∴∠DOE>∠BEC>∠A.故选D.
5. C 【解析】∵三角形的内角中至少有两个锐角，∴三角形的外角中至少有两个钝角.故选C.
6. B 【解析】假设AB与EC交于F点，∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C. ∵∠C=125°，∴∠EFB=125°.又∵∠EFB=∠A＋∠E，∠A=45°，∴∠E=125°－45°=80°.故选B.
7. C 【解析】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠B＋∠A，∴∠A=∠ACD－∠B=120°－35°=85°，故选C.
8. C 【解析】∵∠CGF=∠B＋∠C=180°－∠1，∠DFG=∠E＋∠D=180°－∠2，∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E=360°－∠1－∠2，∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A=360°－(∠1＋∠2＋∠A)=360°－180°=180°，故选C.
9. 20° 【解析】设三个外角度数分别为2k，3k，4k，由题意得2k＋3k＋4k=360°，解得k=40°，∴三个外角度数分别为80°，120°，160°，∴△ABC最小的内角为180°－160°=20°.
10. 101° 【解析】∵DE∥BC，∴∠B=∠1=57°，∠2=∠A＋∠B=44°＋57°=101°.
11. ∠1>∠2>∠3 【解析】由三角形外角的性质可得∠2>∠3，∠1>∠2，∴∠1>∠2>∠3.
12. 132° 【解析】∵∠B=66°，∠C=54°，∴∠BAC=180°－66°－54°=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=∠B＋∠BAD=66°＋30°=96°，∵DE平分∠ADC交AC于E，∴∠CDE=∠ADC=48°，∴∠BDE=180°－48°=132°.
13. 证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAD＋∠DAC=90°. 又∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠ABC＋∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC. 又∵∠DEC是△AEC的外角，∴∠DEC>∠DAC，∴∠DEC>∠ABC.
14. 解：设BD，CE交于M，AD，CE交于N，∴∠A＋∠C=∠MND，∠B＋∠E=∠DMN，∵∠MND＋∠DMN＋∠D=180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°.
15. 解：如图，连接AD并延长至E. ∵∠1=∠C＋∠CAD=20°＋∠CAD，∠2=∠B＋∠BAD=21°＋∠BAD，∴∠1＋∠2=20°＋21°＋∠CAD＋∠BAD=41°＋90°=131°. 即∠BDC=131°≠130°，∴该零件不合格.
16. 解：在△ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°，∴∠ACB=80°. ∵∠DCE=∠ACB=80°，∠DCE是△ACD的一个外角，∴∠DCE=∠A＋∠ADC，即80°=10°＋∠ADC. ∴∠ADC=70°，∠EDF=∠ADC=70°. ∵∠EDF是△ADE的一个外角，∴∠EDF=∠A＋∠AED，即70°=10°＋∠AED. ∴∠AED=60°，∠FEG=∠AED=60°. ∵∠FEG是△AEF的一个外角，∴∠FEG=∠A＋∠F. ∴∠F=∠FEG－∠A=60°－10°=50°.
17. 解：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠DAC＋∠AEB，∠ADC=∠ABC＋∠BAD，∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.
(2)(1)中结论仍成立. 理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD，∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD，∵∠EFD=∠AEB－∠FAE，∠ADC=∠ABC－∠BAD，∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.
18. 解：(1)∵BP，CP分别平分∠DBC，∠ECB，∴∠PCB=∠ECB=(∠A＋∠ABC)，∠PBC=∠DBC=(∠A＋∠ACB). ∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－(∠A＋∠ACB)－(∠A＋∠ABC)=180°－(∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC)=180°－(180°＋∠A)=90°－∠A.
