1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用

第2课时 补集及综合应用
【温故知新】
一、与集合有关的符号
1.并集：
交集：
2.性质
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，
数轴法和Venn图(图示法)．
4.注意对字母要进行讨论 .
3.常用方法：
①A∪A＝ ；②A∪?＝ ；③A∪B=B? .
A
A
①A∩A＝ ；②A ∩ ?＝ ；③A ∩ B＝A ? .
A
?
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
二、与集合有关的知识
【学前诊断】
问题1：一共有几只小鸟?飞的有几只？没飞的有几只？
问题2： 集合S是高一（1）班全体同学的集合，集合A是班上所有参加学校运动会同学的集合，集合B是班上所有没有参加学校运动会同学的集合。
集合B可以认为是集合S中除去集合A之后余下来的集合。
理解全集和补集的概念.（重点）
掌握有关补集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用Venn图表示集合的关系和运算.
3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关系的研究．（难点）
思考1:方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？
{2}
思考2:不等式0{2，3，4}
探究点1 全集
思考3：在不同范围内研究同一个问题，可能有
不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围
所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等.那么全集
的含义如何呢？
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中
涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
（universe set），通常记作U.
全集
全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.
全集一定包含任何元素吗？
【提示】
全集仅包含我们研究问题所涉及的集合的全部元素，而非任何元素.
【特别提醒】
观察下列三个集合： S＝{高一年级的同学} A＝{高一年级参加军训的同学}
B＝{高一年级没有参加军训的同学}
这三个集合之间有何关系？
显然，由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B．
探究点2 补集
如何在全集S中研究相关集合间的关系呢？
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所
有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作 ，
可用Venn图表示为
文字语言
符号语言
图形语言
表示全集和补集的三种数学语言互译.
文字语言
符号语言
图形语言
【提升总结】
补集符号?∪A有三层含义：
（1）A是U的一个子集，即A U；
（2）?∪A表示一个集合，且?∪A U；
（3）?∪A是U中所有不属于A的元素构成的集合.
【特别提醒】
判断:(1)补集既是集合间的一种关系，同时也是集
合间的一种运算. ( )
(2)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，
集合A其实是给定的条件. ( )
√
√
【解析】因为M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，
所以M∪N={1，3，5，6，7}，
因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以 U（M∪N）={2，4，8}.
已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，
求 U（M∪N）.
【即时训练】
例1 (1) 设U={x|x是小于9的正整数},A={1，2，3}，
B={3，4，5，6}，求
解：（1）根据题意可知，
(2)设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，
B={x|x是钝角三角形}，求 .
（2）根据三角形的分类可知
｛x∣x是直角三角形｝.
所以
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 =( )
A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
C
【解析】U中的元素去掉1,2,4得 ，故选C.
【变式练习】
例2 已知全集U=R，集合 　 ， , 求 .
解：
设全集U＝R，在数轴上表示出集合A＝{x|－2【变式练习】
解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
?UA={x|x≤－2或x≥1}
补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．
另外全集是一个相对概念．如果全集换成其他集合时，在记号?UA中的U要相应变换．
从而我们会注意到补集应该有许多运算性质，下面我们逐一探求.
【提升总结】
若全集为U，A?U，则:
探究点3 补集的运算性质（1）
补集的运算性质（2）
若全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，
N＝{5,6,7}，则?U(M∪N)＝ （ ） A．{5,7}　　　　 B．{2,4}
C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}
【解析】借助于Venn图，如图所示



∵M∪N＝{1,3,5,6,7}，∴?U(M∪N)＝{2,4,8}．
　C
【即时训练】
例3 已知全集U={所有不大于30的质数}，A，B
都是U的子集，若 ，

你能求出集合A，B吗？
解：
5,13,23
2，
17
11,19，29
3,7
Venn图的灵活运用
1，6
2，3
0，5
4 , 7
解：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.
【变式练习】
1. 要准确理解和把握它们的定义，直接通过定义的理
解来解决．
2．要使用好韦恩(Venn)图，特别是进行有限集合的这
种运算的时候，如对集合A、B而言，有下图．




3．要使用好数轴这个工具，特别是关于数集的交、
并、补运算，利用数轴可以直观地写出解集．
【总结提升】
3. 已知集合A，B,全集U={1，2，3，4}，且?U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩?UB=（　）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．?
【解析】因为全集U={1，2，3，4}，且?U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，
B={1，2}，所以?UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或
{3，2}或{1，2，3}．
所以A∩?UB={3}．
A
4.设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，
B ?UA，求实数a的取值范围．
解：如图所示，B＝{x|x<－a}，
∵?UA＝{x|x≤1}，要使B ?UA，
∴－a≤1，即a≥－1.
5.设 ,求 ,
解析：

全集
和补
集的
概念.
并集运算
交集运算
补集运算


补
集
补集的性质
回顾本节课你有什么收获？
综合应用
数轴
Venn图
　　只要时刻保持一份自信、一颗不息的奋斗雄心，生命的硕果就会如影相随。