§12.2 三角形全等的判定
（第1课时SSS）
1．构建三角形全等条件的探索思路，体会研究几何问题的方法．
2．探索并理解“边边边”判定方法，会用“边边边”判定方法证明三角形全等．
3．会用尺规作一个角等于已知角，了解作图的道理．
A
B
C
1.什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2.全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
３.已知 ，试找出其中相等的边与角
≌
≌
忆一忆
反过来成立吗？
在△ABC≌△A′B′C′中，
⑴ AB=A′B′ ⑵ BC=B′C′ ⑶ CA=C′A′
⑷ ∠A=∠A′ ⑸ ∠B=∠B′ ⑹ ∠C=∠C′
六个条件，可得到什么结论？
△ABC≌△A′B′C′
即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等.
两个三角形全等是不是一定要具备这六个条件呢？满足上面六个条件中的一部分是否就能保证两个三角形全等呢？
有一条边相等的两个三角形
不一定全等
探究1：一个条件可以吗？
2. 有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60o
300
不一定全等
有两个角对应相等的两个三角形
3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形
2. 有两条边对应相等的两个三角形
4cm
6cm
不一定全等
300
60o
4cm
6cm
不一定全等
30o
6cm
结论：
两个条件可以吗？
探究2：三个条件呢？
如果给出三个条件画三角形，有哪几种可能的情况？
1.三个角.
2.三条边.
3.两边一角.
4.两角一边.
结论:三个内角对应相等的三角形
不一定全等.
1.有三个角对应相等的两个三角形
60o
300
300
60o
90o
90o
作法：
1.画线段B′C′=BC.
2.分别以B′,C′为圆心.BA, CA为半径画弧.两弧交于点A′.
3.连接线段A′B′，A′C′.
B′
C′
A′
2.三边相等的两个三角形会全等吗？
任意画一个△ABC.再画一个△A′B′C′.使A′B′=AB.
B′C′=BC.C′A′=CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
三边对应相等的两个三角形全等.
(简写成“边边边”或“SSS”)
如何用符号语言来表达呢?
∴∠A=∠A′∠B=∠B′∠C=∠C′
AB =A′B′
AC =A′C′
BC =B′C′
在△ABC和△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′
注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理.
∴ △ABC △ADC（SSS）
例1 已知：如图，AB=AD，BC=CD，
求证：△ABC≌ △ADC
A
B
C
D
AC
AC ( )
≌
AB=AD ( )
BC=DC ( )
证明：在△ABC和△ADC中
=
已知
已知
公共边
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
分析：要证明△ ABC≌ △ ADC，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。
归纳：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
证明的书写步骤：
例1 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，
AD是连接点A与BC中点D的支架.
求证： △ABD≌△ACD.
A
B
C
D
A
B
C
D
.
CD
BD
BC
D
＝
的中点，
是
证明：
\
Q
ACD
ABD
中，
和
在
D
D
AD
AD
CD
BD
AC
AB
（公共边）
＝
（已证）
＝
(已知)
＝
≌
.
SSS
ACD
ABD
）
（
D
D
\
(1)
(2)∠BAD = ∠CAD.
（2）由（1）得△ABD≌△ACD ，
∴ ∠BAD= ∠CAD.
（全等三角形对应角相等）
O′
D′
B′
C′
A′
O
D
B
C
A
用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：
1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D.
2.画一条射线O′A′.以点O′为圆心OC长为半径画弧.交O′A′于点C′.
3.以点C′为圆心.CD长为半径画弧.与第2步中所画的弧交于点D′.
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.
工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合. 过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？
O
M
A
B
N
C
≌
（全等三角形对应角相等）
（已知）
（已知）
（公共边）
证明：∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED， 即BE=CD
C
A
B
D
E
在AEB和ADC中，
AB=AC（已知）
AE=AD（已知）
BE=CD（已证）
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ADC.
C
B
D
A
F
E
D
B
解：要证明△ABC ≌△ FDE，
还应该有AB=DF这个条件
∵AD=FB
∴ AD+DB=FB+DB
即 AB=FD
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明△ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
练习1：如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
C
B
A
解：有三组。
在△ABH和△ACH中,
∵AB=AC，BH=CH，AH=AH,
∴△ABH≌△ACH（SSS）；
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD,
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△DBH和△DCH中
∵BD=CD，BH=CH，DH=DH,
∴△DBH≌△DCH（SSS）.
（2）如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件 .
BC
BC
△DCB
BF=DC
或 BD=FC
A
B
C
D
练习2
解： △ABC≌△DCB
理由如下：
AB = DC
AC = DB
=
△ABC≌ ( )
SSS
（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
A
E
B D F C
练习3、如图，在四边形ABCD中, AB=CD,
AD=CB, 求证：∠ A= ∠ C.
D
A
B
C
证明：在△ABD和△CDB中
AB=CD
AD=CB
BD=DB
∴△ABD≌△CDB（SSS）
（已知）
（已知）
（公共边）
∴ ∠ A=∠C （全等三角形的对应角相等）
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
解：
①∵E、F分别是AB，CD的中点（ ）
又∵AB=CD
∴AE=CF
在△ADE与△CBF中
DE=
=
∴△ADE≌△CBF ( )
∴AE= AB CF= CD（ ）
1
2
1
2
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.
①△ADE≌△CBF
②∠A=∠C
线段中点的定义
BF
AD
AE
CF
SSS
△ADE≌△CBF
全等三角形对应角相等
已知
A
D
B
C
F
E
CB
② ∵
∴ ∠A=∠C ( )
=
小 结
2. 三边对应相等的两个三角形全等
（简写成“边边边” 或“SSS”）；
1. 知道三角形三条边的长度怎样画三角形；
3. 初步学会理解证明的思路，
应用“边边边”证明两个三角形全等.
好好学习
天天向上
§12.2 三角形全等的判定
（第2课时SAS）
1．理解判定三角形全等的“边角边”条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
三边对应相等的两个三角形全等
（可以简写为“边边边”或“SSS”）.
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
AB=DE
BC=EF
CA=FD
用符号语言表达为：
三角形全等判定方法1
忆一忆
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:
SSS
不能
?
1.三个角.
2.三条边.
3.两边一角.
4.两角一边.
A
B
C
A′
D
E
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
（1）画∠DA′E =∠A；
（2）在射线A′D上截取A′B′=AB，在射线 A′E上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′．
B′
C′
问题 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，C′A′=CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′C′中，
归纳概括“SAS”判定方法:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）．
AB = A′B′
∠A =∠A′
AC =A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
A
B
C
A′
B′
C′
1.下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由．
甲
8 cm
9 cm
丙
8 cm
9 cm
8 cm
9 cm
乙
30°
30°
30°
图甲与图丙全等，依据就是“SAS”，而图乙中30°的角不是已知两边的夹角，所以不与另外两个三角形全等．
试一试
A
B
C
D
O
2.如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD.
求证:△AOB≌△COD
证明:
在△AOB和△COD中
OA=OC
OB=OD
∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD(SAS )
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．
某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一
块去，能试着说明理由吗？
AC = DC（已知），
∠1 =∠2 （对顶角相等），
BC =EC（已知） ，
证明：在△ABC 和△DEC 中，
A
B
C
D
E
1
2
∴ △ABC ≌△DEC（SAS）．
∴ AB =DE
（全等三角形的对应边相等）．
例1 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
A
B
C
D
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD
∠CAB=∠DBA
AB=BA
∴△ABC≌△BAD（SAS）
(已知)
(已知)
(公共边)
∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
可以看出，因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常通过证明这两个三角形全等来解决。
例2. 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断BC=AD吗？
A
D
C
B
做一做
1、如图，两车从路段AB的一端A出发，分别向东，向西行进相同的距离，到达C、D两地，此时C、D到B的距离相等吗？为什么？
证明:在△ABC与△ABD中
AB=AB
(公共边)
∠ BAC= ∠ BAD=90°
AC=AD
(已知)
∴△ABC≌△ABD（SAS）
∴BC=BD (全等三角形的对应边相等）
A
D
C
B
F
E
做一做
2、如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.
求证：∠A=∠D
如图，在△ABC 和△ABD 中.
AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，
但△ABC 和△ABD 不全等．
A
B
C
D
两边一角分别相等包括“两边夹角”和 “两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA” 的条件能判定两个三角形全等吗？
把一长一短的两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来.
有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
知识梳理:
A
B
D
A
B
C
SSA不能判定全等
C
A
B
D
O
1.在下列推理中填写需要补充
的条件，使结论成立：
(1)如图,在△AOB和△DOC中
AO=DO(已知)
______=________( )
BO=CO(已知)
∴ △AOB≌△DOC（ ）
∠ AOB
∠ DOC
对顶角相等
SAS
做一做
(2)如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
____=____(已知)
∠A= ∠A( 公共角)
_____=____(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ ）
A
E
B
D
C
AE
AD
AC
AB
SAS
解：在△AEC和△ADB中
三角形全等判定方法2
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
F
E
D
C
B
A
AC=DF
∠C=∠F
BC=EF
小结
1.若AB=AC，则添加什么条件可得△ABD≌ △ACD?
△ABD≌ △ACD
AB=AC
A
B
D
C
∠BAD= ∠CAD
S
A
S
AD=AD
BD=CD
S
2.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选用哪些条件可证得△ACB≌ △ADB。
A
B
C
D
△ACB≌ △ADB
S
A
S
AB=AB
∠CAB= ∠ DAB
AC=AD
S
BC=BD
A
B
C
D
F
E
3.如图,已知AB=DE,AC=DF,要说明△ABC≌△DEF，还需增加一个什么条件？
F
C
B
E
D
A
●
●
●
●
4.如图:己知AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、Ｆ都在直线ＡＣ上，试说明ＤＥ∥ＢＦ。
1.已知：如图，AB=CB，∠1=∠2。△ABD 和△CBD 全等吗？
A
B
C
D
1
2
变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2
求证:(1) AD=CD (2)BD 平分∠ ADC
A
D
B
C
1
2
4
3
A
B
C
D
变式2:
已知:AD=CD，BD平分∠ADC
求证:∠A=∠C
1
2
证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到。
2.如图，AC=BD，∠1= ∠2
求证:BC=AD
变式1: 如图，AC=BD,BC=AD
求证:∠1= ∠2
A
B
C
D
1
2
A
B
C
D
1
2
变式2: 如图，AC=BD,BC=AD
求证:∠C=∠D
A
B
C
D
变式3: 如图，AC=BD,BC=AD
求证:∠A=∠B
A
B
C
D
AC=DF(已知），
∠A=∠D （已证），
AB=DE （已证），
∴△EFD≌△BCA（SAS），
证明:
∵AC∥DF，
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）
又∵ AE=DB，
∴ AE+BE=DB+BE,即AB=DE.
在△EFD和△BCA中，
∴ ∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∴EF‖BC(内错角相等，两直线平行)
F
E
B
A
C
D
3.如图，点A，E，B，D在同一条直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？
好好学习
天天向上
§12.2 三角形全等的判定
（第3课时）
1.探索并正确理解“ASA”和“AAS”判定方法．
2.会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等．
1.什么是全等三角形？
2.我们已经学过了哪几种判定两个三角形全等的方法？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
边边边（SSS)和边角边（SAS）
结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
A
C
B
A
′
E
D
C
B
′
′
先任意画一个△ABC.再画一个△A′B′C′.使A′B′=AB.∠A′= ∠A.
∠B′=∠B.(即两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′.剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
1、画A′B′=AB .
2、在A′B′同旁画∠DA′B′=∠A.∠EB′A′=∠B.
A′D.B′E交于点C′.
探究
如何用符号语言来表达呢?
证明:在△ABC与△A B C 中
∠A=∠A AB=A B
∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）
A
C
B
A
′
C
B
′
′
′
′
′
′
′
′
∠B=∠B
′
两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
证明：在△ABE 和△ACD 中，
∴△ABE ≌△ACD（ASA）．
∴AE =AD．
∠B =∠C，
AB =AC ，
∠A =∠A ，
A
B
C
D
E
例1:如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA =AC，∠B =∠C．
求证：AD =AE．
A
C
B
E
D
F
分析：能否转化为ASA?
证明：∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E(已知)
∴∠C=∠F(三角形内角和定理)
∠B=∠E
BC=EF
∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
你能从上题中得到什么结论？
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）
例2:在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, ∠B=∠E,BC=EF, △ABC和△DEF全等吗？为什么？
如何用符号语言来表达呢?
证明:在△ABC与△A B C 中
∠A=∠A
∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）
A
C
B
A
′
C
B
′
′
′
′
′
′
∠B=∠B
′
′
′
BC=B C
问题3 如图，小明、小强一起踢球，不小心把一块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔偿．你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？
3
2
1
1、如图，要测量河两岸相对两点A，B两点的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
1
2
A
B
C
D
2、如图，AB⊥BC， AD⊥DC ，∠1= ∠2，
求证:AB=AD
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知）
∠C=∠D （已知）
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
1.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=AD
1
2
【证明】
证明：∵ ∠DAB =∠EAC，
∴ ∠DAC =∠EAB.
∵ AE⊥BE，AD⊥DC，
∴ ∠D =∠E =90°.
在△ADC 和△AEB 中,
A
B
C
D
E
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB =AC．
∠DAC =∠EAB，
∠D =∠E，
CD =BE，
∴ △ADC ≌△AEB（AAS）．
∴ AC =AB．
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB =AC．
证明：
A
B
C
D
E
例1 、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和△ACD全等吗？为什么？
证明: 在△ABE与△ACD中
∠B=∠C （已知）
AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角）
∴ △ABE ≌△ACD （ASA）
A
E
D
C
B
1.如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？
证明:在△ABE与△ACD中
∠B=∠C （已知）
∠A= ∠A （公共角）
AE=AD （已知）
∴ △ABE ≌△ACD（AAS）
∴ BE=CD （全等三角形对应边相等）
A
E
D
C
B
变一变
BE=CD
你还能得出其他
什么结论？
O
练习 如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE =
CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AD∥CB ，
∴ ∠A =∠C.
∵ AE =CF ，
∴ AF =CE.
在△ADF 和△CBE 中,
练习 如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE =
CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
∠A =∠C，
∠D =∠B ，
AF =CE ，
∴ △ADF ≌△CBE（AAS）．
∴ DF =BE．
证明：
A
B
C
D
E
F
变式 若将条件 “∠B =∠D”变为“DF∥BE”，
那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．
A
B
C
D
E
F
1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
A
B
C
D
E
F
考考你
证明：∵ BE=CF(已知)
∴BC=EF(等式性质)
∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∵ AB∥DE AC∥DF (已知)
∴ ∠B=∠DEF , ∠ACB=∠F
2.（潼南·中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.
【解析】 （1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD.
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF（ASA）.
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=90°， ∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠AFD=90°，
在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠AGB=30°，
在Rt△ADF中，∠AFD=90°, AD=2，∴AF= ,DF =1，
由(1)得△ABE≌△DAF.∴AE=DF=1，∴EF=AF-AE= .
1、边边边(SSS):三边对应相等
2、边角边(SAS):两边及夹角对应相等
3、角边角(ASA):ASA两角夹边对应相等
4、角角边(AAS):两角及一角的对边对应相等
判定三角形全等的四种方法，它们分别是:
§12.2 三角形全等的判定
（第4课时HL）
1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际
问题；
3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进
行有条理的思考并进行简单的推理．
如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若 A= D，AB=DE，
则△ABC与△ DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
全等
ASA
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
（2）若 A= D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填
“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
AAS
全等
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全
等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
全等
SAS
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则
△ABC与△DEF （填“全等”或
“不全等”）根据_____（用简写法）.
全等
SSS
学习目标：
1．探索并理解“HL”判定方法．
2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．
学习重点：
理解并运用“HL”判定方法．
想一想：
1：如图:(1) △ABC≌△DEF，指出它们的对应 顶点、对应角、对应边。
A
D
B
E
C
F
2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？
AB——DE
AC——DF
BC——EF
∠A——∠D
∠B——∠DEF
∠ACB——∠F
（SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS）
思考：
1：如图：Rt△ACB、与Rt△A1C1B1中，∠C与∠C1是直角，用我们已经学过的知识，除了两直角相等以外，你还能补充哪些条件就能使这两个直角三角形全等？
A
B
C
A1
B1
C1
2: 如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
对于两个直角三角形，除了直角相等的
条件外，还要满足几个条件，这两个直角
三角形就全等了？
讨论
A
B
C
D
E
F
由三角形全等的条件判断，对于两个直角
三角形，满足一边一锐角对应相等，或两
直角边对应相等，这两个直角三角形
全等吗？如果满足斜边和一条直角边
对应相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
1.画∠MC′N =90°；
2.在射线C′M上取B′C′=BC；
3.以B′为圆心，AB为半径画弧.交射线C＇N于点A＇；
4.连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
A＇
N
M
C＇
任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′使∠C′ =90°.B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′ B′ C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
B′
画法：
A
B
C
A＇
B＇
C＇
几何语言：
∵ 在Rt△ABC 和 Rt△A′ B ′ C′中
AB =A′B′
BC =B′C′
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′（HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
在使用“HL”时, 应注意什么?
“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
注意分别相等.
“HL”仅适用直角三角形.
书写格式应为:
在Rt△ABC 与Rt△DEF中，
AB=DE，
AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
A
B
C
D
E
F
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC
≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
“HL”判定方法的运用
A
B
C
D
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C 和∠D 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB =BA，
AC =BD，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）．
A
B
C
D
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．
求证：BC =AD．
A
F
C
E
D
B
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
求证：BF=DE
变式1：
BD平分EF吗？
G
A
F
C
E
D
B
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
想一想：BD平分EF吗?
G
变式2：
∠ABC +∠DFE =90°
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∵AC⊥AB，DE⊥DF，
∴∠CAB 和∠FDE 都是直角.
在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
∴ ∠ABC =∠DEF（全等三角形对应角相等）．
∵ ∠DEF +∠DFE =90°
∴ ∠ABC +∠DFE =90°
BC=EF,
AC=DF .
提高练习
1、判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）
A
B
C
D
E
练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？
练习2 如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂
足分别为E ，F，CE =BF．求证：AE =DF．
A
B
C
D
E
F
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学
的四种判定方法有什么不同？
（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？
课堂小结
教科书习题12.2第6、7、8题．
布置作业
好好学习
天天向上
A
F
C
E
D
B
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
【跟踪训练】
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵AE=CF,
∴AF=CE.
又∵AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
A
B
C
D
E
F
2. 如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
BD=CD.
∵∠ADB=∠ADC=90°,
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴ BD=CD.
【解析】
1.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选D.在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等，又∠ABC=∠DCE=90°，DE∥AC,所以∠DEC=∠ACB;又AB=DC,所以△DCE也和△ABC全等．
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
在Rt△ACB和Rt△ADB中,
AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
【解析】
例1．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，
AD＝BC.
求证：（1）AB＝CD； （2）AD∥BC．
证明: （1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=CB，
BD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.
∴AB=CD.
（2）∵Rt△ABD≌Rt△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC.
B
A
C
D
例2．已知，如图，AC⊥BC，BD⊥AD.
（1）已知∠CAB=∠ DBA，求证：BC=AD.
（2）已知AC=BD，求证：BC=AD.
证明：
（1）∵AC⊥BC,BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在△ABC和△BAD中，
∠D=∠C，
∠CAB=∠ DBA，
AB=BA，
∴△ABC≌△BAD(AAS).
∴BC=AD.
（2）∵AC⊥BC,BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
例3．已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．
求证：AD＝BC.
证明：连接DC.
∵ AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
DC=CD，
AC=BD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).
∴AD=BC.
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD=∠ABC=90°.
在Rt△EAD和Rt△ABC中，
ED=AC，
EA=AB，
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL).
∴∠AED=∠BAC.
∵∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠EFA=90°，
∴ED⊥AC.
例4.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．
A
B
D
C
第1题图
第2题图
第3题图
1.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则_____≌______，
依据是____,由全等得出BD＝____,∠BAD=____.
2．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，
EB＝FC，AB＝DF，则△ ABC≌_____，全等的根据是_____．
3．如图，已知AB⊥CF，DE ⊥CF，垂足分别为B、E，
AB＝DE．请添加一个适当条件，使△ ABC≌ △ DEF，并说明理由
添加条件：___________，理由是：_______________．
